Silvia Rossi. Algoritmi di Ricerca. Informatica. Lezione n. Parole chiave: Ricerca Lineare Ricerca Binaria. Corso di Laurea:

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1 Silvia Rossi Algoritmi di Ricerca 22 Lezione n. Parole chiave: Ricerca Lineare Ricerca Binaria Corso di Laurea: Informatica Insegnamento: Programmazione I Docente: srossi@na.infn.it A.A

2 Relazione di Equivalenza ugualglianza di valori: x == è vera se le varibili distinte x e y hanno valori uguali identità: &x == &y è vera se x e y sono nomi diversi di una stessa variabile (ad esempio passaggio per riferimento di parametri di una funzione) uguaglianza parziale di valori: supponendo che x e y siano variabili assegnate a oggetti (o record) C++, x e y possono essere equivalenti se alcuni attributi (campi) hanno lo stesso valore (ad esempio, record di un database con le stesse chiavi).

3 Ricerca in un vettore Problema della ricerca di un elemento in una sequenza (insieme)» una relazione di equivalenza (ad es. == in C++) Input: una sequenza A di n elementi a 1, a 2,..., a n un elemento x da ricercare in A Output: vero se esiste almeno un i tale che x» a i ; falso altrimenti Per rappresentare in C++ sequenze di elementi usiamo I vettori a[0], a[1],..., a[n-1] Esempio: consideriamo come relazione di equivalenza l operatore booleano == x=7; a[]={2, 4, 5, 7, 7, 9, 12}; b[]={2, 5, 8, 3, 0, 11}; (x==a[3] e x == a[4]) (non esiste i tale che x==a[i]) È un tipico esempio di algoritmo esiste

4 Ricerca lineare

5 i 0 trovato false while NOT trovato AND i < N if A[i]=x trovato true else i=i+1 if trovato return i else return -1 Ricerca lineare

6 Ricerca lineare Ricerca di un elemento in un vettore generico L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x = a[i]; altrimenti ritorna -1 i x=7 i ß 0 trovato ß falso while ((not trovato) and i < n): if A[i] = x: trovato ß vero else: i ß i + 1 if trovato: indice ß i else: indice ß -1

7 Ricerca lineare Possiamo eliminare la variabile sentinella trovato in questo modo: Scorriamo il vettore con un ciclo while controllato da una espressione booleana che termina il ciclo o quando A[i] = x, oppure quando arriva alla fine del vettore i 0 while A[i]<>x AND i < N i=i+1 ; if A[i]=x return i else return -1 Ricerca lineare O(n)

8 L algoritmo di ricerca lineare può essere migliorato se si hanno delle informazioni opportune sul tipo di array da esaminare. Ad esempio l algoritmo di ricerca potrebbe essere migliorato se è noto che il vettore pur essendo disordinato presenta solo numeri negativi fino alla posizione k seguiti da valori non negativi. Infatti in questo caso se il numero da cercare non è negativo possiamo scartare i primi k+1 elementi. In altri termini ogni informazione che ci permette di scartare potenziali candidati è utile per migliorare la ricerca.

9 Cosa si può fare se il nostro array è ordinato? Si potrebbe adoperare una ricerca lineare modificata nel senso che o l algoritmo si arresta non appena trova l elemento in questione o si interrompe dando in uscita 1 non appena incontra un numero maggiore. i 0 while A[i]<x AND i < N i=i+1 ; if A[i]=x indice=i else indice=-1 Ricerca binaria Si avrebbe un certo miglioramento in media, ma nel caso peggiore occorre comunque esaminare tutto l array.

10 Ricerca di una parola in un dizionario Ricerca binaria

11 Che informazione otteniamo se confrontiamo il nostro x con un generico elemento di indice k? Se x=a[k] la ricerca è finita, se è maggiore allora possiamo scartare tutti i candidati da 0 fino a k, altrimenti scartiamo tutti quelli da k in poi. Conviene scegliere k=n/2, in tal modo un confronto fallito dimezza il numero di possibili candidati. Iterando questo procedimento con cui dimezziamo l indice e confrontiamo i valori, ad ogni fallimento i due estremi dell intervallo di ricerca che contiene i candidati ancora non scartati si avvicinano sempre di più. L algoritmo terminerà in una delle seguenti situazioni : a) uno dei confronti ha successo. b) gli estremi dell intervallo di ricerca danno un intervallo vuoto. Nel qual caso l elemento non è nell array.

