4. Quale dei seguenti numeri si può ottenere sommando i quadrati di due numeri interi multipli di 3? (A) 459 (B) 363 (C) 633 (D) 495 (E) 549

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1 T1 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Triennio 22 novembre 2018 La prova è costituita da 20 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate. Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. Per ognuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 110 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: mail (facoltativa): Indicare la più grande tra queste frazioni. (A) 2018 (B) 2016 (C) (D) (E) Sia Luca che Claudia hanno in mano due carte rosse e due nere. Claudia pesca una carta a caso dalla mano di Luca e l aggiunge alle proprie. A questo punto, Luca pesca una carta dalla mano di Claudia. Qual è la probabilità che ciascuno dei due venga a trovarsi con due carte rosse e due carte nere? (A) 2/3 (B) 2/5 (C) 3/5 (D) 3/4 (E) 1/2 3. Piero costruisce un cubo incollando 1000 piccoli cubetti tutti uguali (con 10 cubetti lungo ogni spigolo). Dipinge quindi di verde tutte le facce del cubo che ha costruito. Quanti dei cubetti iniziali avranno almeno una faccia colorata di verde? (A) 600 (B) 384 (C) 504 (D) 488 (E) Quale dei seguenti numeri si può ottenere sommando i quadrati di due numeri interi multipli di 3? (A) 459 (B) 363 (C) 633 (D) 495 (E) Un cellulare con la batteria del tutto scarica deve rimanere in carica 2 ore per ricaricarsi completamente, se nel frattempo non è in uso. Se invece è utilizzato durante la ricarica, il 40% dell energia introdotta viene subito consumata e solo la parte restante si accumula nella batteria. Sapendo che, per ricaricare la batteria da zero, sono servite 2 ore e mezza, stabilire per quanti minuti il cellulare è stato utilizzato durante la ricarica (si suppone, che si usi o meno il telefono, che l energia immagazzinata in un intervallo di tempo sia proporzionale alla sua durata). (A) 72 (B) 90 (C) 60 (D) 87 (E) Teodoro sta costruendo una sequenza di triangoli rettangoli, A 10 A 11 disposti come qui a lato. Il primo è il triangolo isoscele A 1 A 2 A 3, rettangolo in A 1, con cateti di 1 cm. Il secondo A 8 A 9 è A 2 A 3 A 4, rettangolo in A 2, dove A 2 A 4 è ancora di 1 cm. Il terzo è A 3 A 4 A 5, rettangolo in A 3, con A 3 A 5 ancora di 1 cm. La costruzione va avanti così: in ciascun triangolo A 6 A 4 A 7 A 5 A n A n+1 A n+2, rettangolo in A n, il cateto A n A n+2 è sempre di 1 cm. Quanti cm misurerà il segmento A 900 A 901? A 2 A 3 (A) 60 (B) 300 (C) 30 (D) 45 (E) 150 A 1 7. Per prepararsi ai Giochi di Archimede, Costanza sta cercando di risolvere una raccolta di quesiti tratti dalle gare degli anni passati. Ne lascia in bianco 14 e risponde correttamente a 2/3 dei rimanenti (le altre risposte sono invece sbagliate). Si accorge quindi che, calcolando i punteggi come si fa nei Giochi di Archimede, ha così realizzato un punto in meno di quanto avrebbe ottenuto rispondendo a tutte le domande e sbagliandone precisamente la metà. Circa il numero di quesiti della raccolta, si può concludere che esso è... (A) minore di 30 (B) fra 30 e 33 (inclusi) (C) fra 34 e 36 (inclusi) (D) fra 37 e 40 (inclusi) (E) maggiore di Scrivendo per esteso il numero intero ( ) 2 si utilizzano 4037 cifre. Qual è la somma di tutte queste cifre? (A) 36 (B) 31 (C) 42 (D) 51 (E) Il lato maggiore della cornice di un quadro è 8/5 del minore. La cornice ha lo stesso spessore su tutti e quattro i lati. Nel quadro all interno della cornice (rappresentato con un rettangolo grigio), il lato maggiore è doppio del lato minore. Qual è il rapporto tra l area del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cornice e l area del quadro all interno della cornice? (A) 7/3 (B) 20/9 (C) 8/5 (D) 12/5 (E) 64/25

