Sommario 1 MATLAB: UNO STRUMENTO PER L'ANALISI DEI SISTEMI Introduzione L ambiente MATLAB PRIMI PASSI CON MATLAB...

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1 Sommario MATLAB: UNO STRUMENTO PER L'ANALISI DEI SISTEMI.... Introduzione.... L ambiente MATLAB... PRIMI PASSI CON MATLAB Le matrici Le espressioni Gli M-files Il controllo del flusso Funzioni con un numero variabile di argomenti Grafici Alcuni esempi Gestione dei colori, delle linee e dei markers La funzione subplots Gestione degli assi Gestione dei titoli Un esempio applicativo: la sintesi frequenziale di Fourier Esercizi IL CONTROL SYSTEM TOOLBOX La rappresentazione dei sistemi in MATLAB Alcune funzioni Funzione conv Funzione roots Funzione tf Funzione step Esercizi... 0

2 MAT L AB : UNO S T R U ME NT O PE R L'ANALISI DEI SISTEMI. Introduzione MATLAB è uno dei più popolari strumenti di calcolo matematico disponibili in commercio. In realtà, più che di uno strumento di calcolo si tratta di un vero e proprio linguaggio di programmazione interpretato ad alte prestazioni e dedicato al calcolo scientifico. MATLAB integra calcolo numerico, interfacce grafiche ed un linguaggio di programmazione in un ambiente di sviluppo di relativa facilità d uso. I suoi usi più tipici sono: - Calcolo numerico - Sviluppo di algoritmi - Modellizzazione, simulazione e prototipizzazione - Analisi, elaborazione e visualizzazione di dati - Grafica per uso scientifico ed ingegneristico - Sviluppo di applicazioni MATLAB è sostanzialmente una architettura aperta adattabile alle proprie esigenze ed integrabile in modo flessibile con altri prodotti software. Il dato fondamentale su cui si basa l ambiente di MATLAB è la matrice. L introduzione di dati sotto forma di matrici non richiede un dimensionamento a priori, a differenza di quanto accade in altri linguaggi compilati come il C ed il Fortran. Ciò facilità la soluzione interattiva di molti problemi matematici. Il nome MATLAB è un acronimo derivato da MATrix LABoratory. Ciò sottolinea l importanza dell oggetto matrice nell ambiente MATLAB. La prima versione è stata sviluppata con l obiettivo di scambiare dati con due progetti software per il calcolo matriciale, LINPACK ed EISPACK.. L ambiente MAT L AB MATLAB consiste principalmente di cinque grandi parti: I l linguaggio MAT L AB. E un linguaggio interpretato ad alto livello basato su matrici. Esso è dotato di istruzioni per il controllo del flusso (if-then-else), funzioni, strutture dati, istruzioni di input/output e sintassi per la programmazione ad oggetti. Esso permette sia la cosiddetta programmazione in the small per creare rapidamente semplici programmi che risolvono singole problematiche, che la programmazione in the large per creare vere applicazioni. L ambiente di lavoro MAT L AB. Consiste in un set di strumenti che permettono di lavorare con MATLAB sia come utente che come programmatore. Esso comprende funzionalità per gestire le variabili presenti nel proprio workspace e per importare ed esportare dati. Sono presenti strumenti per lo sviluppo, la gestione, il debugging ed il profiling degli M-files. I grafici MATLAB è fornito di comandi ad alto livello per la visualizzazione, l elaborazione d immagine e l animazione di insiemi di dati in -D e 3-D. Sono inoltri presenti comandi a basso livello per customizzare l aspetto dei grafici e per generare vere e proprie GUI (Graphical User Interfaces). L a librer ia di funzioni matematiche

3 E disponibile una collezione di algoritmi di calcolo che implementano funzioni relativamente semplici come le funzioni seno, coseno, esponenziali, ecc., come funzioni più complesse come l inversione di matrice, il calcolo delle funzioni di Bessel e la Fast Fourier Transform. L a API MATLAB API sta per Application Programming Interface. Essa è una libreria di oggetti che permettono di sviluppare programmi in altri ambienti di programmazione come Delphi, Visual C++ o Java che interagiscono con MATLAB chiamandone delle funzioni mediante il dinamic linking. 3

