Guido Corbò Note di relatività

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Guido Corbò Note di relatività"

Transcript

1 Guido Corbò Note di relatività Generalità Il principio di relatività di Einstein consiste nell'aermare che le leggi della sica sono le stesse in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Ciò implica l'impossibilità di privilegiare un particolare sistema di riferimento inerziale rispetto ad un altro. Le leggi della meccanica classica, contenute nell'equazione f = ma sono eettivamente invarianti nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro, se si assumono le trasformazioni di Galileo. Invece, le equazioni di Maxwell non sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo. Infatti, da tali trasformazioni si ricava la legge classica di composizione delle velocità. Per esempio v x = v x V (1) se V è (l'unica) componente della velocità con la quale trasla, lungo l'asse x, il riferimento O (gura 1). y V y' z O x z' O' x' Figura 1: Il sistema O trasla rispetto ad O con una certa velocità V. 1

2 D'altra parte, nel vuoto, la soluzione generale delle equazioni di Maxwell per una propagazione lungo l'asse x è Φ = f(x ct) + g(x + ct) (2) cioè una propagazione con velocità isotropa; ovvero con la stessa velocità tanto nel verso delle x crescenti quanto in quello delle x decrescenti. Secondo le trasformazioni di Galileo, in un nuovo riferimento O avremmo due velocità diverse per la propagazione in un senso e nell'altro; ma ciò signicherebbe che l'equazione d'onda dovrebbe avere una struttura diversa nel nuovo riferimento, in contraddizione con il principio di relatività. Non rimane che ammettere che la velocità della luce sia un invariante rispetto alle trasformazioni da un sistema inerziale ad un altro. La richiesta che la velocità della luce sia un'invariante impone la condizione che si abbia, per il fronte di un'onda luminosa: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (3) x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (4) Per semplicità, possiamo denire x 0 = ct x 0 = ct (5) x 0 ha dunque le stesse dimensioni siche delle altre variabili x, y e z (quelle di una lunghezza) e possiamo quindi scrivere le (3) e (4) come x 2 + y 2 + z 2 = x 0 2 (6) x 2 + y 2 + z 2 = x 0 2 La relazione più semplice possibile, tra vecchie e nuove coordinate, è una relazione lineare; dunque possiamo ipotizzare che, per un moto traslatorio lungo l'asse x, le coordinate y e z restino immutate e che si abbia dunque: y = y (7) z = z x = αx + βx 0 x 0 = γx + δx 0 2

3 Sostituendo nella seconda delle (6) si ottiene: Sviluppando: (αx + βx 0 ) 2 + y 2 + z 2 = (γx + δx 0 ) 2 (8) α 2 x 2 + β 2 x αβxx 0 + y 2 + z 2 = (γ 2 x 2 + δ 2 x γδxx 0 ) (9) D'altra parte, deve essere x 2 +y 2 +z 2 = x 0 2 ; e dunque si deve avere identicamente α 2 γ 2 = 1 (10) δ 2 β 2 = 1 αβ γδ = 0 Possiamo allora utilizzare la seguente parametrizzazione: α = cosh ξ γ = sinh ξ (11) δ = cosh ϕ β = sinh ϕ La terza delle (10) mostra che ξ = ϕ; dunque abbiamo: x = x cosh ϕ + x 0 sinh ϕ (12) x 0 = x sinh ϕ + x 0 cosh ϕ Possiamo ricavare il signicato sico della quantità ϕ. Infatti, se l'origine O del sistema di assi (cioè x = 0) trasla di moto rettilineo uniforme con una velocità che ha soltanto componente lungo l'asse x pari a V deve essere, per ogni t 0 = V t cosh ϕ + ct sinh ϕ (13) ovvero tanh ϕ = sinh ϕ cosh ϕ = V c Da questa si ricava (osserviamo che cosh ϕ è sempre positivo): (14) cosh ϕ = 1 1 V 2 /c 2 sinh ϕ = 3 V/c 1 V 2 /c 2 (15)

4 In denitiva, possiamo scrivere così le relazioni tra i due sistemi di coordinate, che vengono chiamate trasformazioni di Lorentz: x = x V t 1 V 2 /c 2 (16) y = y z = z t = t (V/c2 )x 1 V 2 /c 2 È molto utile introdurre una nuova notazione per le coordinate spaziali. Precisamente, ponendo un indice in alto: scriviamo così le trasformazioni di Lorentz: dove abbiamo posto x x 1 y x 2 z x 3 (17) x 1 = x1 βx 0 1 β 2 (18) x 2 = x 2 x 3 = x 3 È utile anche porre questa denizione: x 0 = x0 βx 1 1 β 2 γ = β = V c e scrivere le trasformazioni di Lorentz in questo modo: (19) 1 1 β 2 (20) x 1 = (x 1 βx 0 )γ (21) x 2 = x 2 x 3 = x 3 x 0 = (x 0 βx 1 )γ 4