2 10. Un pasticcere ha in negozio confetti di 12 gusti diversi e vuole confezionare bomboniere contenenti ciascuna 3 confetti, non necessariamente di gusti differenti. Quante bomboniere diverse può realizzare al massimo? (due bomboniere sono da considerare uguali se contengono confetti degli stessi gusti e nelle stesse quantità) (A) 364 (B) 320 (C) 324 (D) 360 (E) Nella figura qui a fianco, è rappresentato un rettangolo diviso in due quadrati uguali. Il lato di ciascuno dei due quadrati è pari a 6 cm. Di quanti cm 2 è l area complessiva della regione ombreggiata? (A) 33 (B) 30 (C) 24 (D) 27 (E) Anna ha riscritto per tre volte di fila un numero intero di due cifre, ottenendo così un numero S di sei cifre. Il numero S è sicuramente divisibile per... (A) 1111 (B) 101 (C) 11 (D) 111 (E) La circonferenza β ha centro nel punto B e raggio 40. Le circonferenze α e γ, di centri rispettivamente A e C, hanno lo stesso raggio r e sono entrambe tangenti esternamente a β. I tre centri A, B, C sono allineati. Sapendo che le rette passanti per A e tangenti a β sono tangenti anche a γ, che cosa si può affermare a proposito del raggio r? (A) r < 72 (B) 72 r < 75 (C) 75 r < 78 (D) 78 r < 81 (E) r Tre ragazzi e due ragazze debbono sedersi attorno a un tavolo con sei sedie, numerate da 1 a 6. Per decidere il proprio posto, ciascuno dei cinque estrae a sorte uno tra sei foglietti (numerati da 1 a 6). Qual è la probabilità che la sedia che rimane vuota venga a trovarsi tra un ragazzo e una ragazza? (A) 2/5 (B) 1/2 (C) 3/5 (D) 1/3 (E) 3/4 15. Giulia scrive i numeri interi positivi in una griglia con 7 colonne, come mostrato in figura. Poiché ha in antipatia il numero 11, nel suo elenco mancano tutti i multipli di 11. Indichiamo con (m; n) la casella che si trova nella riga numero m (contando dall alto) e nella colonna numero n (contando da sinistra): ad esempio, la casella (2; 4) contiene il numero 12. In quale casella sarà contenuto il numero 2018? (A) (289; 2) (B) (263; 1) (C) (278; 5) (D) (262; 4) (E) (288; 2) Si consideri l equazione ax 2 bx + a = 0 nell incognita x, dove a e b sono numeri reali positivi. Tra le seguenti 5 affermazioni, quante sono quelle vere? Se b > 2a, ci sono due soluzioni reali distinte. Se ci sono due soluzioni reali distinte, esse sono positive. Se una delle soluzioni è 9 volte l altra, allora b > 3a. Qualunque siano a e b, non possono esserci due soluzioni intere distinte. Se ci sono due soluzioni reali, il loro prodotto è 1. (A) solo 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) tutte e Da un punto P all interno di un quadrilatero convesso, si tracciano i segmenti che lo congiungono ai punti medi dei lati. In questo modo, il quadrilatero viene suddiviso in quattro regioni. Nella figura sono indicate le aree di tre di queste regioni. Qual è l area della quarta? (A) 32 (B) 30 (C) 27 (D) 31 (E) Giovanna ha disposto 9 monetine in fila. Alcune mostrano la faccia con la testa, altre quella con la croce, in questa sequenza: CCTTCTTCC. Fa questo gioco: ad ogni mossa, sceglie due monete consecutive e le capovolge entrambe. Giovanna, con alcune mosse di questo tipo, vorrebbe ottenere una fila di monete disposte nella sequenza TCTCTCTCT. Che cosa si può concludere? (A) Non ci può riuscire. (B) Ci può riuscire con un minimo di 4 mosse. (C) Ci può riuscire con un minimo di 6 mosse. (D) Ci può riuscire con un minimo di 8 mosse. (E) Ci può riuscire con un numero dispari di mosse. 