4 PRIMI PASSI CON MAT LAB Per far partire MATLAB bisogna ciccare sull icona MATLAB. Nella client area della finestra principale che così si presenta è disponibile un prompt vecchio stile DOS a partire del quale si possono scrivere sequenze di righe di codice che l ambiente interattivamente interpretaed esegue. Per fermare MATLAB in ogni momento si può digitare quit al prompt di MATLAB. Se si ha bisogno di aiuto digitare help al prompt di MATLAB o selezione il menù a tendina Help. Il modo migliore di muovere i primi passi con MATLAB è quello di constatarne le potenzialità proprio nel calcolo matriciale.. L e matrici Una matrice è un insieme di numeri disposti su una o più righe e su una o più colonne in modo da formare un array rettangolare. Sono dette n x m quelle matrici composte da n righe ed m colonne. Un singolo numero, detto anche scalare, può essere considerato un caso particolare di matrice x. Le matrici dotate di una singola riga o di una singola colonna vengono comunemente denominate vettori. Intendiamo introdurre la seguente matrice: Essa può essere definita semplicemente digitando: >> A = [6 3 3; 5 0 8; ; ] MATLAB visualizzerà immediatamente la matrice appena inserita. Una volta inserita, la matrice è resa disponibile all interno del workspace in cui si sta lavorando. Essa può essere referenziata semplicemente digitando A. Una delle tante funzioni che offrono supporto per il calcolo matriciale è la sum(); essa esgue la somma delle colonne della matrice passata come argomento. Per cui se al prompt si scrive: >> sum(a) Il sistema risponde nel seguente modo: ans = Dove ans è la variabile di default a cui viene assegnata il risultato di una funzione o di un calcolo. Per indicare un elemento specifico della matrice basta scriverne le coordinate tra parentesi: >> A(3,) Il sistema risponde segnalando il secondo elemento della terza riga ans = 6 Un altra operazione molto comune del calcolo matriciale è la trasposizione, ovvero lo scambio delle righe e delle colonne. L operatore trasposizione è indicato con il carattere apostrofo. >> B =A B = 4

5 Mentre >> C = sum(a ) produce un vettore colonna contenente le righe seguenti: C = Uno degli operatori più importanti è l operatore colon, :. >> A = [:0] è un vettore riga contenente 0 elementi: A = >> A = [0:0.:] è un vettore riga contenente elementi: A = Columns through Columns 8 through L e es pressioni Allo stesso modo di tutti i linguaggi di programmazione, MATLAB permette di valutare espressioni matematiche, ma, a differenza della gran parte di linguaggi matematici, MATLAB estende il concetto di espressione al calcolo matriciale. Gli elementi costituenti delle espressioni sono: ν ν ν ν Variabili Numeri Operatori Funzioni Variabili In MATLAB non è richiesta alcuna dichiarazione preventiva del suo tipo e delle sue dimensioni. L interprete MATLAB, infatti, quando incontra una nuova variabile, alloca spazio di dimensione opportuna ed ivi memorizza il valore. Se la variabile esiste già ne aggiorna il valore, riallocando eventualmente nuovo spazio se essa è di dimensioni differenti. Numeri MATLAB segue la notazione decimale convenzionale. L unità immaginaria può essere rappresentata sia dalla lettera i che dalla lettera j. Ecco alcuni esempi di numeri espressi correttamente: 5

6 e- 3+i Operatori Nelle espressioni si fanno uso dei seguenti operatori, alcuni più familiari altri meno. + addizione - sottrazione * moltiplicazione / divisione \ divisione a sinistra ^ elevazione a potenza complesso coniugato, trasposta () specificazione dell ordine di valutazione F unzioni Sono a disposizione un gran numero di funzioni standard, tra cui abs, sqrt, exp e sin. Se si esegue la radice quadrata di un numero negativo non si incorre in errore, perché essa viene eseguita automaticamente nel campo complesso. EDU» sqrt(-0) ans = i Alcune funzioni, come sqrt e sin sono built-in. Esse fanno parte del core di MATLAB per ragioni di efficienza. L utente, però, può aggiungere altre funzioni all ambiente, implementandole in M-files salvati in un percorso opportunamente dichiarato. Torniamo alle nostre espressioni. Se vogliamo implementare l espressione aritmetica + 5 basterà digitare: EDU» (+sqrt(5))/ ans =.680 Ricordando la definizione data della variabile A all inizio se al prompt digitiamo: EDU» D = A*5 Otteniamo la seguente risposta D = Per moltiplicare due matrici mediante l operatore prodotto righe per colonne basta adottare il carattere asterisco. 6

