Scuola di Specializzazione in Fisica Medica. Introduzione a MATLAB (A. Andreazza)

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1 Scuola di Specializzazione in Fisica Medica Introduzione a MATLAB (A. Andreazza)

2 MATLAB Linguaggio di programmazione ad alto livello per applicazioni scientifiche Ambiente di sviluppo interattivo Disponibilità di funzione matematich per un ampia varietà di applicazioni Strumenti per grafica 2D e 3D Possibilità di costruire interfacce grafiche ed interfacciarsi con librerie in altri linguaggi di programmazione. Disponibile su Windows, Linux e Mac L Università di Milano ha una licenza campus, per cui è accessibile a tutti gli studenti Possibile installarlo sul proprio PC Istruzioni su: 2

3 Avvio MATLAB Aprire una finestra terminale (consigliato) Creare una directory per MATLAB mkdir MATLAB Entrare nella directory cd MATLAB Far partire MATLAB matlab2015 & La versione usata in laboratorio è la 2015b & fa partire il processo in background, permettendo di continuare ad usare il terminale 3

4 Pannello dei comandi Directory di lavoro Pannello delle variabili 4

5 Primi comandi Provare ad eseguire dei calcoli: costanti: 5*3 2^10 pi/2 funzioni: sin(pi/2) sind(90) exp(-1) e cosa succede se facciamo sqrt(-3)? Definire della variabili (scalari) r = sqrt(2) C = 2*pi*r year = 2018 Cambiare il formato di stampa format long Documentazione, cancellazione variabili e finestra help format clear clc Variabile ans definita automaticamente Costanti predefinite: π: pi unità immaginaria: i j 1i 1j Per documentazione: in linea: help comando dettagliata: doc comando 5

6 Gioco 1 format HEX mostra la rappresentazione interna dei numeri. Per numeri reali, riuscite a capire la rappresentazione utilizzata? E per interi?

7 Operazioni con vettori Una delle forze di MATLAB è la potenza delle funzioni vettoriali Creazione di un vettore: vettore riga: x = [ ] oppure: x = [ 1, 2, 5, 4 ] vettore colonna: y = [ 1; 2; 5; 4 ] oppure: y = x vettore equispaziato: x = inizio:passo:fine se passo è 1 si può omettere oppure: x = linspace(inizio,fine,numeropunti) Molte operazioni vengono ripetute automaticamente su tutti gli elementi di un vettore: y = sqrt(2)*x z = y-x w = exp(x) : operatore di trasposizione N.B.: per vettori complessi fa il trasposto Costanti predefinite: coniugato 7

8 Operazioni vettoriali Operatore Descrizione + - somma e sottrazione elemento per elemento * / prodotto e divisione per uno scalare prodotto e divisione tra matrici ^ esponenziazione (tra scalari e matrici quadrate).*./ prodotto e divisione elemento per elemento.^ esponenziazione elemento per elemento Definito: x = 1:4 Confrontare i risultati di: 8 x*x x*x x *x x.*x

9 Esempio 1 Grafico di alcune funzioni Impariamo: utilizzo di indici per accedere ai dati funzione plot e proprietà di un grafico salvare istruzioni in una macro

10 Grafico di una funzione Creare un vettore di ascisse: 101 punti tra -10 e 10 x = linspace(-10.,10.,101); Calcolare un vettore di ordinate: y = sin(x)./x; Verificare il valore del 51 o elemento: y(51) corrisponde a x=0, ed il risultato è NaN = not a number y(51) = 1 assegnare il limite per x che tende a 0 Grafico di y(x) plot(x,y) Titolo e assi title('grafico di funzione') xlabel('x [rad]') Variabili di testo tra... ylim([-0.4,1.2]) Vettore di estremi dell asse ylabel('sin(x)/x') In caso di vettori molto grandi, ; al termine del comando sopprime la stampa a schermo Indice del vettore in (), inizia da 1 10

11 Funzione plot Sequenza di chiamata: plot(x,y,opzionibase,nomeopzione,valoreopzione,...) Opzioni base (un singolo testo) Carattere Colore Carattere Marker Carattere Linea k black. punto - continua r red * asterisco -- tratteggiata g green o cerchio : punteggiata b blue x croce :- dot-dash c cyan m magenta Opzioni avanzate: Per documentazione: help plot LineWidth Spessore della linea, default: 1 MarkerFaceColor Colore di riempimento del marker, default: trasparente MarkerSize Dimensione del marker, default: 10 11

12 File macro Si possono inserire i comandi in un file.m in modo da poterli richiamare più facilmente Aprire l editor di macro edit grafico si apre un nuovo pannello ed il file grafico.m compare nella directory di lavoro inserire nell editor i comandi come sono dati salvare la macro (Save da GUI) eseguire la macro: clear clc grafico 12

13 Esecuzione (GUI) Il file appare nella directory Commenti Esecuzione (linea di comando) 13

14 Altre funzioni Per provare altre funzioni basta modificare le linee di definizione della y y = sqrt(2)*ones(1,length(x)); y = zeros(1,length(x)); Possiamo sfruttarle per vedere diversi modi di indicizzazione, usando vettori e condizioni logiche y = zeros(1,length(x)); y(51) = 1; y = zeros(1,length(x)); y(26:76) = 1; y = zeros(1,length(x)); y( x>0 ) = 1; y = cos(x); y( y<0 ) = 0; Funzione costante, length dà la lunghezza di un vettore ones dà una matrice di 1 zeros dà una matrice di 0 Funzione Delta Rettangolo, vettore di indici Gradino, vettore di elementi che soddisfano una condizione logica Lobi positivi del coseno 14

15 Esempio 2 Generatori di numeri casuali Impariamo: generatori di distribuzioni uniformi e gaussiane funzioni statistiche istogrammi cicli for