20. Cleopatra sta giocando con una fila formata da n 2 soldatini (dove n è un numero intero maggiore di 30). Per prima cosa, Cleopatra toglie dalla fila tutti i soldatini la cui posizione corrisponde a un quadrato (ossia il 1 soldatino, il 4, il 9, e così via). Completata questa procedura, Cleopatra forma una nuova fila con i soldatini rimasti e la ripete togliendo ancora tutti i soldatini la cui posizione nella nuova fila corrisponde a un quadrato. La cosa va avanti in questo modo, sempre con la stessa procedura. Quanti soldatini potrebbero essere rimasti quando Cleopatra, dopo aver completato varie volte la suddetta procedura, si stanca e smette di giocare? (A) 126 (B) 132 (C) 125 (D) 140 (E) P? Nel triangolo isoscele ABC, dove AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm, la mediana uscente dal vertice B e la bisettrice uscente dal vertice C si intersecano nel punto D. Di quanti cm 2 è l area del triangolo BCD? (A) 32 7 (B) 21 5 (C) 17 4 (D) 4 (E) 14 3

3 Giochi di Archimede 2018 Soluzioni gara triennio (versione T1) (1) La risposta corretta è (B). Le frazioni sono infatti tutte del tipo x+1 x denominatore x minimo. = x, dunque la più grande è quella che ha il (2) La risposta corretta è (C). Dopo che Claudia ha pescato una carta da quelle di Luca, Luca si troverà con due carte di un colore "A" ed una di colore "B", mentre Claudia avrà due carte di colore "A" ed tre di colore "B". La probabilità che Luca peschi al suo turno proprio una delle tre carte di colore "B" di Claudia (e si ritrovino quindi entrambi con due carte dello stesso colore) è quindi uguale a 3/5. Quesito proposto da Sandro Campigotto. (3) La risposta corretta è (D). I cubetti che avranno almeno una faccia colorate di verde corrispondono precisamente ai cubetti che giacciono sulla superficie del cubo, cioè 10 3 (il totale dei cubetti) meno 8 3 (il totale dei cubetti interni, che formano un cubo di lato 8). Tali cubetti saranno dunque in totale 488. (4) La risposta corretta è (E). Difatti, se n è un numero somma dei quadrati di due numeri 3h, 3k interi multipli di tre, allora deve aversi n = 9(h 2 + k 2 ); dunque n è divisibile per 9. Delle risposte possibili soltanto 459, 495 e 549 sono divisibili per 9. Dividendo per 9 tali numeri, si trovano 51, 55 e 61. Di questi, solo 61 = è esprimibile come somma di due quadrati. (5) La risposta corretta è (E). Detta E l energia totale immagazzinabile nel cellulare, l energia immagazzinata in un minuto senza usarlo sarà uguale E 120 ; l energia immagazzinata in un minuto di utilizzo sarà invece uguale a E 120 = E 200. Se il tempo necessario alla ricarica con x minuti di utilizzo è di 150 minuti, allora deve aversi (150 x)e/120 + xe/200 = E, dunque x = 75. Quesito proposto da Giorgio Navone. (6) La risposta corretta è (C). Per il teorema di Pitagora, si ha A 2 A 3 = = 2, quindi A 3 A 4 = = 3 e così via: A n A n+1 = (n 1) = n. Dunque A 900 A 901 = 30. Quesito proposto da Paolo Francini. (7) La risposta corretta è (D). Detto x il numero di quesiti della lista, il punteggio realizzato da Costanza vale per ipotesi 2 3 (x 14) = x 2 5 1, da cui segue immediatamente x = 38. (8) La risposta corretta è (A). Sviluppando il quadrato otteniamo Il primo dei tre addendi è un numero formato dalla cifra 1 seguita da 4036 zeri; il secondo si scrive come 4036 seguito da 2018 zeri; il terzo invece ha solo 7 cifre. Sommandoli, otteniamo un numero le cui cifre diverse da zero sono solamente: 1, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 3, 2, 4 la cui somma è 36. 1