7 .3 Gli M-files Gli M-files sono semplici files di testo contenenti codice MATLAB. Essi si riconoscono perché hanno l estensione *.m. Spesso è conveniente memorizzare sequenze di istruzioni in un M-file e quindi dal prompt richiamare il file stesso, dopo avere aggiunto il path in cui risiede il file alla configurazione del workspace. Si comincia ad intravedere la possibilità di creare veri programmi di calcolo. Ci sono due tipi di M-files: Gli script, che non accettano argomenti in ingresso e non ritornano valori in uscita. Essi operano sui dati del workspace principale Le funzioni, che possono accettare argomenti di ingresso e ritornano dei valori in uscita. Le variabili interne sono visibili solo all'interno delle funzioni. Quando si invoca uno script, MATLAB esegue semplicemente i comandi presenti nel file. Per iniziare si può generare un file denominato Esempio.m digitando le seguenti istruzioni mediante l'editor integrato nell'ambiente MATLAB. Per aprire l'editor si utilizzi il comando Open del menù File. % Esempio: semplice M-file % inp = [ 3] % definizione vettore riga inp = inp' % trasformazione vettore riga in vettore colonna out = sum(inp)* Per eseguire il precedente script bisogna dapprima aggiungere al path di ricerca di MATLAB la directory in cui risiede il file, mediantr il comando Set Path del menù File, e poi invocare lo script digitando semplicemente il nome del file. EDU» Esempio Se vogliamo invece realizzare ad esempio una funzione che prende come parametro un numero e restituisce una matrice 3x3 in cui ogni elemento è pari al numero stesso basta digitare il seguente M-file, salvandolo con il nome indicato all'inizio: % GeneraMatriceDi: la mia prima funzione in MATLAB function [out] = GeneraMatriceDi(inp) out = [inp inp inp ; inp inp inp ; inp inp inp]; Se si termina una linea contenente un istruzione con il carattere ;, come nell esempio precedente, MATLAB esegue il calcolo ma non visualizza il risultato. Questa caratteristica è particolarmente utile quando si vuole evitare che vengano mostrati a video tutti i risultati intermedi di un calcolo complesso. Le variabili definite all'interno delle funzioni appartengono ad un workspace distinto dal workspace a cui si accede tramite il prompt dei comandi di MATLAB..3. Il controllo del flusso MATLAB è dotato di cinque costrutti per il controllo del flusso di esecuzione di uno script o di una funzione: - if - switch - for - while - break La sintassi cambia leggermente rispetto agli analoghi costrutti del linguaggio C. if Il costrutto if valuta una espressione logica ed esegue un gruppo di istruzioni quando l espressione è true. 7

8 Le parole chiave opzionali elseif ed else permettono l esecuzione alternativa di altri gruppi di istruzioni. Si noti che il costrutto if e gli opzionali elseif ed else terminano sempre con il costrutto end. % GeneraMatriceDi: la mia seconda funzione in MATLAB function [out] = GeneraMatriceDi(inp) if inp == out = []; elseif inp > out = [ ; ]; else out = 0; end; s witch and cas e Il costrutto switch esegue gruppi di istruzione in base al valore assunto da una variabile o da una espressione. Le parole chiave case ed otherwise delimitano i gruppi di istruzioni. Per ogni switch vi deve essere un costrutto end. % Genera3MatriceDi: la mia terza funzione in MATLAB function [out] = Genera3MatriceDi(inp) switch (inp + ) case out = []; case 3 out = [ ; ]; case 4 out = [3 3 3; 3 3 3; 3 3 3]; otherwise out = 0; end; for Il costrutto for ripete un gruppo di istruzioni per un predeterminato numero di volte % Genera4MatriceDi: la mia quarta funzione in MATLAB function [out] = Genera4MatriceDi(inp) for i = :inp for j = :inp out(i,j)= inp; end; end; E buona norma, per questioni di leggibilità, identare i loops soprattutto quando essi sono annidati come in questo caso. while Il costrutto while ripete un gruppo di istruzioni per un numero indefinito di volte finchè una condizione logica viene trovata vera. % Genera5MatriceDi: la mia quinta funzione in MATLAB function [out] = Genera5MatriceDi(inp) iteration = ; while iteration < inp Genera4MatriceDi(iteration) iteration = iteration +; end; break Il costrutto break permette di uscire prima da un loop for o while. Nei loop annidati il break fa uscire da un solo livello. 8

