Con le ovvie modifiche a enunciati e dimostrazioni continuano a ((1,1,.-,.,1,5,1,...,1")" 5

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Dante Marino
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1 HZk(x,y) O el qut [O,i 2/À]x [O,i2/À] el qule ivee It Zk + 1 (x,y)... l-xp{-à mi{x,y}) l teee i k +. C le vvie mifihe euiti e imstzii tiu v.l, pe > 2, i teemi 3,5,6 e 7, ltehé l'esempi 1; vle tuttvi l'esempi 2. Nel teem 4, l Cl) e l (2) iveg isi)ttivt ((1,1,.-,.,1,5,1,...,1")" 5 e se s.; O pe lme u iie 1; l 1 isegugliz:l (,I) SI sive ell fm tuttvi l limitzie ifeie è u T-pul se ~ 3, seee l (7) fis l miglie limitzie ifeie. Pe l stess mtiv, e mifie l suessie {H } ell'esempi 2; Zk st, peò. peee =. 1 1= E' file esumee, i teemi 3, 5,6,7, e i l lghi pe > 2, he l vegez ele i 6 iffeise, pe > 1, ll vegez ell tplgi ptt i 6x6 x x6 E', ll, tule msi se esist u meti su ( ~ 2) tle he 'l vege~ ell meti equivlg ll vegez ele i 6. L ispst, tle m stituise l' gmet ell sezie suessiv UNA METRICA PER LA CONVERGENZA DEBOLE IN 6. Ri le fuzii $ ell sezie 3 ve, e Q e <,.

2 si può efiie, meite u'pptu umezie, u suessie (Y : e ti) i fu.zii Y : Rx i+[o,l) tli he Y(~,y)=$(xH(y) ( e ll,,,, e Q, <, <, (x,y) e m. 2 ). Msteem più i ss (teem 1.2) he efiit ( 1) I [2 Y (x,y)f(x,y) - [2 Y (x,y)g{x,y)\ m m è l meti le ppietà ihieste ll fie ell sezie 2. L imstzie si s sul" seguete LEMMA 6.1," Pe F e 6 2,,,, e Q < e < isult (2) -1-1 $ (x)$ (y) F(x,y)-(-) (-) x~y" I x I F{x,y)y DlM. L'us ipetut el teem i Fuii e l fmul 'itegzie pe pti pe l'itegle i Stizltjes ([S}) à pe l'itegle pim mem ell (2) h{y) I $ (x) F(x,y)= [ ~ III x,y 1\ -1 $ (Y){l'( F)+(-). x y I F{x,y)x y - l'( F))= x Y (-) -1 I {l'(f)+(-)-l y -1-1 I F(x,y)y l' CF:,)x=(-) (-) f x y f F(x,y)y, ve l'c F): x y = lim F(x,y), x... Y l' (F) Y = Hm F(x,y)...., )

3 TEOREMA 6.2. L fuzie efiit ll (1) è u meti su 6 " 2 DIM. E' eviete he st pve l'implizie Z(F,G) ==> F=G, me S~ fà mifi l imstzie el teem (2 Y (x,y)f(x,y)- [2Y Cx,y)G(x,y) i : :m. JRT = > f -2 R Y G CV e:t;) => (V,,, e Q, <, <). I vitù ell (2) quest'ultim isegugliz impli (3) f x f F(x,y)y = f x f G(x,y)y (V,,,l eq, <,<). L (3) impli l'egugliz, he esist u put (x,y ) pe esempi F(x,y ) < G(x,y ), e si pg F=G. Iftti, 51 suppg, pe ssu! e lr 2 tle he F(x,y ) # G(x,y ), < = (G(x,y )-F(x,y )l/2. Pihé F è tiu est e esete I isu viile, esist ue umei eli Xl e y', x' > x e y' > y, tli he F(x,y) < F(x,y) < F(x,y) +< pe gi x e x,x'] e F(x,y) < L' 00 < F (x ' J Y ) < F ex ',y f) < F ex,y ) + E: - - -, e [y,y'] J x J F(x,y)y ~ isult Pei, se, e [x,x'] (-)(-){F(x,y )+<}=(-)(-){F(x,y )+G(x,y 1/2 < ~ e

