Teoria assiomatica di Galois

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1 Teoria assiomatica di Galois Riccardo Brasca 1 Gruppi profiniti Teorema 1.1 Nella categoria dei gruppi topologici esiste il limite inverso. Dimostrazione. Sia (I, ) un insieme diretto e ( ) {X i } i I, ϕ ij un sistema proiettivo di gruppi topologici, allora possiamo porre { } lim i I X i = {x j } j I i I X i tali che ϕ(x k ) = x j j k. Teorema 1.2 Se ( {X i } i I, ϕ ij ) è un sistema inverso di gruppi topologici tutti di Hausdorff, allora X = lim X i è un sottogruppo chiuso di i I X i. Dimostrazione. Sia {x i } X, allora per definizione di X esistono r, s I, con s r, tali che ϕ rs (x r ) x s. Siano U e V intorni disgiunti di ϕ rs (x r ) e x s, sia inoltre U un intorno di x r tale che ϕ rs (U ) U. Poniamo V r = U, V s = V e V i = X i negli altri casi, allora W = i I V i è un intorno di {x i } disgiunto da X. Teorema 1.3 Se ( ) {X i } i I, ϕ ij è un sistema inverso di gruppi topologici di Hausdorff, compatti e totalmente sconnessi, allora anche X = lim X i ha le stesse proprietà. Dimostrazione. Il prodotto di spazi compatti totalmente sconnessi è un compatto totalmente sconnesso ed un chiuso in un compatto totalmente sconnesso è pure un compatto totalmente sconnesso. Teorema 1.4 Se ( {X i } i I, ϕ ij ) è un sistema inverso di gruppi topologici tutti di Hausdorff, compatti e non vuoti, allora X = lim X i è non vuoto. Dimostrazione. Per ogni j I poniamo Y j = {{x i } tali che ϕ jk (x j ) = x k }. Ovviamente ogni Y j è non vuoto 1 e con una dimostrazione identica a quella del teorema 1.2 si prova che ogni Y j è anche chiuso. Inoltre r s implica Y s Y r, quindi, dato un insieme finito di indici J, possiamo trovare (utilizzando la definizione di insieme diretto) un indice r tale che Y r Y j j J, in particolare j J Y j. Abbiamo quindi dimostrato che la famiglia {Y i } i I è una famiglia di chiusi con la proprietà dell intersezione finita, da cui, sfruttando la compatezza di i I X i, deduciamo che Y = i I Y i. Si ha la tesi in quanto, per definizione, Y = lim X i. 1 Si noti che l affermazione è in effetti ovvia: per trovare un tale {x i } basta porre x k = ϕ jk (x j ) per ogni k j e scegliere a caso gli altri, ma bisogna ricorrere all assioma della scelta. 1

2 Definizione 1.5 Sia I un insieme diretto e ( ) {X i } i I, ϕ ij un sistema inverso di gruppi finiti, dotati della topologia discreta. X = lim X i viene detto gruppo profinito. Poiché un gruppo finito con la topologia discreta è compatto, di Hausdorff e totalmente sconnesso abbiamo dimostrato il seguente Teorema 1.6 Sia X = lim X i un gruppo profinito, allora X è un gruppo topologico compatto, di Hausdorff e totalmente sconnesso. Inoltre se X i i si ha X. Teorema 1.7 Sia {X j } j J un insieme di gruppi profiniti, allora X = j J X j è un gruppo profinito. Dimostrazione. Sia X j = lim X i i Ij j e indichiamo le corrispondenti mappe con ϕ rs j. Poniamo K = (a, b) J I j tali che b I a j J e sia H l insieme dei sottoinsiemi finiti di K nei quali ogni elemento di J compare come primo elemento di al più una coppia (in sostanza in questo modo un elemento di H è costituito da un numero finito di elementi di J e, per ognuno di questi elementi, da uno ed un solo elemento di I j ). Diamo ad H