5 Contrazione di Lorentz Le trasformazioni di Lorentz implicano l'esistenza di fenomeni che non sono previsti dalla meccanica galileiana. Uno di tali fenomeni è conosciuto come contrazione di Lorentz o contrazione delle lunghezze. Vediamo di cosa si tratta. In meccanica galileiana, la lunghezza di un segmento, per esempio la lunghezza di una sbarra rigida, è una quantità assoluta; nel senso che qualsiasi osservatore, che intenda misurarla, trova sempre lo stesso valore l 0. È ovvio che cosa si intenda per misura di una sbarra che è a riposo rispetto ad un osservatore: questi sovrappone alla sbarra una riga graduata che consente la valutazione della misura (gura 2). y V y' z O x z' O' x' A l 0 x' B x' Figura 2: Una sbarra è ferma nel riferimento O. Per un osservatore solidale ad O, rispetto al quale la sbarra è dunque in movimento, l'operazione da eseguire è, in linea di principio, la seguente: egli deve marcare nello stesso istante la posizione dei due estremi della sbarra che gli scorre davanti; e successivamente misurare la distanza tra tali posizioni. Ci aspettiamo che il risultato sia ancora l 0. Le cose vanno eettivamente così in meccanica galileiana ma vanno diversamente dal punto di vista relativistico. Supponiamo infatti che, come è illustrato nella gura precedente, la sbarra sia posta lungo l'asse delle ascisse e trasli lungo tale asse con velocità V rispetto ad un osservatore solidale ad O. La relazione tra le coordinate di O e quelle di O, 5

6 che segue la sbarra, è data dalle trasformazioni di Lorentz; in particolare x = x V t 1 V 2 /c 2 (22) Per le posizioni degli estremi A e B della sbarra devono valere evidentemente x A = x A V t A 1 V 2 /c 2 x B = x B V t B 1 V 2 /c 2 (23) dove t A e t B sono gli istanti nei quali viene rilevata da O la posizione dei due estremi, rispettivamente. Sottraendo membro a membro si ha x B x A = x B x A V (t B t A ) 1 V 2 /c 2 (24) Il primo membro è la lunghezza l 0 della sbarra a riposo in O ; d'altra parte, x B x A, che gura al secondo membro, può essere interpretata come lunghezza l della sbarra misurata in O se in tale riferimento la misura è eseguita, come abbiamo già notato, nello stesso istante per i due estremi; cioè t B = t A. Da ciò risulta l l 0 = ovvero l = l 0 1 V 1 2 /c 2 (25) V 2 /c 2 In altre parole, vista da O, la sbarra risulta contratta della quantità 1 V 2 /c 2. Arriviamo allo stesso risultato anche se deniamo la lunghezza l della sbarra in movimento in altro modo. Precisamente, possiamo pensare di misurare il tempo che trascorre tra il passaggio dei due estremi della sbarra per uno stesso punto del riferimento O; e poi moltiplicare tale intervallo di tempo per la velocità V con la quale scorre la sbarra. Riferendoci ancora alla (24), poniamo x B = x A e otteniamo l 0 = x B x A = V (t B t A ) (26) 1 V 2 /c 2 dalla quale otteniamo t B t A = l 0 V 1 V 2 /c 2 (27) (notiamo che se per esempio V > 0, come nelle gure precedenti, t B t A risulta negativo: giustamente, l'estremo A passa davanti all'osservatore dopo l'estremo B). Dalla (27) otteniamo dunque V (t B t A ) = l 0 1 V 2 /c 2 (28) 6

7 che coincide con la (25). Dilatazione dei tempi In meccanica galileiana, ci aspettiamo che la durata di un certo fenomeno sia una quantità assoluta, indipendente dal sistema di riferimento. Ma, anche in questo caso, la relatività porta ad un nuovo risultato. Precisamente, immaginiamo che il fenomeno in questione sia l'accensione di una lampadina ad un certo istante t A e il successivo spegnimento ad un istante t B, con la lampadina ferma nel sistema di riferimento O. Per quanto tempo rimane accesa la lampadina, per un osservatore O che trasla con velocità V? Lo vediamo, come sempre, dalle trasformazioni di Lorentz. In particolare, da t = t (V/c2 ) x 1 V 2 /c 2 (29) Per l'istante di accensione e quello dello spegnimento valgono evidentemente Sottraendo membro a membro: t A = t A (V/c 2 ) x A t B = t B (V/c 2 ) x B 1 (30) 1 V 2 /c 2 V 2 /c 2 t B t A = t B t A (V/c 2 ) (x B x A ) 1 V 2 /c 2 (31) Al primo membro compare la durata T del fenomeno misurata da O ; al secondo membro compare la durata T = t B t A per il sistema nel quale, d'altra parte, la lampadina è ferma in una certa posizione: x B = x A. Dunque T = T 1 V 2 /c 2 (32) ovvero, per l'osservatore in movimento rispetto alla lampadina, l'intervallo di tempo risulta dilatato della quantità 1 1 V 2 /c 2 (33) 7

8 L'intervallo di tempo (innitesimo) misurato tra due eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio (tridimensionale) viene chiamato intervallo di tempo proprio tra tali eventi e viene indicato con il simbolo dτ. In un generico sistema di riferimento risulta quindi: dt = γdτ (34) Due gemelli non sono coetanei! Supponiamo che un ipotetico astronauta compia un lungo viaggio spaziale e poi torni sulla Terra, dove lo ha aspettato suo fratello gemello. Al momento della partenza, i due hanno evidentemente la stessa età. Che età avranno quando si incontrano di nuovo sulla Terra? Per l'astronauta è passato un tempo τ2 T a = dτ = τ 2 τ 1 (35) τ 1 Per il gemello sulla Terra è passato il tempo T T = t2 t 1 dt = τ2 τ 1 γ dτ > poiché γ > 1. Ciò signica che T a < T T meno del fratello. τ2 dτ = T a (36) τ 1 ovvero che l'astronauta è invecchiato Composizione delle velocità Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava facilmente la legge di composizione relativistica delle velocità. Per semplicità riferiamoci alla sola componente x. Per incrementi innitesimi delle coordinate spazio-temporali, si ha: dx = dx V dt 1 V 2 /c 2 (37) dt = dt (V/c2 ) dx 1 V 2 /c 2 (38) 8