9 % Genera6MatriceDi: la mia sesta funzione in MATLAB function [out] = Genera6MatriceDi(inp) iteration = ; while iteration < inp Genera4MatriceDi(iteration) iteration = iteration +; if iteration ==00 break; end; end;.3. Funzioni con un numero variabile di argomenti Il seguente esempio introduce un'altra peculiarità delle funzioni: % Genera7MatriceDi: genera una matrice nxm di function [out] = Genera7MatriceDi(n,m) if nargin == m = ; elseif nargin == 0 n = ; m = ; end; for i = :n for j = :m out(i,j)= ; end; end; In questo caso la funzione accetta un numero variabile di argomenti fino a due argomenti in ingresso. Nel corpo della funzione è disponibile la variabile nargin che contiene il numero di argomenti passati in ingresso. In base al valore assunto da nargin vengono assegnati agli argomenti di ingresso mancanti dei valori di default..4 Grafici MATLAB nasce come linguaggio per il calcolo matriciale per cui non poteva non avere funzioni di supporto per la visualizzazione di grafici, sia in due che in tre dimensioni..4. Alcuni esempi La funzione più semplice è plot(). Facciamo un esempio % Grafico: plot della funzione seno t=0:pi/00:*pi y=sin(t) plot(t,y) 9

10 Con una singola chiamata della funzione plot possiamo tracciare più funzioni sullo stesso diagramma cartesiano % Grafico: plot di più funzioni seno t=0:pi/00:*pi y=sin(t) y=sin(t-0.5) y3=sin(t-) plot(t,y,t,y,t,y3) L'esempio seguente permette di tracciare l'andamento della funzione y = x +. % Grafico3: plot di una parabola x=-:0.0:+3 y=*x.^+ plot(x,y) In questo caso si può notare che, nell'espressione della y, a destra della x è stato posto un carattere punto. Ciò si rende necessario perché MATLAB interpreta l'espressione x^ come un prodotto della matrice con se stessa, operazione possibile solo con le matrici di dimensione n x n. 0

11 La grafica rappresenta uno dei punti di forza di MATLAB, in particolar modo per la capacità di disegnare supefici e volumi nello spazio a tre dimensioni. % Grafico4: grafica in tre dimensioni [X,Y]= meshgrid(-8:0.:8); R= sqrt(x.^+y.^); Z=sin(R)./R; mesh(x,y,z);.4. Ges tione dei colori, delle linee e dei markers E' possibile specificare il colore, lostile delle linee e dei marcatori con la seguente sintassi: plot(x,y,'colore_stile_marker'); colore_stile_marker è una stringa composta da uno, due, tre o più caratteri.. Il primo carattere (colore) decide il colore secondo la seguente corrispondenza: 'c' per ciano, 'm' per magenta, 'y' per giallo, 'r' per rosso, 'g' per verde, 'b' per blu, 'w' per bianco, 'k' per nero. Il secondo gruppo di caratteri (stile) decide dello stile di tracciamento della curva, secondo la seguente corrispondenza: '-' per linea continua, '- -' per linea tratteggiata, ':' per linea a punti, -.' ' per linea tratto-punto e 'none' per nessuna linea. Il terzo gruppo di caratteri (marker) decide il tipo di marker utilizzato. I tipi più comuni sono: '+', 'o', '*' e 'x'.