4 (9) La risposta corretta è (B). Sia x il lato minore del rettangolo grigio e lo spessore della cornice. Per ipotesi si ha 2x + 2 = 8 (x + 2 ) 5 da cui si deduce x = 3. Il rapporto tra del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cornice e l area del rettangolo grigio vale dunque (2x+2 )(x+2 ) = x 2 x + 2 ( ) 2 x = Quesito proposto da Paolo Negrini. (10) La risposta corretta è (A). Le bomboniere possono essere di tre tipi: quelle con 3 confetti uguali, quelle con 2 confetti uguali ed uno diverso, e quelle con tutti e tre i confetti di gusti differenti. Le bomboniere possibili con 3 confetti ) uguali sono 12 (quanti i gusti possibili). Quelle con 2 confetti uguali ed uno diverso sono 2 (12 2 = = 132 (corrispondenti al numero di scelte di due gusti tra i 12 possibili, moltiplicato per 2, che è il numero di possibili bomboniere che si possono ottenere prendendo tre confetticon due gusti uguali tra i due gusti selezionati). Quelle con tutti e tre i confetti di gusti differenti sono invece ( ) 12 3 = = 220 (corrispondenti alla scelta di tre gusti sui 12 possibili). Il numero totale di bomboniere possibili che soddisfano le richieste del pasticcere è dunque = 364. Quesito proposto da Paolo Negrini. (11) La risposta corretta è (C). Chiamiamo x e y le altezze, in orizzontale, dei due triangolini grigi nel quadrato di sinistra. Poiché il lato di tale quadrato è 6, la base del più grande dei due vale 6 e la base dell altro vale 3. Per similitudine di tali triangolini deduciamo x + y = 6 e x/y = 6 3 = 2, cioè x = 4 ed y = 2. Otteniamo quindi che l area totale della regione grigia è = 24. Quesito proposto da Nikita Deniskin. (12) La risposta corretta è (D). Se il numero n intero ha scrittura decimale uguale ad ab, il numero S si scriverà ababab, ovvero S = 1 n n n = n. Ora, si scompone in fattori primi come : ne consegue che né 101 né 1111 = possono dividere S (poiché il fattore primo 101 non compare tra i fattori di S (si ricordi che n è di due cifre), quindi le rsposte (A) e (B) sono sbagliate. D altronde, neppure 11 né 1001 = dividono S se n non è divisibile per 11; quindi le risposte (C) ed (E) sono parimenti sbagliate. Per concludere, è sufficiente notare che 111 = 3 37 divide , dunque divide S qualsiasi sia il valore di n. Quesito proposto da Sandro Campigotto. (13) La risposta corretta è (D). Siano infatti D ed E i punti di tangenza di una retta t uscente da A con le circonferenze β e γ, rispettivamente. Poiché BD = 40, dal teorema di Talete segue che r da cui deduciamo r = 80. Quesito proposto da Roberto Fratello. = AB BD = AC CE = 2(r + 40) r (14) La risposta corretta è (C). Tenendo in considerazione esclusivamente il genere delle 5 persone (maschio o femmina), il numero totale di possibili configurazioni è uguale a 60: cioè ( 6 2) = 15 (il numero possibile di scelte per i posti delle ragazze, tra i 6 possibili) moltiplicato per 4 (corrispondente a scegliere una delle quattro sedie rimanenti da lasciar vuota). Il numero di casi favorevoli, cioè in cui la sedia vuota si trova tra un ragazzo e una ragazza, è invece uguale a 36: cioè 6 (il numero possibile di scelte per la sedia da lasciar vuota) moltiplicato per 2 (corrispondente alla scelta di una delle due sedie, accanto a quella vuota, in cui far sedere una ragazza) moltiplicato ancora per 3 (il numero di scelte possibili su dove far sedere la seconda ragazza, in uno dei tre posti rimanenti, diversi dalla sedia lasciata libera e dalle due sedie adiacenti). La probabilità richiesta è dunque uguale a 36/60 = 3/5. Quesito proposto da Matteo Rossi.