9 Dividendo membro a membro per dt : v x = dx dt = dx V dt dt (V/c 2 ) dx E dividendo per dt numeratore e denominatore: v x = dx dt = (39) v x V 1 (V/c 2 ) v x (40) Si vede che, nel limite di traslazioni a piccola velocità rispetto a quella della luce, la legge di composizione relativistica diventa quella galileiana. Come semplice esercizio, possiamo vericare che la relazione precedente conferma l'invarianza della velocità della luce. Ponendo infatti v x = c si ha: c c V = 1 (V/c 2 )c = c (41) È inoltre semplice vedere che la composizione di due velocità inferiori a quella della luce fornisce una velocità anch'essa inferiore a quella della luce. Basta per questo dimostrare che si ha comunque v x v x V = < c (42) 1 (V/c 2 ) v x per qualsiasi valore di v x e V (purché entrambe minori di c). La disuguaglianza precedente si può scrivere infatti v x V < c V c v x (43) ovvero v x (1 + V/c) < c (1 + V/c) (44) che è sicuramente vera dal momento che v x < c. Quadrivettori Possiamo pensare alle x, y, z e ct come alle componenti x µ del raggio vettore in uno spazio a quattro dimensioni che viene chiamato spazio di Minkowski. 9

10 Chiameremo dunque quadrivettore un vettore appartenente a tale spazio. In generale, un quadrivettore è una grandezza che, sotto una trasformazione di Lorentz ovvero una trasformazione da un sistema inerziale ad un altro, si trasforma come x, y, z e ct. Una qualsiasi grandezza sica vettoriale sarà dunque di fatto una grandezza quadrivettoriale. Le quattro componenti vengono chiamate componenti controvarianti e sono scritte con un indice in alto. Ricordiamo che e scriveremo così un generico quadrivettore: x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z (45) a µ = (a 1, a 2, a 3, a 0 ) (46) Chiameremo componenti spaziali le prime tre componenti del quadrivettore; e componente temporale la quarta componente. Potremo indicare anche così: a µ = (a, a 0 ) (47) dove il carattere grassetto indica, come al solito, un vettore nello spazio tridimensionale. È molto semplice vericare che per due quadrivettori a µ e b µ la quantità a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (48) risulta invariante sotto trasformazioni di coordinate, cioè sotto trasformazioni di Lorentz; dunque essa può denire il prodotto scalare tra i due quadrivettori: a b a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (49) Possiamo anche scrivere così, sottintendendo la somma su indici ripetuti: dove a b = g µν a µ b ν (50) g µν = 0 se µ ν g 00 = 1; g 11 = 1; g 22 = 1; g 33 = 1 (51) g µν viene chiamato tensore metrico o semplicemente metrica dello spazio quadridimensionale. Con l'ausilio di g µν possiamo denire le componenti covarianti di un quadrivettore, che sono scritte con un indice in basso: a µ = g µν a ν (52) 10

11 e possiamo dunque scrivere il prodotto scalare anche così: In particolare possiamo calcolare il prodotto scalare a b = a µ b µ = a µ b µ (53) a a = (a 0 ) 2 (a 1 ) 2 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (54) che è naturale denire norma del quadrivettore a. Poiché le quantità a µ sono arbitrarie, vediamo che la norma di un quadrivettore può essere positiva, negativa o nulla. Corrispondentemente, diciamo che il quadrivettore è di tipo tempo (timelike), spazio (spacelike) o luce (lightlike). Inversione temporale e causalità Consideriamo un evento P 1 : per esempio il lampo di un ash fotograco che avviene ad un certo istante t 1 nel punto dello spazio di coordinate (x 1, y 1, z 1 ); ed un altro evento P 2 che immaginiamo sia un altro lampo all'istante t 2 in un altro punto di coordinate (x 2, y 2, z 2 ). Ai due eventi corrispondono dunque i raggi vettori x µ 1 = (x 1, y 1, z 1, ct 1 ) x µ 2 = (x 2, y 2, z 2, ct 2 ) (55) Si denisce distanza tra i due eventi il vettore s µ = x µ 2 x µ 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1, c(t 2 t 1 )) (56) Osserviamo ora che se la distanza tra i due eventi P 1 e P 2 è di tipo spacelike, la successione temporale di essi può risultare invertita, a patto di osservare tali eventi da un opportuno sistema di riferimento. Supponiamo per semplicità che i due lampi avvengano sull'asse x (dunque con coordinate y e z uguali a zero) e che sia c 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 < 0 (57) ed inoltre che, in un dato sistema di riferimento, sia t 2 > t 1 (58) x 2 > x 1 (59) 11