12 basso 0 Alto N-1 i -1 while (basso<=alto)and (i=-1) Medio = (basso+alto) / 2 if else x = vet[medio] i=medio if else x>vet[medio] basso = Medio+1 Alto =Medio-1

13 Utilizzando l algoritmo, vogliamo verificare se 21 appartiene al vettore di interi: vet=[ 9, 10, 15, 18, 21, 29, 30, 35 ] di dimensione Nel nostro esempio x=21, basso=0 ed Alto=7. Inizialmente Medio=(0+7)/2=3, per cui, essendo vet[3]=18, si ha x > vet[medio] è vero analizziamo il sub-array superiore che va dall indice 4 fino ad Alto; per questo scopo basta porre basso=medio+1=4. Abbiamo basso=4, Alto =7 Medio=(4+7)/2=5 e vet[medio]=29. Dal confronto x > vet[medio] è falso scaturisce che dobbiamo analizzare il subarray Inferiore (da 4 a 4), per cui Alto=Medio-1=4; poiché basso=4, Alto=4 e Medio=(4+4)/2=4 si ottiene ancora x = vet[medio] restituisce l indice del valore cercato, i=4. basso 0 Alto N-1 i -1 while (basso<=alto)and (i=-1) Medio = (basso+alto) / 2 if x = vet[medio] i=medio else if x>vet[medio] basso = Medio+1 else Alto =Medio-1

14 Vogliamo sapere se 21 appartiene alla seguente lista vet=[ 9, 10, 15, 18, 21, 29, 30, 35 ] di dimensione 8. [0] 9 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] N N/2 0 2 [4] [5] [6] [7] N/2 N/2 1 3 [4] 21 N/4 N/2 2 N O(N) LOG(N) , , ,58 k=log 2 N 1 N/2 k

15 vet=[ 9, 10, 15, 18, 21, 29, 30, 35 ] Analizziamo la ricerca con x=17. Scrivendo i vari passaggi in maniera più compatta, otteniamo basso Alto Medio x =vet[medio] x > vet[medio] falso falso falso vero falso vero 3 2 poiché basso è maggiore di Alto non esiste più alcun intervallo di ricerca.

16 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 basso medio alto basso ß 0 alto ß n -1 i ß -1 while (basso alto and i < 0): medio ß (basso + alto) / 2 if x = A[medio]: i ß medio else: if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio x=16

17 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 basso basso ß 0 alto ß n -1 i ß -1 while (basso alto and i < 0): medio ß (basso + alto) / 2 if x = A[medio]: i ß medio else: if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio - 1 medio alto x=8

18 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 basso basso ß 0 alto ß n -1 i ß -1 while (basso alto and i < 0): medio ß (basso + alto) / 2 if x = A[medio]: i ß medio else: if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio - 1 medio eser4.8.cpp alto x=6

19 Se applicato ad un array ordinato in cui sono possibili ripetizioni l algoritmo termina con successo dando uno dei possibili indici per cui l uguaglianza risulta verificata. E possibile trovare il più piccolo indice per cui l uguaglianza è verificata eliminando il test su i. Il loop si riduce a: basso 0 Alto N-1 while (basso<=alto) Medio (basso+alto) / 2 if x > vet[medio] basso Medio+1 else Alto Medio-1 Osserviamo che allorché x<= vet[medio] noi modifichiamo Alto

20 Nel caso sia vera la condizione x > vet[medio] allora possiamo affermare che la ricerca va effettuata nel sub-array superiore e che in uscita dal loop si avrà: x > vet[basso-1] (poiché basso-1 = Medio in uscita) inoltre tale condizione resta vera anche quando basso non viene modificato, visto che l elemento basso - 1 è stato escluso dai possibili candidati

21 Se, invece, è vera la condizione x <= vet[medio] allora la ricerca va effettuata nel sub-array inferiore; inoltre, risulta verificata la condizione x <= vet[alto + 1] (poiché Alto+1=Medio in uscita) Dunque qualunque strada si prende nel loop è sempre vero che in uscita si ha: Vet[basso-1] < x <= vet[alto + 1] Il ciclo termina con la negazione di (basso <= Alto), cioè con basso > Alto

22 Analizzando gli esempi, possiamo verificare che all uscita si ha basso = Alto + 1 Se in un certo punto del programma risulta che vet[medio] coincide col valore cercato x; nell algoritmo precedente si usciva dal ciclo. In questo caso l algoritmo continua e, poiché siamo nella situazione che segue l else, avremo da cui Alto= Medio 1; Medio = Alto + 1 Quindi il valore cercato è conservato nell indice Alto + 1. Poiché l intervallo con cui proseguire la ricerca è [basso, alto], se gli elementi sono tutti distinti, le ricerche successive non cambieranno mai il valore di Alto, essendo tali elementi più piccoli dell elemento cercato; alla fine il ciclo terminerà con l uguaglianza basso = Alto + 1 e quindi l elemento cercato sarà posizionato nell indice contenuto nella variabile basso.