12 x Il seguente esempio traccia l'andamento della funzione razionale fratta y = tra -5 e +5 x + % grafico5: plot di una funzione razionale fratta x=-5:0.:+5; y=x./(*x.^+); plot(x,y,'m-x'); % 'm' = magenta, '-' = linea continua, 'x' = x marker L a funzione subplots La funzione subplots permette di mostrare diversi grafici nella stessa finestra e quindi di poterli, in seguito, stampare assieme. La sintassi è: subplot(m,n,p) dove m è il numero di righe ed n è il numero di colonne in cui è suddivisa la finestra, mentre p è il numero progressivo del grafico riga per riga. Il seguente esempio spiega meglio di tante parole. % grafico6: funzione subplot t= 0:pi/0:*pi; [X,Y,Z] = cylinder(4*cos(t)); subplot(,,); mesh(x) subplot(,,); mesh(y) subplot(,,3); mesh(z) subplot(,,4); mesh(x,y,z)

13 .4.4 Ges tione degli assi La funzione axis è dotata di tutta una serie di opzioni per customizzare i grafici. Normalmente, MATLAB determina i valori minimo e massimo dei dati e sceglie conseguentemente le scale e le etichette opportune per gli assi. La funzione axis permette di sovrascrivere questi settaggi di default degli assi. Ecco alcune opzioni di esempio. Si invita a provarle una ad una su un grafico già pronto. axis([xmin xmax ymin ymax]) axis square axis equal axis auto axis on axis off grid on grid off 3

14 .4.5 Ges tione dei titoli Per aggiungere delle etichette agli x,y e z si possono utilizzare rispettivamente le funzioni xlabel, ylabel e zlabel. La funzione title permette di aggiungere un titolo in cima al grafico, mentre la funzine text inserisce un testo in qualsiasi punto del grafico. Tutte queste funzioni utilizzano un sottoinsieme delle notazioni di Tex. L'esempio seguente utilizza\leq per il carattere ' ', \pi per il carattere 'π', \it per il font italico. t= -pi:pi/00:pi; y=sin(t); plot(t,y) axis([-pi pi - ]) % [xmin xmax ymin ymax] xlabel('-\pi \leq \itt \leq \pi') ylabel('sen(t)') title('grafico della funzione seno') text(0.5,-0.3, '\it{notare la simmetria dispari!}') Grafico della funzione seno sen(t) Notare la simmetria dispari! π t π.5 Un es empio applicativo: la s intes i frequenziale di Fourier La sintesi frequenziale è il procedimento inverso dell'analisi frequenziale. Essa consiste nel sommare più componenti armoniche di opportune ampiezza e fase per ottenere una forma d'onda periodica. Il seguente script file permette di determinare il segnale periodico quadro generato dalle armoniche fino all'undicesima. %Sintesi frequenziale di Fourier % T= 0.0; %periodo w=*pi/t; %pulsazione A=; %ampiezza t= 0:T/00:T; Tex è un formattatore di testi molto potente, diffuso in ambiente Unix e Linux. Jean -Baptiste-Joseph Fourier, matematico e ingegnere francese vissuto tra il 700 ed il

15 y=(4/pi)*a*sin(w*t); % armonica y3=(4/pi)*a*(/3)*sin(3*w*t); % 3 armonica y5=(4/pi)*a*(/5)*sin(5*w*t); % 5 armonica y7=(4/pi)*a*(/7)*sin(7*w*t); % 7 armonica y9=(4/pi)*a*(/9)*sin(9*w*t); % 9 armonica y=(4/pi)*a*(/)*sin(*w*t); % armonica y=y+y3+y5+y7+y9+y; plot(t,y,t,y,t,y3,t,y5,t,y7,t,y9,t,y) axis([0 T -*A *A]) % [xmin xmax ymin ymax] xlabel('t') ylabel('y,y,y3,y5,y7,y9,y') title('sintesi del segnale quadro') Sintesi del segnale quadro.5 y,y,y3,y5,y7,y9,y t 5

16 .6 Es ercizi. Definire un vettore riga A composto da dieci elementi qualsiasi.. Definire un vettore riga B composto dai primi venti numeri naturali a partire da. 3. Definire un vettore colonna C composto dai primi venti numeri naturali a partire da Definire un vettore riga composta dai valori da -3 a 3 con passo Scrivere uno script file che definisce una matrice 4x4, la moltiplica per 5, ne determina la trasposta ed infine la trasforma in un vettore riga mediante l'operatore sum. 6. Scrivere una funzione che genera una matrice x di se si passa come argomento, una matrice 3x3 di 3 se si passa come argomento 3 e così via fino a 5 compreso. In tutti gli altri casi deve restituire. 7. Scrivere, utilizzando il costrutto for, una funzione che genera una matrice n x m di, ovvero composta da n righe ed m colonne di, dove n ed m sono i due argomenti passati alla funzione. 8. Scrivere, utilizzando il costrutto while, una funzione che genera una matrice n x m di, ovvero composta da n righe ed m colonne di, dove n ed m sono i due argomenti passati alla funzione. 9. Tracciare il grafico della funzione y x = per x appartenente all'intervallo [ -5,5]. 0. Tracciare il grafico della tensione di rete.. Tracciare il grafico della funzione razionale fratta x x + y = per x appartenente all'intervallo -5,5]. [ x + x + 6