12 Possiamo scrivere dunque che per tali eventi: c (t 2 t 1 ) < x 2 x 1 (60) ovvero c (t 2 t 1 ) < 1 (61) x 2 x 1 Osserviamo ora i due eventi precedenti da un altro sistema di riferimento. Con una trasformazione di Lorentz abbiamo cioè t 1 = t 1 (V/c 2 ) x 1 (62) 1 V 2 /c 2 t 2 = t 2 (V/c 2 ) x 2 (63) 1 V 2 /c 2 t 2 t 1 = t 2 t 1 (V/c 2 )(x 2 x 1 ) 1 V 2 /c 2 (64) Vericare se è possibile che nel nuovo sistema di riferimento t 2 t 1 sia negativo, equivale a vericare se è possibile che si possa ottenere t 2 t 1 V c 2 (x 2 x 1 ) < 0 (65) ovvero V > (t 2 t 1 ) c c (66) x 2 x 1 D'altra parte, ricordando la (61), ciò signica che V deve essere maggiore di una certa velocità comunque minore di c: cosa che è sempre possibile avere. Da ciò segue che l'evento P 1 può essere la causa dell'evento P 2 solo se la distanza tra tali eventi è di tipo timelike o lightlike; diversamente esisterebbero sistemi di riferimento rispetto ai quali osserveremmo un eetto che precede temporalmente la sua causa: in contraddizione con il principio di causalità. Trasformazioni di Lorentz generiche Scriviamo così una generica trasformazione di Lorentz: x µ = Λ µ νx ν (67) 12

13 della quale la (21) è il caso particolare che riguarda un moto traslatorio di O lungo l'asse x (con assi paralleli). Per un generico quadrivettore, del quale x µ è il prototipo, vale altrettanto la seguente legge di trasformazione, che è dunque la legge di trasformazione per le componenti controvarianti: Tale relazione può essere invertita, scrivendo dunque dove Θ µ ν è la matrice inversa di Λ µ ν: a µ = Λ µ νa ν (68) a µ = Θ µ νa ν (69) Θ ν µ Λ µ σ = δ ν σ (70) Ricordiamo che il prodotto scalare a b è un invariante. Scriviamo allora, cambiando opportunamente nome agli indici muti: a b = a µ b µ = a ρ b ρ = Λ ρ σa σ b ρ = a σ b σ (71) Poiché tale uguaglianza deve essere valida per qualsiasi valore di a σ segue b σ = Λ ρ σb ρ (72) che è simile alla (68) a parte lo scambio delle quantità relative ad O e O. Invertendo tale relazione scriviamo b µ = Θ ν µ b ν (73) Le equazioni di Maxwell non omogenee Ci accorgiamo che nello spazio quadridimensionale di Minkowski è molto semplice scrivere le equazioni di Maxwell in forma compatta. A questo scopo, inventiamoci la seguente matrice antisimmetrica F µν (ponendo dunque gli indici in alto). È proprio il caso di dire inventiamoci perché, per il momento, questa 13

14 tabella non ha alcun particolare signicato; è soltanto un utile metodo di scrittura e gli indici µ e ν sono semplicemente indici di riga e di colonna: F µν = 0 B z B y E x /c B z 0 B x E y /c B y B x 0 E z /c E x /c E y /c E z /c 0 E inventiamoci anche questa matrice colonna: j µ = Nelle espressioni precedenti, l'indice zero deve essere pensato come indice quattro, riferendosi cioè alla quarta riga o alla quarta colonna, a seconda dei casi. Ebbene, le equazioni di Maxwell non omogenee sono contenute in questa relazione: µ F µν = µ 0 j ν (76) dove abbiamo denito µ (77) x µ Infatti, poniamo per esempio ν = 1. Otteniamo: ovvero cioè: j x j y j z cρ (74) (75) 1 F F F F 01 = µ 0 j 1 (78) B z y B y z 1 E x c 2 t = µ 0 j 1 (79) E x (rotb) x = µ 0 j x + µ 0 ε 0 (80) t Ponendo ν = 2, 3 si ottengono equazioni simili per le altre componenti. Ponendo ν = 0 otteniamo invece: ovvero 1 F F F F 00 = µ 0 j 0 (81) 1 E x c x + 1 E y c y + 1 E z c z = µ 0cρ (82) 14

15 cioè dive = µ 0 c 2 ρ = ρ/ε 0 (83) È inoltre molto semplice scrivere l'equazione di continuità. Infatti si ha ovviamente: µ ν F µν = 0 (84) poiché sulla quantità antisimmetrica F µν agisce l'operazione µ ν che è evidentemente simmetrica negli indici µ e ν. D'altra parte, per la (76), si ha µ ν F µν = µ 0 µ j µ (85) dalle (84) e (85) si ha dunque: µ j µ = 0 (86) che è proprio l'equazione di continuità. Scrivendo esplicitamente, infatti: ovvero 1 j j j j 0 = 0 (87) div j + 1 c t j4 = div j + ρ t = 0 (88) Campi tensoriali nello spazio di Minkowski In un dato sistema di riferimento, un campo scalare è denito da una funzione ordinaria delle coordinate spaziali e del tempo (di solito, nelle applicazioni, tale funzione è continua e derivabile un numero arbitrario di volte). Un classico esempio è fornito dalla temperatura in una certa zona della Terra: la temperatura è infatti funzione della latitudine, longitudine e quota del punto che ci interessa; e cambia al trascorrere del tempo. Scriviamo dunque T = T (x, y, z, ct) T (x) (89) intendendo brevemente con x l'insieme delle quattro coordinate spazio-temporali. Se cambiamo sistema di riferimento, lo stesso campo delle temperature sarà descritto da una nuova funzione T (x ) per la quale deve dunque valere: T (x ) = T (x) (90) 15

