Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA

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1 T1 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Biennio 22 novembre 2018 La prova è costituita da 16 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate. Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. Per ognuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 110 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: mail (facoltativa): Indicare la più piccola tra queste frazioni. (A) 2016 (B) 2015 (C) (D) (E) Quale dei seguenti numeri si può ottenere sommando i quadrati di due numeri interi multipli di 3? (A) 450 (B) 300 (C) 270 (D) 483 (E) Carla costruisce un cubo incollando 1000 piccoli cubetti tutti uguali (con 10 cubetti lungo ogni spigolo). Dipinge quindi di rosso tutte le facce del cubo che ha costruito. Quanti dei cubetti iniziali avranno precisamente due facce colorate di rosso? (A) 60 (B) 120 (C) 104 (D) 90 (E) Sia Luca che Claudia hanno in mano una carta rossa e una nera. Luca pesca una carta a caso dalla mano di Claudia e la aggiunge alle proprie. A questo punto, Claudia pesca una carta dalla mano di Luca. Qual è la probabilità che ciascuno dei due venga a trovarsi con due carte in mano dello stesso colore (uno con due carte rosse, uno con due carte nere)? (A) 3/4 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 1/6 5. Nella figura qui a lato, sono indicate le ampiezze degli angoli di vertici A, B, D, F, G. Gli angoli di vertici C e E hanno la stessa ampiezza, indicata con. Qual è il valore di tale ampiezza? (A) 41 (B) 39 (C) 40 (D) 37 (E) 38 A B Cesare possiede un gran numero di soldatini, tra 2000 e Prova a disporli in fila per 2, per 3, per 4, 5, 6, 7, ma ogni volta ne avanza uno. Se li vuole disporre tutti in varie file della stessa lunghezza (maggiore di 1), quale dovrà essere come minimo tale lunghezza? (A) 19 (B) 23 (C) 11 (D) 17 (E) Teodoro sta costruendo una sequenza di triangoli rettangoli, A 10 A 11 disposti come qui a lato. Il primo è il triangolo isoscele A 1 A 2 A 3, rettangolo in A 1, con cateti di 1 cm. Il secondo A 8 A 9 è A 2 A 3 A 4, rettangolo in A 2, dove A 2 A 4 è ancora di 1 cm. Il terzo è A 3 A 4 A 5, rettangolo in A 3, con A 3 A 5 ancora di 1 cm. La costruzione va avanti così: in ciascun triangolo A 6 A 4 A 7 A 5 A n A n+1 A n+2, rettangolo in A n, il cateto A n A n+2 è sempre di 1 cm. Quanti cm misurerà il segmento A 100 A 101? A 2 A 3 (A) 20 (B) 50 (C) 25 (D) 10 (E) 16 A 1 8. Tre ragazze ed un ragazzo debbono sedersi attorno a un tavolo con cinque sedie, numerate da 1 a 5. Per decidere il proprio posto, ciascuno dei quattro estrae a sorte uno tra cinque foglietti (numerati da 1 a 5). Qual è la probabilità che la sedia che rimane vuota venga a trovarsi tra due ragazze? (A) 3/5 (B) 2/5 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 1/2 9. Il lato maggiore della cornice di un quadro è 5/4 del minore. La cornice ha lo stesso spessore su tutti e quattro i lati. Nel quadro all interno della cornice (rappresentato con un rettangolo grigio), il lato maggiore misura 32 cm e il lato minore 24. Di quanti cm 2 è l area del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cornice? (A) 1440 (B) 1200 (C) 1280 (D) 1600 (E) 1500 C D 50 E F G