la struttura di insieme ordinato nel seguente modo: F G se e solo se π 1 (F ) π 1 (G) (π 1 è la proiezione sulla prima componente, si ricordi che F è un sottoinsieme di un prodotto) e per ogni (j, a) F il corrispondente (j, b) G (che esiste ed è unico) soddisfa a b (si noti che questa relazione vale in I j ). In questo modo H risulta chiaramente diretto: dati F e F in H costruiamo G prendendo come insieme degli indici l unione di quelli di F e F e come elementi quelli che ci vengono dati dalla direzione nei vari I j. Poniamo Y F = (a,b) F Xb a e definiamo le mappe ψ F G (G F ) nel seguente modo ( ψ F G { ) { x b a = }(a,b) F ϕ bb a ( ) } x b a, (a,b) G dove (a, b) è la coppia in F corrispondente alla coppia ( a, b ) in G. Si ha X = lim Y F. Teorema 1.8 Sia X un gruppo profinito e Y X un sottogruppo chiuso, allora Y è profinito. Dimostrazione. Siano π i le mappe naturali da X negli X i. Vogliamo dimostrare che Y = lim π i (Y ). C è un ovvia iniezione Y lim π i (Y ). Questa mappa è suriettiva in quanto se {y i } lim π i (Y ) e Ỹi = π 1 i (y i ), si ha che gli Ỹi sono compatti (essendo chiusi in Y, che a sua volta è un chiuso in X) e di Hausdorff, quindi, per il teorema 1.4, lim Ỹ i è non vuoto e fornisce una preimmagine di {y i }. Teorema 1.9 Sia X un gruppo topologico compatto (in particolare un gruppo profinito) e sia Y X un sottogruppo. Y è aperto se e solo se è chiuso e di indice finito. 2

3 Dimostrazione. Se Y è aperto allora il complementare di Y, che non è altro che l unione dei laterali di Y, è pure un aperto; inoltre questi laterali devono essere in numero finito per la compatezza di X. Se Y è chiuso e di indice finito il suo complementare, che è l unione di un numero finito di traslati di Y, è chiuso. Definizione 1.10 Sia π un gruppo profinito. π-sets è la categoria degli insiemi finiti con azione continua di π (ogni insieme finito è da intendersi dotato della topologia discreta). 2 Categorie galoisiane Definizione 2.1 Sia C un categoria. Un oggetto X di C è detto oggetto terminale, o finale, se per ogni Y Ob(C) esiste un unico morfismo f : Y X. Definizione 2.2 Sia C un categoria. Un oggetto X di C è detto oggetto iniziale se per ogni Y Ob(C) esiste un unico morfismo f : X Y. In set tutti i singoletti sono oggetti finali. Definizione 2.3 Sia C una categoria. Siano dati X, Y, e S oggetti di C e due morfismi f : X S e g : Y S. Il prodotto fibrato di X e Y (rispetto ai morfismi dati) è uno Z Ob(C), indicato con X S Y, con due morfismi p 1 : Z X e p 2 : Z Y tali che f p 1 = g p 2. Inoltre Z dev essere universale rispetto a questa proprietà, cioè se A è un oggetto di C ed esistono due morfismi a 1 : A X e a 2 : A Y tali che f a 1 = g a 2 allora esiste un unico morfismo h : A Z tale che a 1 = p 1 h e a 2 = p 2 h. Si noti che il prodotto fibrato, se esiste, è unico a meno di un automorfismo canonico. In set il prodotto fibrato è, con le notazioni della definizione, X S Y = {(x, y) X Y tali che f(x) = g(y)}. Definizione 2.4 Sia C una categoria e I un insieme di indici. Dato {X i } i I Ob(C), la somma degli X i è uno Z Ob(C), indicato con i I X i, con un insieme di morfismi {q i } i I, tali che q i : X i Z i I, che soddisfano la seguente proprietà: se Y Ob(C) ed esiste una famiglia di morfismi {f i } i I, f i : X i Y i I, allora esiste un unico morfismo f : Z Y tale che f i = f q i i I. Si noti che la somma diretta, se esiste, è unica a meno di un automorfismo canonico. In questo caso gli X i sono detti addendi diretti di Z. Se X i = X i I la somma viene indicata con X I. Si noti che nel caso I = Z è un oggetto iniziale di C. In set la somma è l unione disgiunta. Definizione 2.5 Sia C una categoria e sia X Ob(C). Dato G aut(x) un sottogruppo degli automorfismi di X, il quoziente di X rispetto a G è uno Z Ob(C), indicato con X/G, con un morfismo p : X Z che soddisfa p = p σ σ G. Inoltre se Y Ob(C) ed esiste f : X Y tale che f = f σ σ G allora esiste un unico morfismo g : Z Y tale che g = g p. Si noti che il quoziente, se esiste, è unico a meno di automorfismo canonico. In set il quoziente è l insieme delle orbite di G. Definizione 2.6 Sia C una categoria. Un morfismo di C f : X Y è detto epimorfismo se per ogni Z Ob(C) e per ogni coppia di morfismi g, h : Y Z, con g f = h f, si ha g = h. In set gli epimorfismi sono le mappe suriettive. 3

4 Definizione 2.7 Sia C una categoria. Un morfismo di C f : X Y è detto monomorfismo se per ogni Z Ob(C) e per ogni coppia di morfismi g, h : Z X, con f g = f h, si ha g = h. In set i monomorfismi sono le mappe iniettive. Definizione 2.8 Sia C una categoria e sia X Ob(C). Un sotto-oggetto di X è uno Z Ob(C) insieme ad un monomorfismo f : Z X. In set i sotto-oggetti sono i sottoinsiemi. Definizione 2.9 Sia C una categoria e siano f, g : X Y due morfismi in C. L equalizzatore di f e g è un oggetto Z insieme ad un morfismo h : Z X tale che f h = g h. Inoltre dato un oggetto A ed un morfismo a : A X tale che f a = g a deve esistere un unico morfismo s : A Z tale che s h = a. In set l equalizzatore di f e g è l insieme {x X tali che f(x) = g(x)}. Definizione 2.10 Sia C una categoria e sia F : C sets un funtore covariante da C in sets, la categoria degli insiemi finiti. C è detta categoria galoisiana con funtore fondamentale F se soddisfa le seguenti condizioni: G1 in C esiste un oggetto terminale ed esiste il prodotto fibrato di due oggetti su un terzo; G2 in C esistono somme finite (cioè somme rispetto ad un insieme di indici finito) e per ogni oggetto di C esiste il quoziente rispetto ad un gruppo finito di automorfismi; G3 ogni morfismo f in C si può scrivere come f = g h, dove h è un epimorfismo e g un monomorfismo, inoltre ogni monomorfismo f : X Y è un isomorfismo tra X e un addendo diretto di Y ; G4 il funtore F trasforma oggetti terminali in oggetti terminali e commuta con il prodotto fibrato; G5 il funtore F commuta con le somme finite, trasforma epimorfismi in epimorfismi e commuta col passaggio al quoziente rispetto ad un gruppo finito di automorfismi; G6 se f è un morfismo di C tale che F (f) sia un automorfismo allora f è un automorfismo. Esempio 2.11 Chiaramente sets, con l identità come funtore fondamentale, è una categoria galoisiana. 2.1 Esempi importanti Definizione 2.12 Il funtore dimenticante da π-sets in sets è il funtore che ad ogni insieme, su cui agisce π, associa l insieme stesso e analogamente per i morfismi. Esempio 2.13 Sia π un gruppo profinito, allora π-sets, con il funtore dimenticante come funtore fondamentale, è una categoria galoisiana. Questo esempio risulterà essere l unico significativo, infatti dimostreremo che data una categoria galoisiana C esiste un gruppo profinito π (in un certo modo unico) tale che C sia equivalente a π-sets. 4