16 con x ν = Λ ν µ x µ (91) Altrettanto, si può parlare di campo vettoriale v µ (x) se in due diversi sistemi di riferimento si ha comunque: v µ (x)e µ = v ν (x )e ν (92) dove con e µ e e ν sono indicati i versori degli assi coordinati nei rispettivi sistemi di riferimento. D'altra parte, per i versori, vale la legge di trasformazione e µ = Λ ν µe ν (93) Da ciò segue: v µ (x) Λ ν µ e ν = v ν (x )e ν (94) ovvero: v ν (x ρ = Λ ρ σ x σ ) = Λ ν µ v µ (x) (95) Per le componenti covarianti di un campo vettoriale vale evidentemente v ν(x ) = Θ ρ ν v ρ (x) (96) In generale, abbiamo campi tensoriali per i quali si verica, ad esempio: T µν (x ρ = Λ ρ σ x σ ) = Λ µ α Λ ν β T αβ (x) (97) Vogliamo ora mostrare che il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale con indice covariante o, come si dice brevemente, è un vettore covariante. Dato un campo ϕ(x) dobbiamo calcolare le derivate rispetto alle coordinate che, come sappiamo, sono le componenti controvarianti del raggio vettore. In altri termini, dobbiamo calcolare ϕ(x) (98) x µ In un altro sistema di riferimento scriviamo, altrettanto: x µ ϕ (x ) (99) D'altra parte, possiamo scrivere facilmente questa serie di uguaglianze: x µ ϕ (x ) = xν ϕ(x) = x µ x µ 16 x ϕ(x) = ν Θν µ x ν ϕ(x) (100)

17 La prima uguaglianza segue dal fatto che ϕ è un campo scalare; la seconda dalla regola di derivazione delle funzioni composte; e la terza dalla proprietà (91). La (100) rappresenta dunque proprio quanto volevamo dimostrare. Si può scrivere anche così: x µ ϕ(x) = µϕ(x) (101) facendo apparire in modo più esplicito la natura covariante dell'indice µ. Possiamo allora ricavare dalla (86) una conseguenza molto importante. Poiché l'operatore µ produce un indice covariante e µ j µ è una quantità scalare (in rispetto del principio di relatività deve essere nulla in qualsiasi sistema di riferimento, ovvero la conservazione della carica elettrica deve comunque valere), segue che j µ è necessariamente un vettore controvariante. Stabilito questo, dalla (76) segue che F µν è necessariamente un tensore controvariante che è chiamato tensore elettromagnetico. Con queste conclusioni, le semplici tabelle (74) e (75) acquistano un valore del tutto rilevante: esse mostrano il contenuto di un campo tensoriale e vettoriale rispettivamente. In altri termini, gli indici µ e ν di riga e di colonna sono eettivamente indici di Lorentz, caratteristici di vettori (o tensori) nello spazio di Minkowski. Si dice allora che le equazioni di Maxwell, scritte nella (76) sono espresse in forma covariante nel senso che sono appunto relazioni tra enti vettoriali o tensoriali nello spazio di Minkowski. In generale, per rispettare il principio di relatività, tutte le equazioni della sica dovranno dunque risultare covarianti. Meccanica relativistica Passando allo studio della dinamica del punto materiale, ci accorgiamo subito che l'equazione newtoniana, così come è scritta, F = d dt p (102) è sicuramente non covariante, poiché è una relazione tra vettori dello spazio ordinario tridimensionale e non tra vettori o tensori quadridimensionali. Dobbiamo quindi rimpiazzare la (102) con un'equazione covariante che, d'altra 17

18 parte, riproduca la (102) stessa nel limite di velocità piccole rispetto a quella della luce. Cominciamo con il denire le quantità cinematiche rilevanti. Supponiamo di individuare un punto materiale in movimento in un certo riferimento inerziale R che, ad un dato istante t, ha coordinate spaziali x, y e z. Ciò equivale a conoscere il raggio vettore x µ = (x, y, z, ct) (103) Supponiamo che in tale istante il punto abbia una velocità (tridimensionale) v. Dopo un intervallo di tempo innitesimo dt, il punto si è spostato di una quantità innitesima e l'incremento del raggio vettore risulta La sua norma è dx µ = (dx, dy, dz, cdt) = (v x dt, v y dt, v z dt, cdt) (104) (dx µ ) 2 = (c 2 v 2 x v 2 y v 2 z) dt 2 = (c 2 v 2 ) dt 2 (105) dove con v 2 denotiamo il quadrato del modulo tridimensionale della velocità. Osserviamo ora il punto materiale da un altro sistema di riferimento R che si muove di moto traslatorio rispetto a R proprio con velocità v. La norma rimane la stessa; d'altra parte, rispetto ad R il punto materiale è fermo. Per conseguenza, vale la seguente uguaglianza: (dx µ ) 2 = c 2 dt 2 = (c 2 v 2 ) dt 2 = (dx µ ) 2 (106) dalla quale si vede che l'intervallo di tempo dt, misurato nel sistema di riferimento che in quell'istante segue il punto materiale nel suo movimento, è un invariante relativistico (poiché lo sono (dx µ ) 2 e c 2 ). Tale intervallo di tempo viene di solito indicato con il simbolo dτ e, come abbiamo già avuto occasione di dire, viene chiamato intervallo di tempo proprio. Si ha dunque: dt = dt 1 v 2 /c 2 dτ (107) Riconsideriamo l'elemento spazio-temporale (che è un quadrivettore innitesimo) dx µ = (dx, cdt) (108) 18