2 10. Un cellulare con la batteria del tutto scarica deve rimanere in carica 2 ore per ricaricarsi completamente, se nel frattempo non è in uso. Se invece è utilizzato durante la ricarica, la metà dell energia introdotta viene subito consumata e solo la parte restante si accumula nella batteria. Sapendo che, per ricaricare la batteria da zero, sono servite 2 ore e mezza, stabilire per quanti minuti il cellulare è stato utlizzato durante la ricarica (si suppone, che si usi o meno il telefono, che l energia immagazzinata in un intervallo di tempo sia proporzionale alla sua durata). (A) 75 (B) 60 (C) 54 (D) 70 (E) Quanti sono i diversi triangoli isosceli, con tutti i lati di lunghezze intere, aventi un lato di lunghezza 2018 che è maggiore degli altri due? (A) 1007 (B) 1006 (C) 1010 (D) 1008 (E) Michela ha disegnato una tabella rettangolare di dimensioni Vuole disporre 99 monete, ciascuna in una casella della tabella, in modo che non vi siano coppie di caselle con un lato in comune entrambe occupate da una moneta. In quanti modi diversi Michela potrà collocare le 99 monete? (A) 200 (B) 396 (C) 402 (D) 400 (E) Nel triangolo isoscele ABC, dove AB = BC = 5 cm e AC = 6 cm, l altezza uscente dal vertice C cade nel punto D del lato AB. Di quanti cm 2 è l area del triangolo BCD? (A) 10 3 (B) (C) 17 5 (D) (E) Mario scrive i numeri interi positivi in una griglia con 7 colonne, come mostrato in figura. Poiché ha in antipatia il numero 11, nel suo elenco mancano tutti i multipli di 11. Indichiamo con (m; n) la casella che si trova nella riga numero m (contando dall alto) e nella colonna numero n (contando da sinistra): ad esempio, la casella (2; 4) contiene il numero 12. In quale casella sarà contenuto il numero 1500? (A) (195; 6) (B) (215; 2) (C) (214; 2) (D) (194; 3) (E) (193; 6) Chiara ha disposto 8 monetine in fila. Alcune mostrano la faccia con la testa, altre quella con la croce, in questa sequenza: TTTTTCCC. Fa questo gioco: ad ogni mossa, sceglie due monete consecutive e le capovolge entrambe. Chiara, con alcune mosse di questo tipo, vorrebbe ottenere una fila di monete disposte nella sequenza CCCCCCTT. Che cosa si può concludere? (A) Ci può riuscire con un minimo di 3 mosse. (B) Ci può riuscire con un minimo di 5 mosse. (C) Ci può riuscire con un minimo di 7 mosse. (D) Ci può riuscire con un numero pari di mosse. (E) Non ci può riuscire. 14. Da un punto P all interno di un quadrilatero convesso, si tracciano i segmenti che lo congiungono ai punti medi dei lati. In questo modo, il quadrilatero viene suddiviso in quattro regioni. Nella figura sono indicate le aree di tre di queste regioni. Qual è l area della quarta? (A) 32 (B) 33 (C) 29 (D) 31 (E) P 23?

3 Giochi di Archimede 2018 Soluzioni gara biennio (versione T1) (1) La risposta corretta è (D). Le frazioni sono infatti tutte del tipo +1 denominatore massimo. = 1 + 1, dunque la più piccola è quella che ha il (2) La risposta corretta è (A). Difatti, se n è un numero somma dei quadrati di due numeri 3h, 3k interi multipli di tre, allora deve aversi n = 9(h 2 + k 2 ); dunque n è divisibile per 9. Delle risposte possibili soltanto 450, 270 e 189 sono divisibili per 9. Dividendo per 9 tali numeri, si trovano 50, 30 e 21. Di questi, solo 50 = = è esprimibile come somma di due quadrati. (3) La risposta corretta è (E). I cubetti che avranno due facce colorate di rosso corrispondono precisamente ai cubetti che giacciono sugli spigoli del cubo, ma non nei vertici. Su ogni spigolo, con esclusione dei vertici, ci sono 8 cubetti, ed il totale degli spigoli di un cubo è 12: tali cubetti saranno dunque 8 12 = 96. Quesito proposto da Carmelo di Stefano. (4) La risposta corretta è (C). Dopo che Luca ha pescato una carta da quelle di Claudia, Claudia si trova con una carta di un colore, e Luca con tre, di cui una sola dello stesso colore della carta che resta a Claudia: la probabilità che Claudia peschi proprio quella (e si ritrovino quindi entrambi con due carte dello stesso colore) è quindi 1/3. Quesito proposto da Sandro Campigotto. (5) La risposta corretta è (A). Siano H, K, L ed M rispettivamente i vertici intersezione del segmento AG con i segmenti BC, CD, DE ed EF. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo dà 180, si ottiene che gli angoli in H (tra loro opposti e uguali) sono uguali a 73, e quelli in M uguali a 75. Gli angoli in K valgono allora = 107 e quelli in L valgono = 105. Ne consegue, sommando gli angoli interni del triangolo KDL, che = 180, ovvero = 41. (6) La risposta corretta è (C). Infatti, se n è il numero di soldatini di Cesare, e ne avanza sempre uno nella divisione per 2, 3, 4, 5, 6 e 7, vuol dire che n 1 è divisibile per tutti questi numeri; quindi mcm(2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420 divide n 1. L'unico multiplo di 420 compreso tra 2000 e 2500 è Pertanto si ha n = 2101, il cui divisore più piccolo (diverso da 1) è 11. (7) La risposta corretta è (D). Per il teorema di Pitagora, si ha A 2 A 3 = = 2, quindi A 3 A 4 = = 3 e così via: A n A n+1 = (n 1) = n. Dunque A 100 A 101 = 10. 1