5 Illustreremo ora i due esempi che motivano tutta la trattazione successiva: la categoria dei rivestimenti finiti di uno spazio topologico X e la categoria (opposta) delle k-algebre separabili. Sia riv X la categoria dei rivestimenti finiti di un fissato spazio topologico connesso X e sia x X. Vogliamo mostrare che riv X è una categoria galoisiana, se come funtore fondamentale F x prendiamo la fibra del rivestimento in x (l azione sui morfismi è quella indotta). Il seguente lemma, oltre ad essere fondamentale nella dimostrazione, è estremamente interessante in quanto ne esiste un analogo nella categoria dei rivestimenti finiti étale di uno schema, come vedremo più avanti. Lemma 2.14 Siano x X, f : Y X e g : Z X due rivestimenti finiti e sia h : Y Z una mappa continua tale che f = g h (cioè h è un morfismo in riv X ). Sotto queste ipotesi esistono un intorno U di x, due insiemi finiti D ed E, due omeomorfismi α : f 1 (U) U D e β : g 1 (U) E e una mappa ϕ : D E tali che il diagramma h f 1 (U) g 1 (U) α β f U D id ϕ U E g π 1 π 1 id U U U commuti (π 1 è la proiezione sulla prima componente). Dimostrazione. Siano V e V due intorni di x tali che esistano due insiemi finiti D ed E (che consideriamo dotati della topologia discreta) e due omeomorfismi α : f 1 (V ) V D e β : g 1 (V ) V E, tali che i seguenti diagrammi f 1 (V ) α V D f 1 (V ) β V E f π 1 V g π 1 V commutino. Sia V = V V, chiaramente i due diagrammi sopra commutano ancora se al posto di V o V si scrive V. Vogliamo costruire la mappa ϕ: h induce una mappa da f 1 (V ) a g 1 (V ), quindi abbiamo una mappa β h α 1 : V D U E che rispetta la proiezione sulla prima componente, cioè manda la coppia (y, d) nella coppia (y, ϕ y (d)) per una certa mappa ϕ y. Sia ϕ = ϕ x. Possiamo costruire una mappa continua f : V D E E mandando la coppia (y, d) nella coppia (ϕ(d), ϕ y (d)). Questa mappa manda {x} D nella diagonale di E E, che è aperta; segue che esiste un intorno U di x tale che f({x} D) è contenuto nella diagonale di E E. U è l intorno che stiamo cercando in quanto ϕ y = ϕ per ogni y U. Lemma 2.15 Sia f : Y X un rivestimento finito, segue che f è una mappa sia aperta che chiusa. 5

6 Dimostrazione. Sia A Y un aperto e sia f(y) = x f(a). Sia U X un intorno di x tale che f 1 (U) sia omeomorfo, tramite f, a U D, per un certo insieme finito D; esiste d D tale che y U {d}, inoltre, essendo A aperto e D finito, esiste un intorno V U {d} di y che è aperto in Y. Segue che f(v ) è un intorno di x in f(a) da cui f è aperta. Se C Y è un chiuso, un ragionamento del tutto analogo, applicato al complementare di C, mostra che f è anche una mappa chiusa. Lemma 2.16 Siano f : Y X, g : Z X due rivestimenti finiti e sia h : Y Z un morfismo di riv X, allora h è un rivestimento finito. Dimostrazione. Sia z Z e sia U X come nel lemma 2.14 tale che z g 1 (U), è chiaro che h è banale quando ristretta a h 1 (g 1 (U)). Lemma 2.17 Sia C una categoria in cui esiste il prodotto fibrato e sia f : Y X un morfismo di C. f è un monomorfismo se e solo se p 1 : Y X Y Y è un isomorfismo. Dimostrazione. Sia f un