19 Dividendo per dτ (che è una quantità scalare) otteniamo dunque un altro quadrivettore: u µ dxµ dτ = v 1 v 2 /c, c 2 1 v 2 /c 2 = (γv, γc) (109) che è naturale denire come quadrivelocità, giacché la sua parte spaziale coincide proprio con l'ordinario vettore velocità, nel limite non relativistico. Notiamo che la quadrivelocità ha norma costante (positiva) uguale a c 2 : ( ) (u µ ) 2 = γ 2 c 2 γ 2 v 2 = γ 2 c 2 1 v2 c 2 = c 2 (110) Moltiplicando per la massa m del punto materiale deniamo altrettanto il quadrimpulso: mv p µ m u µ = 1 v 2 /c, mc 2 1 v 2 /c 2 = (γmv, γmc) (111) che evidentemente ha norma costante uguale a m 2 c 2. Per quanto riguarda la dinamica, ci riferiamo alla forza di Lorentz che, d'altra parte, è una forza fondamentale della Natura; per la quale non sono necessari modelli fenomenologici, come invece accade per le forze elastiche o le forze di attrito ecc. In termini di vettori tridimensionali sappiamo che: Per la componente x, per esempio: In termini del tensore elettromagnetico: D'altra parte, per denizione di u µ : f = q (E + v B) (112) f x = q (E x + v y B z v z B y ) (113) f x = q (cf 10 + v y F 21 v z F 13 ) (114) f x = q ( ) cf 10 + u2 γ F 21 u3 γ F (115)

20 Ora studiamo con cura il seguente passaggio, nel quale abbassiamo gli indici della quadrivelocità. Ricordiamoci che, per la struttura di g µν, si ha u 0 = u 0, u i = u i (questa è una regola generale da tenere sempre presente: la quarta componente di un quadrivettore rimane immutata abbassando (o innalzando) il suo indice; le componenti spaziali cambiano segno). Ricordiamoci anche dell'antisimmetria del tensore elettromagnetico. Con queste indicazioni è facile rendersi conto che si ha: f 1 = f x = q ( u0 γ F 10 + u 2 γ F 12 + u 3 γ F 13 + u 1 γ F 11 ) = q γ u νf 1ν (116) (l'ultimo addendo è identicamente nullo e lo abbiamo aggiunto nell'espressione (115); in questo modo però ci siamo avvantaggiati ottenendo una scrittura nella quale compaiono tutti gli indici sommati). Espressioni analoghe si ottengono per le altre componenti spaziali di f e in denitiva possiamo vericare che: γf i = qf iν u ν (117) dove con l'indice i abbiamo denotato la componente che può essere x, y o z. A questo punto è naturale introdurre un'analoga espressione f 0, denita da γf 0 = qf 0ν u ν (118) e scrivere γf µ = qf µν u ν (119) Al secondo membro abbiamo un quadrivettore e allora lo è altrettanto il primo membro che denisce così la quadriforza F µ : F µ γf µ = qf µν u ν (120) A parte il fattore γ, la parte spaziale coincide con l'espressione tridimensionale della forza di Lorentz f ; e la parte temporale risulta F 0 = γ q c E v (121) In denitiva, scrivendo esplicitamente la parte spaziale e quella temporale, abbiamo il quadrivettore ( F µ = γf, γ q E c v ) ( = γf, γ 1 f c v ) (122) 20

21 L'ultimo passaggio è giusticato dal fatto che la parte magnetica della forza di Lorentz non contribuisce (si ha un prodotto misto nullo). Dobbiamo ora uguagliare la quadriforza ad un'espressione che contenga la variazione di impulso, come è suggerito dall'equazione newtoniana. Per rispettare la covarianza, non possiamo avere altro che: La parte spaziale risulta: F dp = dτ = d dτ ovvero mv F µ = dpµ dτ 1 v 2 /c = 1 d 2 1 v 2 /c 2 dt f = d dt (123) mv 1 v 2 /c 2 (124) mv (125) 1 v 2 /c 2 che, per piccole velocità, si riduce all'equazione di Newton f = m dv/dt. Una conseguenza molto importante viene dalla quarta componente della (123) per la quale risulta: mc 2 f v dt = d (mc 2 γ) = d (126) 1 v 2 /c 2 Al primo membro compare il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz nel tempo dt; dunque al secondo membro deve comparire la variazione di energia cinetica de. Questo ci suggerisce la seguente espressione per E: E = mc 2 1 v 2 /c 2 (127) In particolare, per piccole velocità, sviluppando in serie rispetto a v 2, si ha: ( E mc v 2 ) 2 c 2 = mc mv2 (128) che, a parte il valore costante mc 2, coincide con l'espressione classica. D'altra parte, se l'espressione corretta per l'energia cinetica è la (127), non possiamo omettere il termine mc 2 che risulta dunque presente anche per velocità nulle. Questo termine è chiamato energia di riposo che compete ad un punto materiale di massa m. Il solo fatto che un corpo abbia massa m implica pertanto 21