4 (8) La risposta corretta è (E). Tenendo in considerazione esclusivamente il genere delle 4 persone (maschio o femmina), il numero totale di possibili congurazioni è uguale a 20: cioè 5 (corrispondente a scegliere una delle 5 sedie da lasciar vuota) moltiplicato per 4 (il numero possibile di scelte per il posto del ragazzo, una volta decisa la sedia che resta vuota). Il numero di casi favorevoli, cioè in cui la sedia vuota si trova tra due ragazze, è invece uguale a 10: cioè 5 (come sopra) moltiplicato per 2 (corrispondente, una volta ssata la sedia che resta vuota, al numero possibile di scelte per il posto del ragazzo, non adiacente a tale sedia). La probabilità richiesta è dunque uguale a 10/20 = 1/2. (9) La risposta corretta è (C). Sia lo spessore della cornice. Per ipotesi si ha = 5 4 ( ), da cui si deduce = 4. L'area del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cronice è (32 + 8) (24 + 8) = 1280 cm 2. Quesito proposto da Paolo Negrini. (10) La risposta corretta è (B). Detta E l'energia totale immagazzinabile nel cellulare, l'energia immagazzinata in un minuto senza usarlo sarà uguale E 120 : l'energia immagazzinata in un minuto di utilizzo sarà invece uguale a 1 2 E 120 = E 240. Se il tempo necessario alla ricarica con minuti di utilizzo è di 150 minuti, allora deve aversi (150 )E/120 + E/120 = E, dunque = 60. Quesito proposto da Giorgio Navone. (11) La risposta corretta è (D). Un tale triangolo isoscele ha in eetti base uguale a 2018 e i due lati di ugual lunghezza, detta n, inferiore. Deve aversi allora 0 < n < 2018 e, per la disuguaglianza triangolare, 2018 < 2n. Ne consegue che le misure possibili dei pdue lati uguali varia tra i numeri interi strettamente compresi tra 0 e 1009: i possibili triangoli sono dunque Quesito proposto da Carmelo Di Stefano. (12) La risposta corretta è (A). I multipli di 11 tra 1 e 1500 sono 136, in quanto 1000 = Eliminando tali numeri resta una lista di 1364 numeri da mettere nella tabella, di cui il numero 1500 è l'ultimo: poiché 1364 = , tale ultimo numero cadrà pertanto nella 6 a colonna colonna della 195 a riga. Quesito proposto da Carmelo Di Stefano. (13) La risposta corretta è (E). Infatti, il numero di T nella sequenza di monete rimane sempre dispari, dopo ogni mossa: pertanto non è possibile arrivare a una congurazione contenente esattamente due T. (14) La risposta corretta è (A). Conduciamo i segmenti che congiungono P ai quattro vertici: essi tagliano le quattro regioni in triangoli aventi a due a due la stessa area, in quanto aventi ugual base ed altezza. Da ciò segue che le somme delle aree delle due coppie di regioni opposte sono uguali. L'area mancante è perciò = 32. Quesito proposto da Giovanni Maria Tomaselli. (15) La risposta corretta è (B). Per ogni possibile disposizione compatibile con le richieste di Michela, vi sara' una e una sola colonna lasciata vuota. Se tale colonna è la prima (oppure l'ultima), ci sono esattamente 2 disposizioni possibili, determinate da quale casella della colonna adiacente contiene una moneta. Se invece la colonna lasciata libera non è né la prima né l'ultima (dunque una delle 98 rimanenti), ci sono 4 disposizioni possibili, determinate dalle 4 possibili disposizioni di due monete nelle caselle delle due colonne adiacenti. In totale, le disposizioni possibili saranno dunque = 396.

5 (16) La risposta corretta è (D). Per il teorema di Pitagpra, l'altezza relativa al lato AC misura (in cm) = 4. Perciò l'area del triangolo è pari a = 12 cm 2. Segue che la misura dell'altezza CD (sempre in cm) è pari a = 24/5. Segue che BD = 5 2 (24/5) 2 = 7/5 e quindi l'area di BCD risulta uguale a (7/5) (24/5) 2 = 84/25. Come sempre, i problemi proposti sono stati, oltre che controllati e selezionati, in molti casi ampiamente modicati o riformulati dai responsabili della gara. Pertanto, nell'indicare i nominativi degli autori delle proposte, resta inteso che i responsabili sia della scelta dei quesiti, sia di eventuali errori, imprecisioni o formulazioni criticabili, sono da individuarsi esclusivamente nei responsabili stessi della gara ed in nessuna misura negli autori delle proposte. A tutti loro, ed anche a chi ha contribuito con quesiti che non sono stati selezionati, va il nostro ringraziamento per la varietà, l'originalità e la qualità delle proposte presentate. I responsabili dei Giochi di Archimede, Paolo Francini, Andrea Sambusetti