monomorfismo, vogliamo mostrare che Y, con entrambi i morfismi uguali all identità, è il prodotto fibrato; ovviamente dobbiamo mostrare solo che Y è universale. Siano g : Z Y e h : Z Y due morfismi tali che f g = f h. Poiché f è un monomorfismo possiamo dedurre che g = h, da cui esiste un unico morfismo θ : Z Y tale che id Y θ = h e id Y θ = g, cioè g stesso. Viceversa sia p 1 un isomorfismo, posso allora supporre che il prodotto fibrato sia proprio Y. Per la proprietà universale del prodotto fibrato, prendendo come altro oggetto Y, con entrambi i morfismi uguali all identità, si vede che p 2 p 1 1 = id Y, cioè p 1 = p 2. Il fatto che f sia un monomorfismo segue ora immediatamente dalla proprietà universale del prodotto fibrato. Teorema 2.18 La categoria riv X con funtore fondamentale F x è una categoria galoisiana. Dimostrazione. Verifichiamo gli assiomi uno per volta. G1 Il rivestimento identità id : X X è un oggetto finale. Dati tre rivestimenti Y, W e Z e due mappe g : Y Z e h : W Z poniamo Y Z W = {(y, z) Y W tali che g(y) = h(w)}. Per dimostrare che l ovvia mappa f : Y Z W X è un rivestimento finito utilizziamo il lemma 2.14 due volte per trovare un intorno U di un x X tale che i rivestimenti Y X, Z X e W X siano tutti banali: abbiamo quindi il seguente diagramma (U A) U B (U C) π 1 π 2 id ϕ id ψ U A U B U C U con A, B e C insiemi finiti. f è banale quando ristretta a f 1 (U), infatti f 1 (U) è omeomorfo a U D dove D = {(a, c) tali che ϕ(a) = ψ(c)}. 6

7 G2 Come somma finita possiamo prendere l unione disgiunta con l ovvia mappa indotta. Per dimostrare che esiste il quoziente rispetto ad un gruppo finito G di automorfismi di f : Y X consideriamo lo spazio delle orbite Y/G con la topologia quoziente e l ovvia mappa g : Y/G X. Per dimostrare che questa g è un rivestimento finito utilizziamo ancora il lemma 2.14: per ogni x X possiamo trovare un intorno U di x tale che sia f sia tutti i σf, con σ G, siano banali (qui usiamo il fatto che il gruppo è finito), è chiaro che g risulta essere banale quando ristretto a g 1 (U). G3 Siano f : Y X e g : Z X due rivestimenti di X e sia inoltre h : Y Z un morfismo in riv X. Poiché per ipotesi g(h(y )) = f(y ), il lemma 2.15 ci assicura che h(y ) è sia un aperto che un chiuso di Z. Vogliamo mostrare che f è un epimorfismo di riv X se e solo se è suriettiva. Il se è ovvio. Viceversa se f non è suriettiva otteniamo, per quanto detto sopra, due rivestimenti finiti di X, g f(y ) e g Z\f(Y ). Costruiamo quindi due morfismi da Z a X X, g e g f(y ) g Z\f(Y ), che composti con h danno lo stesso morfismo, da cui segue che f non è un epimorfismo. Mostriamo ora che h è un monomorfismo se e solo se è iniettiva. Il se è ancora ovvio. Se f non è iniettiva p 1 : Y Z Y Y non è biunivoca, e quindi non può essere un isomorfismo, segue allora dal lemma 2.17 che f non può essere un monomorfismo. È quindi ovvio che che riv X soddisfi G3. G4 Ovvio dalla definizione esplicita di oggetto terminale e di prodotto fibrato in riv X. G5 Evidente anche in questo caso dalle definizioni in riv X e in sets. G6 Sia h : Y Z un morfismo in riv X e sia F x (h) il corrispondente morfismo in sets. F x (h) non è altro che la restrizione di h alla fibra di x, ed è un automorfismo se e solo se la mappa ϕ del lemma 2.14 