22 che esso possieda comunque un'energia pari a mc 2 : massa ed energia sono dunque strettamente correlate. Discuteremo più avanti l'eettiva validità della (127). Un'altra relazione importante lega l'energia all'impulso di una particella. Ricordiamo infatti che Moltiplicando per c: p µ = p, mc 1 v 2 /c 2 cp µ = cp, mc 2 = (cp, E) 1 v 2 /c 2 da questa si ricava c 2 p 2 = E 2 c 2 p 2 (129) nella quale p è la parte spaziale del quadrimpulso: mv (130) 1 v 2 /c 2 p = Ricordiamo inoltre che p 2 = p µ 1 p µ = 1 v 2 /c 2 (mc2 mv 2 ) = m 2 c 2 (131) e dunque, dalla (129): E 2 = c 2 p 2 + m 2 c 4 (132) A questo punto, è molto importante studiare il caso limite nel quale si considerano particelle di massa nulla. In meccanica classica, ad una particella di massa nulla competono impulso ed energia nulli. In pratica ciò signica che, in meccanica classica, non esistono particelle di massa nulla. O, per meglio dire, la eventuale presenza di particelle a massa nulla non è osservabile: non possiamo accorgerci se esse intervengono in un qualsiasi processo, dal momento che esse non apportano alcuna variazione di impulso o di energia (e anche di momento angolare). La situazione è completamente diversa in relatività: la presenza di particelle di massa nulla è assolutamente ammissibile ed osservabile. Ce ne accorgiamo dalla (131): nel limite di m che tende a zero osserviamo che il quadrimpulso è di tipo luce: p 2 = p µ p µ = 0 (133) 22

23 ma ciò non signica che la parte spaziale e quella temporale di p µ siano separatamente nulle. Per di più, dalla (132), possiamo anche osservare che una particella di massa nulla possiede un'energia cinetica: E = c p (134) D'altra parte, è semplice ricavare la relazione che lega E al modulo spaziale dell'impulso p e alla velocità v di una particella di massa m. Dalla (130) si ha infatti, prendendo i moduli e moltiplicando per c 2 : E = c2 p v (135) Confrontando con la (134) si vede che per una particella di massa nulla si ha necessariamente v = c; ovvero una particella di massa nulla si muove necessariamente alla velocità della luce. Questi risultati non sono in contraddizione con le espressioni (127) e (130) che sembrerebbero fornire impulso ed energia comunque nulli, quando m tende a zero. Infatti, tali limiti sono eettivamente zero se v è diversa da c: in questo caso la particella è inosservabile, come in meccanica classica; ma se si ammette che il passaggio al limite m 0 sia accompagnato da v che tende a c, i limiti in questione possono benissimo essere diversi da zero. Notiamo che la relazione (134) è quella che lega energia e impulso di un'onda piana monocromatica. Ciò ci permette di interpretare la propagazione del campo elettromagnetico come propagazione di particelle di massa nulla: i fotoni. Rimane la questione della validità della (127), dalla quale derivano le circostanze che abbiamo appena esposto. l'energia di risposo per la quale deve valere In particolare, vogliamo valutare E = mc 2 (136) Si deve proprio ad Einstein un argomento a riprova di ciò. Immaginiamo un vagone di massa M e di lunghezza L all'estremo sinistro del quale sia posto il ash di una macchina fotograca. All'altro estremo sia posto uno schermo S che assorbe la luce che gli viene inviata orizzontalmente, lungo l'asse x verso destra. Se p x è l'impulso del campo elettromagnetico associato alla luce del ash, non c'è dubbio che, dopo il lampo, il vagone subirà un rinculo 23

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

9. Urti e conservazione della quantità di moto.

9. Urti e conservazione della quantità di moto. 9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,

Dettagli

Modulo di Meccanica e Termodinamica

Modulo di Meccanica e Termodinamica Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 1 ENERGIA Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 2 Energia L energia è ciò che ci permette all uomo di compiere uno sforzo o meglio

Dettagli

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 I CODICI 1 IL CODICE BCD 1 Somma in BCD 2 Sottrazione BCD 5 IL CODICE ECCESSO 3 20 La trasmissione delle informazioni Quarta Parte I codici Il codice BCD

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi)

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) 1 Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) Una guida semicircolare liscia verticale di raggio = 40 cm è vincolata ad una piattaforma orizzontale che si muove con accelerazione costante a t = 2

Dettagli

Energia potenziale elettrica e potenziale. In queste pagine R indicherà una regione in cui è presente un campo elettrostatico.

Energia potenziale elettrica e potenziale. In queste pagine R indicherà una regione in cui è presente un campo elettrostatico. Energia potenziale elettrica e potenziale 0. Premessa In queste pagine R indicherà una regione in cui è presente un campo elettrostatico. 1. La forza elettrostatica è conservativa Una o più cariche ferme

Dettagli

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N. 6 ARGOMENTO: Grafici di funzioni sottoposte a trasformazioni elementari.