17 3 IL CONTROL SYSTEM T OOL B OX Il Control System Toolbox è sostanzialmente una libreria di funzioni particolarmente utili per studiare i sistemi di controllo lineari e discreti. 3. L a rappres entazione dei sistemi in MAT L AB Vediamo innanzitutto in quale modo MATLAB rappresenta i sistemi lineari. Dalla teoria dei sistemi sappiamo che i sistemi lineari continui possono essere rappresentati mediante: funzioni di trasferimento nella forma polinomiale funzioni di trasferimento nella forma di Bode funzioni di stato a m s F( s) = b s F( s) = k 0 n m x&= A x + B u y = C x + D u n + a + b m n s s m n + Λ + a s + a + Λ + b s + b ( s z ) ( s z ) ( s zm ) Λ ( s p ) ( s p ) Λ ( s p ) n 0 0 Anche i sistemi lineari discreti possono essere rappresentati con analoghe funzioni, ma per ora limiteremo il nostro campo di indagine solo ai sistemi lineari continui. Consideriamo ad esempio un sistema lineare continuo descritto dalla seguente funzione di trasferimento: ( ) N G s = D s ( s) 00 = ( ) s s Essa può essere definita in MATLAB mediante i vettori riga dei coefficienti dei polinomi N(s) e D(s). EDU» N=00; D=[ 4 00]; Se vogliamo conoscere la risposta al gradino unitario è sufficiente utilizzare la funzione step. EDU» step(n,d) In questo caso l'output della funzione step evidenzia una classica risposta oscillatoria smorzata..6 Step Response.4. Amplitude Time (sec.) L'esempio precedente evidenzia che il Control Syst em Toolbox identifica i sistemi lineari continui medianti i coefficienti polinomiali delle loro funzioni di trasferimento. 7

18 3. Alcune funzioni 3.. Funzione conv Essa esegue il prodotto di due polinomi P = conv(p,p) P e p sono i vettori che contengono i coefficienti dei due polinomi operandi; p è il vettore che contiene i coefficienti del polinomio prodotto. Nel seguente esempio viene effettuato il prodotto tra i polinomi x + x + e x + 3 EDU» p=[ ]; p = [ 3]; EDU» p3 = conv(p,p) p3 = Il risultato è ovviamente x + 7 x + 8 x Funzione roots Questa funzione restituisce le radici di un polinomio r = roots(p) r è il vettore colonna che contiene le radici del polinomio p. EDU» p = [ ]; EDU» r = roots(p) r = Funzione tf Questa funzione permette di generare una funzione di trasferimento e di effettuare rapidamente prodotti e divisioni di funzioni. Esempio: Vogliamo generare la funzione di trasferimento G s) = s EDU» g=tf(5,[ 3]) ( 5 + s + 3 Transfer function: s^ + s + 3 8

19 EDU» Se ora vogliamo effettuare il prodotto tra due funzioni di trasferimento è sufficiente operare nel modo seguente: EDU» g= tf (,[ 3]); g=tf([ ],[ 3]); EDU» g = tf(g)*tf(g) Transfer function: s s^3 + 5 s^ + 9 s Funzione s tep Questa funzione determina la risposta di un sistema sollecitato da un segnale a gradino di ampiezza unitaria: % Esempio 0 % Step response n = [ 4]; d = [ 5] t= [0:0.:0] [y,x,t] = step(n,d,t) plot(t,y) xlabel('t') ylabel('u(t)') 9

20 3.3 Es ercizi. Determinare i coefficienti del polinomio prodotto dei polinomi 3 x + x 6 e x.. Determinare le radici del polinomio x. 0