4 < (-)(-) G(x,y ) < I x - I G(x,y)y he tie l (3). TEOREMA 6.3. Se F, F e fj. z ( e:nl z(f,f)... O, se, e sl se F DlM. (-» Si suppg Z(F,F) + O. Pst è 6 Z (,): =1 I z Y (x,y)f(x,y) - [Z y (x,y)g(x,y)! (,en) m R ~ 0z(,) ~ 2 z(f,f), sihé 11m 0Z(,) = O V e:n. Pe l (2) iò sigifi (4) lim I x I F (x,y)y L (4) impliheà he see ell (4) = I x I F(x,y)y w - F + F. Pst F(x,y): = (V,,C:,eQ, lim sup +~ <~),<). (-)(-) F(,) = < lim sup I x lim sup + ~ I F (x,y)y = (-) (-) F (,) Ix I < F(x,y)y < (-)(-) F(,) iè ~(,) < F(~~.). Fe teee + e pi + Sl ttiee F (,e) < F(,). O se (x,y) e m l si pe,e e Q tli he >x e >y sihé - - F(x,y) < F(,) ~ F(,). All, fe +x e - ~y, F(x,y) ~ F(x,y). U gimet el tutt lg à E(x,y): lim if F(x,y) > F(-O,-O) ve, e Q <x e <y.

5 - 34- F(x-O,y-OY < F(x,y)! F(x.y) < F(x,y). Se, uque, (x,y) è u put i tiuità i F, si h F (x,y)+f(x,y). «==) L imstzie el vieves è ieti qull ell pte ispete el teem 3.2 l sl H.). sstituzie i 6 Z (,) L'estesie ei isultti i quest sezle l s ell vegez ele I 6 >2 è vvi. BIBLIOGRAFIA [lj R.B.ASH, "Re,.l. A«!YIJ-i1J PJt1..ti..,ty", Aemi Pess, New Yk - L [2] K.L.CHUNG, "A Cu.It.6e. i PJtili.,ty Thelty", Aemi Pess,New Yk - L, 1974 (2.e.) [31 G.DALL'AGLIO, "Fk het Ct"...~. Cmp.t.i..i.ty 06 Vùtk.i.u.t.i. Fu.,t..i.lJ" Sympsi Mthemti~, (1972). [4] J.DIEUDONNE', "Fut.i.4 06 MelL AtY.6i...A" J Aemi Pess, New Yk -,L, [5] N.DUNFORD J.T.SCHWAR2, "Ue.k Opek.tM~. Pt I: GeeI They", Itesiee, New Yk, [6] J.L.KELLEY, "Gee.lll. Tpl.gV", V Nst, New Yk, 1955; istmpt- Spige-Velg, BeliHeieleg-New Yk,(GTMZ7) [7] J.F.C.KINGMAN J.S.TAYLOR. "ItkOu.t.i. t Me..u.ke. PkOil.itv" Cmige Uivesity Pess, Cmige, [8] M.LOEVE. "Pk..i.ty ThekY", 4 th e. Spige-Velg,New Yk Heieleg - Beli, [9) E. LUKACS, "StO.hli. Cvellge.e", Aemie Pess, New Yk L [lo] B. SCHWEIZER. "Mu.t.t.i.pt.i..t.i. the Sp.e 06 V.i.~.tk.i.u..t.i. Fu. C.t.i.OM" Aequties Mth.!l (1975). [11] B. SCHWE!ZER A. SKLAR. "Pk.U.i.At.i. Me.tki Sp.e~". Eisevie '-Nth-Hll, New Yk, 198:>.

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