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Danilo Saccoccioni - LAVORO - - ENERGIA MECCANICA - - POTENZA -

Danilo Saccoccioni - LAVORO - - ENERGIA MECCANICA - - POTENZA - Danilo Saccoccioni - LVORO - - ENERGI MECCNIC - - POTENZ - LVORO COMPIUTO D UN ORZ RELTIVMENTE UNO SPOSTMENTO Diamo la definizione di lavoro compiuto da una forza relativamente a uno spostamento, distinguendo

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

- LAVORO - - ENERGIA MECCANICA - - POTENZA -

- LAVORO - - ENERGIA MECCANICA - - POTENZA - Danilo Saccoccioni - LAVORO - - ENERGIA MECCANICA - - POTENZA - Indice Lavoro compiuto da una forza relativo ad uno spostamento pag. 1 Lavoro ed energia cinetica 3 Energia potenziale 4 Teorema di conservazione

Dettagli

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida Con questa guida si vuol proporre un esempio di studio di funzione con Derive. La versione che ho utilizzato per questo studio è la 6.0. Consideriamo

Dettagli

Energia potenziale elettrica

Energia potenziale elettrica Energia potenziale elettrica Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Novembre 2013 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre 2013 1 / 14 Ripasso Quando spingiamo

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d Esercizio 1 Un automobile viaggia a velocità v 0 su una strada inclinata di un angolo θ rispetto alla superficie terrestre, e deve superare un burrone largo d (si veda la figura, in cui è indicato anche

Dettagli

Lezione 14: L energia

Lezione 14: L energia Lezione 4 - pag. Lezione 4: L energia 4.. L apologo di Feynman In questa lezione cominceremo a descrivere la grandezza energia. Per iniziare questo lungo percorso vogliamo citare, quasi parola per parola,

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI Il Sistema di Numerazione Decimale Il sistema decimale o sistema di numerazione a base dieci usa dieci cifre, dette cifre decimali, da O a 9. Il sistema decimale è un sistema

Dettagli

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia

Dettagli

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad

Dettagli

19 Il campo elettrico - 3. Le linee del campo elettrico

19 Il campo elettrico - 3. Le linee del campo elettrico Moto di una carica in un campo elettrico uniforme Il moto di una particella carica in un campo elettrico è in generale molto complesso; il problema risulta più semplice se il campo elettrico è uniforme,

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

La pista del mio studio Riflettiamo sulla pista. Guida per l insegnante

La pista del mio studio Riflettiamo sulla pista. Guida per l insegnante Riflettiamo sulla pista Guida per l insegnante Obiettivi educativi generali Compito di specificazione - possiede capacità progettuale - è in grado di organizzare il proprio tempo e di costruire piani per

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

13. Campi vettoriali

13. Campi vettoriali 13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J.

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J. Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza) La definizione di tale quantità scalare è L= F dl (unità di misura joule J) Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento,

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

Il fotone. Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine

Il fotone. Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine Il fotone Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine Interpretazione di Einstein dell effetto fotoelettrico Esistono «particelle»* di luce: i fotoni! La luce è composta da quantità indivisibili di energia

Dettagli

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie Forze, leggi della dinamica, diagramma del corpo libero 1 FORZE Grandezza fisica definibile come l' agente in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo. Ci troviamo di fronte ad una

Dettagli

Alessandro Pellegrini

Alessandro Pellegrini Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali 01 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non sono misurabili

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo. acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Moto circolare uniforme

Moto circolare uniforme Moto circolare uniforme 01 - Moto circolare uniforme. Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Q 1 = +3 10-5 C carica numero 1 Q 2 = +4 10-5 C carica numero 2 forza esercitata tra le cariche distanza tra le cariche, incognita

Q 1 = +3 10-5 C carica numero 1 Q 2 = +4 10-5 C carica numero 2 forza esercitata tra le cariche distanza tra le cariche, incognita Problema n 1 A quale distanza, una dall'altra bisogna porre nel vuoto due cariche (Q 1 =3 10-5 C e Q 2 =4 10-5 C) perché esse esercitino una sull'altra la forza di 200 N? Q 1 = +3 10-5 C carica numero

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 00 Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

Logaritmi ed esponenziali

Logaritmi ed esponenziali Logaritmi ed esponenziali definizioni, proprietà ITIS Feltrinelli anno scolastico 2007-2008 A cosa servono i logaritmi I logaritmi rendono possibile trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze,

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Parte I Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton 3.1-3.2-3.3 forze e principio d inerzia Abbiamo finora studiato come un corpo cambia traiettoria

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 010 Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a

Dettagli

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 Lavoro, forza costante: W = F r Problema 1 Quanto lavoro viene compiuto dalla forza di

Dettagli

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo.

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo. Lavoro ed energia 1. Forze conservative 2. Energia potenziale 3. Conservazione dell energia meccanica 4. Conservazione dell energia nel moto del pendolo 5. Esempio: energia potenziale gravitazionale 6.

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio

Dettagli

L'impulso di una forza che varia nel tempo

L'impulso di una forza che varia nel tempo Lezione 13 approfondimento pag.1 L'impulso di una forza che varia nel tempo Un riassunto di quel che sappiamo Riprendiamo in esame il solito carrellino che si trova sopra la rotaia a basso attrito. Se

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Forze come grandezze vettoriali

Forze come grandezze vettoriali Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente Funzioni In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: 1. un insieme X detto dominio di f 2. un insieme Y detto codominio di f 3. una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

2. L ENERGIA MECCANICA

2. L ENERGIA MECCANICA . L ENERGIA MECCANICA.1 Il concetto di forza La forza può essere definita come «azione reciproca tra corpi che ne altera lo stato di moto o li deforma: essa é caratterizzata da intensità direzione e verso».

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo una lampadina inserita in un circuito elettrico costituito da fili metallici ed un interruttore.

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto.

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto. Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. Indice 1 Quantità di moto. 1 1.1 Quantità di moto di una particella.............................. 1 1.2 Quantità

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario. Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765 COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento

Dettagli