UD 4.b: Trattabilità e Intrattabilità INTRODUZIONE

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1 Algoritmi, Strutture Dati e Programmi : Trattabilità e Intrattabilità INTRODUZIONE Prof. Alberto Postiglione Dispense, cap AA Problemi Intrattabili Problemi Intrattabili Esistono problemi che, pur avendo un algoritmo di soluzione, non forniranno mai una soluzione in tempi ragionevoli nemmeno se utilizzassero il calcolatore più grande pensabile, magari grande quanto l Universo stesso. Tali problemi sono stati classificati come risolvibili ma praticamente intrattabili. E la cosa sorprendente e che questi problemi non sono nemmeno molto complessi Problemi praticamente intrattabili sembrano sorgere spesso, ad esempio, nel gioco degli scacchi, in quanto il diagramma delle possibili posizioni delle pedine è costituito da un numero talmente alto di punti che il più veloce calcolatore esistente impiegherebbe anni per esaminarle tutte. Per molti dei problemi praticamente intrattabili sono stati dati algoritmi di approssimazione, che forniscono una soluzione sub-ottimale che approssima il risultato ottimo a meno di una percentuale, conosciuta a priori # 3 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 4 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Trattabilità CONCETTO DI TRATTABILITA COMPUTAZIONALE Dispense, cap Individuare con chiarezza le classi dei problemi risolubili in tempi ragionevoli mediante un elaboratore vale a dire con tempi di esecuzione che crescano in modo ragionevole al crescere della dimensione del problema stesso. # 6 Prof Alberto Postiglione Università Salerno 1

2 Trattabilità Cosa si intende per Tempi Ragionevoli? Tali problemi sono stati definiti trattabili ed il concetto di trattabilità ha cominciato così a rappresentare un secondo livello di costruttività nella soluzione di un problema: da un punto di vista pratico, non solo si richiede che un problema sia algoritmicamente risolubile ma anche che la sua soluzione sia ottenibile in modo efficiente, cioè, ad esempio con tempi dell'ordine dei secondi, minuto o al massimo ore di elaboratore, non certo giorni, mesi, anni. # 7 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Nella tabella seguente viene indicato il tempo impiegato da un calcolatore capace di eseguire di istruzioni al secondo per la soluzione di un problema di dimensione n, cioè con n valori dati in input (ad esempio n numeri, n schede ecc. - n=10, 20, 30, 40 e 50), con un algoritmo che effettua un numero di passi computazionali proporzionali ad n, n 2, n 3, n 5, 2 n, 3 n n 0,00001 sec 0,00002 sec 0,00003 sec 0,00004 sec 0,00005 sec n 2 0,0001 sec 0,0004 sec 0,0009 sec 0,0016 sec 0,0025 sec n 3 0,001 sec 0,008 sec 0,027 sec 0,064 sec 0,125 sec n 5 0,1 sec 3,2 sec 24,3 sec 1,7 minuti 5,2 minuti 2 n 0,001 sec 1,0 sec 17,9 minuti 12,7 giorni 35,7 anni 3 n 0,059 sec 58 minuti 6,5 anni secoli secoli # 8 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Problemi polinomiali e problemi esponenziali Esaminando questa tabella emerge con chiarezza la differenza che esiste tra problemi risolubili in tempi polinomiali (n, n 2, n 3, n 5 ) problemi che richiedono tempo esponenziale (2 n, 3 n ). Questi ultimi, infatti, possono essere risolti solo quando la dimensione dell'istanza è sufficientemente piccola (n=10, 20); L IMPATTO DEL FATTORE TECNOLOGICO Dispense, cap # 9 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Massima istanza Il Fattore Tecnologico Dato un computer generico e 6 algoritmi di complessità diversa (ma, per semplicità, possiamo supporre che risolvano lo stesso problema) (n, n 2, n 3, n 5, 2 n e 3 n ) consideriamo quanti dati questo computer può elaborare in 1 ora, per ognuno degli algoritmi. Poi supponiamo di avere un computer 100 o 1000 volte più veloce f(n) n n 2 n 3 n 5 2 n computer di riferimento N 1 N 2 N 3 N 4 computer 100 volte + veloce computer 1000 volte + veloce 100 N N 1 10 N N N 3 10 N N N Calcoliamo quanti dati in più il computer più veloce può elaborare nello stesso tempo, per ognuno degli algoritmi # 11 Prof Alberto Postiglione Università Salerno 3 n # Prof Alberto Postiglione Università Salerno 2