16 Generatori di numeri casuali MATLAB permette di riempire matrici con numeri pseudo-casuali: generatore uniforme in [0,1): ru = rand(1000,1); distribuzione normale: rn = randn(1000,1); interi equidistribuiti tra 1 e 6: ri = randi(6,1000,1); Possiamo verificare visivamente che le distribuzioni siano quelle attese costruendo un istogramma: histogram(ru) è possibile anche dare un vettore che definisce gli estremi dei canali dell istogramma histogram(ru,linspace(0.,1.,21) per avere N canali servono N+1 punti histogram(rn) histogram(ri,0.5:6.5) Colonne Righe 16

17 Funzioni statistiche Possiamo verificare se i numeri generati possiedono le proprietà statistiche che ci attendiamo: valor medio: mean(ru) deviazione standard: std(ru) I valori attesi sono: 0.5 e 1/sqrt(12) per la distribuzione uniforme 0 e 1 pe la distribuzione normale e per gli interi equiprobabili tra 1 e 6? d = 1:6 mean(d) std(d) Funzione Descrizione mean std var max min median sum prod diff Esistono molte altre funzioni che cumsum operano su un vettore (o sulle colonne di una matrice) valor medio deviazione standard varianza valore massimo valore minimo mediana somma degli elementi prodotto degli elementi vettore differenze tra el. vettore somme cumlative 17

18 Lancio di più dadi Come è fatta la distribuzione della somma di N dadi? il teorema del limite centrale dice che per N la forma tende ad essere gaussiana 2 dadi: ri = ri+randi(6,1000,1); histogram(ri) mean(ri) std(ri) 3 dadi: ri = ri+randi(6,1000,1); histogram(ri) mean(ri) std(ri) Possiamo automatizzare? 18

19 Strutture di controllo Cicli for for variabile=vettore end...codice in cui variabile assume i valori in vettore Cicli while while condizione end...codice in cui può modificarsi la condizione Esecuzione condizionata if condizione codice se condizione è verificata else if condizione2 else end codice se condizione2 è verificata codice se nessuna condizione è verificata 19

20 Lancio di più dadi Costruiamo una macro sommadadi.m che guardi le distribuzioni fino a N dadi facendone gli istogrammi e mostrando l andamento di valor medio e varianza. Crea un nuovo pannello per i plot I vettori vengono allungati a mano a mano che si inseriscono i dati hold permette di sovrapporre diverse linee su uno stesso grafico 20

21 Esempio 3 Calcolo di fase ed ampiezza di una sinusoide Impariamo: matrici e loro indicizzazione operazioni tra matrici risoluzione di sistemi lineari

22 Dati con rumore Supponiamo di avere una sinusoide misurata ad intervalli regolari, e con un certo errore di misura: x = (0:0.5:10) ; y = 1.5*sin(x+pi/4); ymis = y + 0.2*randn(length(y),1) sovrapporre i grafici di y e ymis Vogliamo trovare i migliori parametri [a b] che descrivono i dati misurati: y = Asin(x + φ) = asin x + bcos x b A = a 2 + b 2, φ = tan 1 a Minimizzando il χ 2 : χ 2 = ( y i asin x i bcos x i ) 2 i 22

23 Fit di χ 2 Il χ 2 : i χ 2 = ( y i asin x i bcos x i ) 2 può venire espresso in forma matriciale: χ 2 = (y Ap) T (y Ap) y 1 y = y 2! y N, p = ( a ) b, A = sin x 1 sin x 2! sin x N cos x 1 cos x 2! cos x N e la soluzione è data dal sistema A T y A T Ap = 0 p = ( A T A ) 1 A T y 23

24 Fit di χ 2 Soluzione in MATLAB: A = [ sin(x) cos(x)]; ATy = A *ymis; ATA = A *A; p = inv(ata)*aty ampiezza = sqrt(p *p) fase = atan2(p(2),p(1)) Residui del fit: yfit = A*p; yres = ymis-yfit; sigma2 = var(yres)/(length(yres)-1) Matrice di covarianza dei parametri a e b: C p = ( A T A ) 1 A T C y A( A T A ) 1 C y = σ y2 1 Matrice da accostamento di colonne Usare ; per sovrapporre righe Operazioni tra matrici inv calcola la matrice inversa Per sistemi lineari esiste un metodo numericamente migliore: A*p=y p = A\y p*a=y p = y/a 24

25 Operazioni con matrici Creazione: A = [ ; ; 7 8 9] A = eye(5) A = ones(nrighe,ncolonne) A = zeros(nrighe,ncolonne) Indicizzazione: A(2,4) A(:,2) A(4,:) Funzioni: det(a) inv(a) diag(a) size(a,dim) ; separa le righe matrice identica 5x5 matrice di 1 matrice di 0 Elemento nella 2 a riga 4 a colonna 2 a colonna 4 a riga determinante di A Inversa di A diagonale di A lunghezza della dimensione di A 25

26 Fit di χ 2 Completare l esempio con: calcolo della matrice di covarianza di a e b calcolo della matrice di covarianza di A e φ Vedere come si comportano le funzioni statistiche se applicate ad una matrice 26

27 ESERCIZI

28 Esercizio 1 Scrivere una macro che al suo interno: definisce un certo numero di punti su un intervallo calcola i valori di una funzione (definita all interno della funzione) su quei punti calcola numericamente l integrale della funzione sull intervallo 28

29 Esercizio 2 Prendere il file croce.mat: caricare i dati del file usando il comando load croce contiene due misure dei punti [x y] di una croce nelle matrici A e B fare la differenza delle misure e stimare la precisione in x e y la croce è ruotata: calcolare di quale angolo applicare una matrice di rotazione per raddrizzarla 29