5 (15) La risposta corretta è (B). I multipli di 11 tra 1 e 2018 sono 183, in quanto 2018 = Eliminando tali numeri, resta una lista di 1835 numeri da mettere nella tabella, di cui il numero 2018 è l ultimo: poiché 1835 = , tale ultimo numero cadrà pertanto nella 1 a colonna della 263 a riga. (16) La risposta corretta è (A). Detto M il punto medio di AC, per il teorema della bisettrice abbiamo DB DM = CB CM = 16 5 ; quindi BM = DB + DM = 21 16DB. D altronde, l area del triangolo BDC è la metà dell area del triangolo ABC (in quanto ha base MC = 1 2AC, e uguale altezza). L area del triangolo BDC, con base BD e altezza uguale all altezza del triangolo BMC rispetto BM, è allora area(bmc) = 12area(ABC) = Quesito proposto da Paolo Francini. (17) La risposta corretta è (E). Il discriminante dell equazione è = b 2 4a 2 = (b 2a)(b+2a), che è positivo se b > 2a, dunque la 1 a affermazione è corretta. Osserviamo che anche la 5 a affermazione è corretta, dato che il prodotto delle radici è pari a a/a = 1. Da ciò segue anche la 4 a affermazione, dato che non esistono coppie di interi distinti aventi prodotto 1. D altronde, se vi sono soluzioni reali, sia il loro prodotto che la loro somma sono positive (rispettivamente 1 e b/a), per cui esse sono entrambe positive e quindi la 2 a affermazione è certamente corretta. Per quanto riguarda la 3 a affermazione, se una soluzione è 9 volte l altra, essendo tra loro reciproche (e positive), esse devono essere 3 e 1/3, perciò la loro somma è 10/3. Segue che b/a = 10/3, ossia b = (10/3)a > 3a. Quesito proposto da Antonio Fanelli. (18) La risposta corretta è (D). Conduciamo i segmenti che congiungono P ai quattro vertici: essi tagliano le quattro regioni in triangoli aventi a due a due la stessa area, in quanto aventi ugual base ed altezza. Da ciò segue che le somme delle aree delle due coppie di regioni opposte sono uguali. L area mancante è perciò = 31. Quesito proposto da Giovanni Maria Tomaselli. (19) La risposta corretta è (A). Infatti, il numero di T nella sequenza di monete rimane sempre pari, dopo ogni mossa: pertanto non è possibile arrivare a una configurazione contenente esattamente cinque T. (20) La risposta corretta è (B). Alla prima eliminazione, Cleopatra toglierà n soldatini, e si ritroverà esattamente con n 2 n = n(n 1) soldatini. Poiché (n 1) 2 < n(n 1) < n 2, alla seconda eliminazione Cleopatra ne toglierà allora (n 1), restando con n 2 n (n 1) = (n 1) 2 soldatini. Ai due passi successivi Cleopatra toglierà allora, analogamente, prima (n 1) soldatini, e poi (n 2), restando ancora con (n 2) 2 soldatini. Ad ogni passo, quindi, i soldatini restanti potranno essere k(k 1) oppure k 2, per un k compreso tra 0 ed n. Ma tra i numeri proposti, nessuno è un quadrato, e solo 132 si scrive come k(k 1) = Quesito proposto da Matteo Rossi. Come sempre, i problemi proposti sono stati, oltre che controllati e selezionati, in molti casi ampiamente modificati o riformulati dai responsabili della gara. Pertanto, nell indicare i nominativi degli autori delle proposte, resta inteso che i responsabili sia della scelta dei quesiti, sia di eventuali errori, imprecisioni o formulazioni criticabili, sono da individuarsi esclusivamente nei responsabili stessi della gara ed in nessuna misura negli autori delle proposte. A tutti loro, ed anche a chi ha contribuito con quesiti che non sono stati selezionati, va il nostro ringraziamento per la varietà, l originalità e la qualità delle proposte presentate. I responsabili dei Giochi di Archimede, Paolo Francini, Andrea Sambusetti