3 Algoritmi Lineari Algoritmi Polinomiali Se l algoritmo impiega un tempo proporzionale ad n, è evidente che il miglioramento delle prestazioni del computer incide allo stesso modo sul numero di operazioni che possono essere eseguite nell unità di tempo considerata L algoritmo con complessità n sul computer volte più veloce ne analizza Un algoritmo che ha una complessità di tempo proporzionale ad n 3 riesce, nello stesso tempo e su un computer volte più veloce, a trattare solo 10 volte i dati che riesce a trattare sul computer più lento. L algoritmo con complessità n 3 sul computer volte più veloce ne analizza # 13 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 14 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Algoritmi Esponenziali Un algoritmo che ha una complessità di tempo proporzionale a 2 n riesce, nello stesso tempo e su un computer volte più veloce, a trattare solo 10 dati in più rispetto al computer più lento. L algoritmo con complessità 2 n sul computer volte più veloce ne analizza PROBLEMI PRATICAMENTE INTRATTABILI Dispense, cap Le cose vanno ancora peggio per algoritmi con complessità proporzionale a 3 n # 15 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Considerazioni Non bastano i miglioramenti tecnologici Occorrono buoni algoritmi Gli algoritmi polinomiali sono ovviamente molto più apprezzabili di quelli esponenziali Alcune proprietà intrinseche dell'universo limiteranno sempre le dimensioni e la velocità dei calcolatori. Il più potente calcolatore che si possa immaginare di costruire non potrà essere più grande dell'universo conosciuto, né potrà essere costituito da componenti più piccole di un protone, né infine potrà trasmettere informazioni ad una velocità superiore a quella della luce. Date queste limitazioni tale calcolatore non potrebbe avere più di componenti. # 17 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 18 Prof Alberto Postiglione Università Salerno 3

4 Due ricercatori dell'm.i.t. hanno dimostrato che questo calcolatore impiegherebbe almeno 20 Miliardi di anni per risolvere alcuni problemi di cui è nota la risolubilità in linea di principio. Poiché presumibilmente l'universo non ha un'età superiore a 20 Miliardi di anni, ciò sembra sufficiente per affermare che questi problemi costituiscono l'espressione più esasperata dei problemi intrattabili. Un algoritmo, il cui tempo di esecuzione cresce come c n è definito praticamente intrattabile. Se c è di poco superiore ad 1, l'algoritmo può essere adoperato per dati di ingresso molto piccoli: ma se i dati in ingresso sono grandi, esplode la crescita esponenziale Esiste, inoltre, il pericolo che il problema non ammetta intrinsecamente soluzioni più veloci di quella esponenziale, Si parla, in questo caso, di Problemi intrinsecamente intrattabili. # 19 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 20 Prof Alberto Postiglione Università Salerno COMPLESSITA INTRINSECA DI UN PROBLEMA Dispense, cap Un problema di cui si conosce un algoritmo, con la relativa complessità computazionale, potrebbe, in futuro, essere risolto algoritmicamente in un altro modo, magari più efficiente (ad esempio con complessità di tempo inferiore) # 22 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Fino a che punto è possibile migliorare la soluzione di un problema? Fino a che punto possiamo sperare che qualcuno in futuro possa formulare un algoritmo migliore per risolvere il nostro problema? Ci sono limiti al di sotto dei quali non è possibile scendere? Per alcuni problemi la risposta è affermativa: si conosce il limite oltre il quale nessun algoritmo può scendere, per ingegnoso che possa essere. Si parla di lower bound del problema, ovvero del numero minimo di operazioni che qualsiasi soluzione al problema comporta e che dipende dalla struttura stessa del problema mentre è indipendente da un qualsiasi algoritmo, anche sofisticatissimo. # 23 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 24 Prof Alberto Postiglione Università Salerno 4

5 Il lower bound di un problema è una proprietà intrinseca dello stesso (spesso facciamo riferimento ad esso chiamandolo complessità intrinseca del problema) ed è un informazione importantissima per chi sviluppa software perchè ci permette di non perdere tempo nella ricerca di un algoritmo troppo veloce, che non può esistere. Abbiamo così la certezza che nessun genio (neanche fra anni) potrà mai trovare un algoritmo che sia più veloce del lower-bound del problema. La dimostrazione di lower-bound di un problema è difficile. Bisogna analizzare, ad esempio, la natura del problema, indipendentemente da quella che può essere una possibile strategia di soluzione. Sono pochi i problemi di cui si è dimostrata l esistenza di lower-bound. # 25 Prof Alberto Postiglione Università Salerno # 26 Prof Alberto Postiglione Università Salerno Due esempi famosi sono il problema della ricerca di un elemento in una tabella (che affronteremo successivamente) che è equivalente alla ricerca di una parola in un dizionario e il problema dell ordinamento di una lista di oggetti (siano parole, numeri, ecc ). Nel primo caso il lower-bound è log n, cioè nessun algoritmo (basato su confronto di elementi) può impiegare, nel worst-case, meno di log n operazioni in presenza di una tabella con n elementi. Nel secondo caso è stato dimostrato che un qualsiasi algoritmo che ordina un insieme di n elementi non può effettuare (nel worst-case) meno di n logn operazioni elementari. # 27 Prof Alberto Postiglione Università Salerno 5