- 6 - Nella quasi totalità dei libri di Probabilità una funzione di ripartizione. Il legame tra una variabile aleatoria X e la sua f.r.

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Fabiola Marchi
6 anni fa
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1 LA DEFINIZIONE CLASSICA E LA SUA ESTENSIONE Nella quasi ttalità dei libri di Prbabilità ua fuzie di ripartizie (f.r.) è defiita cme ua fuzie F : lr" [6.1) che gde delle segueti prprietà: (i) F è crescete (xl < X z =-> F(x l ) < F(X Z ) (ii) F è ctiua a destra (F(x) F(x+O): lim F(y) (iii) i'(f):' lim F (x) = O. x- (iv) R."(F):= 1im F(x) L x++w y xy>x Il legame tra ua variabile aleatria X e la sua f.r. F X è dat da FX(X) = p[x < x). Se ivece cme fa talui autri si pe FX(x):. p[x < xl. allra la prprietà (ii) viee sstituita dalla ctiuità a siistra. El t che per gi f.r. F esist ua v.a. X e ua prbabilità P su CRBCRll tali che F(x) p[x < x]. Si idichi c!j. 0 l spazi delle f.r. defiite cme spra (si 05 servi che 6 è u spa~i lieare) e c!j. quell delle fuzii F : lr "[01) che sddisfa a (i) e (ii). Ua delle prprietà più imprtati delle f.r. è la cvergeza cmpleta. DEFINIZIONE 1.1. Si dice che ua successie (F : e~) c ào cmpletamete a F e!j.0 (e si scriverà F 11 c F) se lim F (x) F(x) Vx e C(F). TEOREMA 1.1. Se F e ào e (F : 6 ~) c ào s equivaleti le segue ti prprietà: (i) (ii) F.. F cmpletamete; esiste u sttisieme des D di ~ tale che F (x)"f(x) VxeD;

2 - 7 - (iii) If df ~ I Il. fdl' Vf e CB (Il) (cvergeza stretta); JR (iv) se $ è la Le. di F ' è $ (t) ~ $Ct) Vt er ve $ JR a: ~ è ctiua i t O; i quest cas $ è U<! Le. Per la dimstrazie dì quat prcede 51 può csultare [2]. Vale iltre il seguete terema t cme prim terema di Helly che userem el seguit TEOREMA Da gi successie (F e N) c 6 si può estrarre ua successie (F k e!'il tale che lim F(k)(x) = G(x) lk) k- VxeC(G) ve G JR ~ [011 è crescete e ctiua a destra cié Ge6. DEFINIZIONE 1.2. Si dice che ua successie {f. TI e~} di fuzi i mte VxeC(g). cverge deblmete a ua fuzie g" se lim f (x)=g(x) - Il terema di Helly asserisce che da gi successie di può estrarre ua successie che cverge deblmete a ua fuzie crescete e ctiua a destra (che però appartiee ecessarlame - te a 6 ). La dimstrazie S1 può trvare per esempi I es]. El pssibile itrdurre i 6 ua metrica tale che la cvergeza ella tp.lgia della metrica Sla prpri la cvergeza cmpleta. A tal fie 51 itrduca l'applicazie d L 6 x 6 ~ [01] defiita da dl(fg):= if{h > O F(x-h)-h < G(x) < Fex+h)+h VxeRl - - TEOREMA 1.3. (6 d L ) è u spazi metric. La distaza d L è detta di Lévy ([11]). Essa può essere iterpreta-

3 - 8 - ta cme segue. Si cmpleti i grafici delle curve y = F(x) e y=g(x) I md da tteere due curve ctiue r 1 e f Z " Si csideri le itersezii P e Q di tali curve c la retta x+y = c. Se d(p Q ) c c c c idica la distaza eucl idea di p' e Q r isulta c c. dl(fg) = sup {d(p Q )/12 : c e lr} c r l' I ' " p' " " x TEOREMA 1.4. La cvergeza ella metrica d equivale alla L za cmpleta di f.r. ciè per ua successie {F } c ào si cverge!!. ha F ~F TEOREMA 1.5. L spazi metric (6 d L ) è cmplet Le dimstrazii dei teremi 4 essi pss trvare I [9] pp. I due classici esempi che segu e che verra ripresi el seguit mstra cme (6 d L ) O!1 sia cm:)att. ESEMPIO 1.1 Sia F e 6 ( e N) defiita da F (x) = (x+) /2 x S - TI xe]-[ 1 x >

4 - 9 - Se F(x) = 1/2 VxelR F cverge deblmete a F. ma F è ua alla (iii) é alla (iv) sicché F f.r. piché sddisfa é cverge cmpletamete a F. ESEMP IO Se aer sia < a lr~[ol] defiita da J X < a < (x) = a 1 x > a. La successie {E ' TI e~} cverge alla fuzie N ideticamete ulla per gi xèr. N è però ua f.r. La defiizie usuale di f.r. - quella data spra - è eacessivame te restrittiva perché si limita a csiderare v.a. quasi vuque fiite cié v.a.x per le quali SIa P[IXI = +00] = O. Si esclude csì la pssibilità di csiderare v.a. che assuma i valri +00 e/- c prbabilità ulla. V.a. di quest tip si preseta Ivece abbastaza spess; per fare sl u esempi si pesi ai tempi d1arrest. E' quidi pprtu csetire che sia p[lxi = +]~ O. Ciò prta ecessariamete a mdificare la defiizie di f.r. cme segue DEFINIZIONE 1.2. Si dirà f.r. ua fuzie F : R ~ lo1] che gda del le prprietà (i) e (ii) date spra e iltre delle (iii)' (iv)' F(-~) = O ~ t'(f); F(+~) = 1 ;. t"(f). Risulta allra per la f.r. F della v.a.x: ~(x) = p[x < x] se x e R p[x = -~l = t'(f) P[X = + ~1= 1 - t"(f). Sia 6 l spazio delle f.r. csl defiite. Evidetemete risulta 6 c 6. Si vedrà elle prssime due sezii che i 6 pss e~sere defiite due diversemetriche delle quali SI studiera le prprietà.

5 Si può prvare 'che i 6 si può itrdurre ua secda metrica detta di Klmgrv ([9J) defiita da d' (FG):= sup{ IF(x) - G(x) I : x E lr l. Tuttavia la tplgia idtta da d' za cmpleta. Et ifatti (V e tl) allra F c~ cvergere cmpletame~te derare F = E; e immediat che se d'cf F) + O F ma ua successie di f.r. c F Fe6 ' di /10 può è quella della cvcrgeseza che accada d'cf F) + O. Basta csl Si vede subit che x < O F (x) = x x E [Ol/[ F 1 x > l/. - c C ma dl(f :} = 1 V E IN. ' 2. LA METRICA DI SIBLEY-SCHWEIZER DEFUUtlONE 2.1. Se h E [OlJ si pga I(h):=]-l/hl/h[.Se FG e 6 51 idichi c (FG;h) la cdizie F(x-h)-h < G(x) < F(x+h) + h Vx e I(h). La metrica d su /1 itrdtta da Sibley [15J mdificata da S Schweizer [10J è la fuzie d : 6 x tj. ~lr S + é defiita da ds(fg):= if{b > O : valg.a (FG;h) s.a (GF;h)l. Si sservi che valg sempre (FGjl) e (G.f;l); perciò dscfg) < 1. Si sservi iltre che ella defiizie di d L la diseguaglia za F(x-h)-h < G(x) < F(x+h)+h implica cme subit si ctrllame- - - / diate cambi di variabili ache l'altra G(x-h)-h < F(x) < G(x+h)+h.

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