23 Nel caso in cui vi siano più elementi uguali, l algoritmo troverà altri indici compresi nell intervallo [basso, alto] che contengono il valore x cercato. Se applichiamo ancora il ragionamento precedente è chiaro che l algoritmo determinerà il primo indice in cui appare x. Cosa accade nel caso in cui l elemento cercato x non esiste nell array? Poiché l algoritmo termina in ogni caso con basso = Alto +1 dobbiamo distinguere il caso in cui l indice basso<=n-1 dal caso particolare in cui basso=n che si verifica se l elemento cercato è più grande di tutti gli elementi dell array. Occorre quindi aggiungere al termine del loop il seguente test: If (basso=n) or not(vett[basso]=x) Indice= -1 else indice = basso

24 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 basso basso ß 0 alto ß n -1 while basso alto: medio ß (basso + alto) / 2 if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio 1 if (basso=n) or (A[basso] ¹ x): indice ß -1 else: indice ß basso medio alto 6

25 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 eser4.8b.cpp basso medio alto basso ß 0 alto ß n -1 while basso alto: medio ß (basso + alto) / 2 if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio 1 if (basso=n) or (A[basso] ¹ x): indice ß -1 else: indice ß basso 27

26 Ricerca di un elemento in un vettore generico ordinato L operatore = sia la relazione di equivalenza Input: vettore A[0], A[1],..., A[n-1] ; elemento x da cercare in A Output: almeno un i tale che x == A[i]; altrimenti ritorna -1 basso medio alto basso ß 0 alto ß n -1 while basso alto: medio ß (basso + alto) / 2 if x > A[medio]: basso ß medio + 1 else: alto ß medio 1 if (basso=n) or (A[basso] ¹ x): indice ß -1 else: indice ß basso 30

27 Ecco un programma che utilizza le due ricerche binarie sotto la forma di functions; esse restituiscono un intero che rappresenta l indice dell elemento cercato. La function RicercaBinB rappresenta la ricerca con la variabile booleana, RicercaBin invece non utilizza tale variabile. #include <iostream> #include <cstdlib> #include "InsertArray.h" using namespace std; int RicercaBinB (int[], int, int, int); int RicercaBin (int[], int, int, int); void ordinab(int[], int n); void scambia (int&, int&); int main () { char ch; int a[100], n, cerca; cout<<" Lunghezza vettore="; cin>>n; LeggeVettore ( a, n, 'a'); ordinab (a,n); StampaVettore (a, n,'a'); do { cout<<"valore da cercare="; cin>>cerca; if ((RicercaBinB(a,0,n,cerca)>=0) (RicercaBin(a,0,n,cerca)>=0)) { cout<<"il valore "<<cerca<<" ha la posizione="<<ricercabinb(a,0,n,cerca)<<endl; cout<<"senza Flag, il valore "<<cerca<<" ha la posizione="<<ricercabin(a,0,n,cerca)<<endl; } else cout<<"il valore "<<cerca<<" non e' nel vettore"<<endl; cout<<" f per terminare "; cin>>ch; } while (ch!='f'); return 0; } void scambia (int &x1, int &x2) { int s; s=x1; x1=x2; x2=s; }

28 void ordinab ( int vet[], int N) { int j, k; for (k=0; k<n-1; k++) for (j=k+1; j<n; j++) if (vet[k] > vet[j]) scambia (vet[k],vet[j]); } int RicercaBinB ( int vet[], int basso, int alto, int x) { int medio,i=-1; while ((basso<=alto) && i==-1) { medio=(basso+alto)/2; if (vet[medio]==x) i=medio ; else if (vet[medio]<x) basso=medio+1; else alto=medio-1; } return i; } insertarray.h esercizio22.1.cpp int RicercaBin ( int vet[], int basso, int alto, int x) { int medio, Ntot=alto; while (basso<=alto) { medio=(basso+alto)/2; if (vet[medio]<x) basso=medio+1; else alto=medio-1; } if (( basso==ntot) (vet[basso]!=x)) return -1; else return basso; }