è un automorfismo. L insieme {a X tali che F a (h) è un automorfismo } è dunque sia un aperto che un chiuso di X. Per ipotesi si tratta di un insieme non vuoto, quindi, per la connessione di X, è tutto X. h è quindi biettiva. Il lemma 2.16 ci assicura che h sia un rivestimento, quindi per il lemma 2.15 è una mappa aperta e dunque un automorfismo di riv X. Occupiamoci ora della categoria K SAlg delle K-algebre, di dimensione finita, e separabili. Definizione 2.19 Sia K una campo e A una K-algebra di dimensione finita. Per ogni a A la mappa δ a : A A definita da δ a (x) = ax è lineare, quindi possiamo definire Tr A/K : A hom(a, K) ponendo Tr A/K (x)(y) = Tr(δ xy ), dove Tr è l usuale traccia di un endomorfismo. A è detta separabile se Tr A/K è un isomorfismo. Consideriamo ora estensioni Galois anche infinite, le definizioni sono identiche al caso finito. Teorema 2.20 Sia K L un estensione algebrica e sia I l insieme dei campi, contenuti in L, che sono estensioni di Galois finite di K. Allora I, parzialmente ordinato per inclusione, è un insieme diretto. Inoltre le seguenti sono equivalenti: 7

8 1. L è un estensione di Galois di K; 2. L è un estensione normale e separabile; 3. L è il campo di spezzamento di un certo insieme F (anche infinito) di polinomi separabili; 4. E I E = L. In queste ipotesi si ha Gal(L/K) = lim E I Gal(E/K) come gruppi topologici. Dimostrazione. Se E, E I segue che EE I da cui I è un insieme diretto. 1 2 Sia K L di Galois, con gruppo di Galois G e sia α L. α è algebrico su K, quindi l orbita Gα è un insieme finito, possiamo allora considerare il polinomio g = β Gα (x β). g ha coefficienti in LG = K e ovviamente g(α) = 0, segue allora che g è divisibile da fk α, il polinomio minimo di α su K. g si fattorizza in fattori lineari in L[x] e non ha radici multiple, quindi lo stesso è vero per fk α da cui L è normale e separabile su K. 2 3 Si scelga F = {f α K, α L}. 3 4 Per ogni F F finito, il campo di spezzamento di F su K è contenuto in I. L unione di questi campi è il campo di spezzamento di F su K, che è L. 4 1 È sufficiente costruire, per ogni α L\K, un τ aut K(L) tale che τ(α) α. Sia E 0 I con α E 0. E 0 è un estensione finita e di Galois di K, quindi esiste ρ Gal(E 0 /K) con ρ(α) α. ρ può essere esteso ad un K-isomorfismo σ : K K. Per ogni E I si ha σ(e) = E quindi, essendo L = E I E, si ha σ(l) = L e σ L è l automorfismo che stavamo cercando. ϕ : Gal(L/K) lim Gal(E/K) definito da ϕ(σ) = { } σ E I E è un isomorfismo. E I Utilizzeremo liberamente questo teorema, senza riferimenti espliciti. Teorema 2.21 Sia K L un estensione di Galois, con gruppo di Galois G. Allora le estensioni intermedie corrispondono biettivamente ai sottogruppi chiusi di G, infatti le mappe ϕ(e) = aut E (L), ψ(h) = L H sono una l inversa dell altra. Questa corrispondenza inverte le inclusioni, K corrisponde a G e L all identità su L, inoltre se E corrisponde ad H si ha 1. K E è un estensione finita se e solo se H è aperto, in questo caso [E : K] = [G : H]; 2. E L è un estensione di Galois con Gal(L/E) = H come gruppi topologici; 3. sia σ G, allora σ(e) corrisponde a σhσ 1 ; 4. K E è un estensione di Galois se e solo se H è un sottogruppo normale di G e in questo caso Gal(E/K) = G/H come gruppi topologici. 8

9 Dimostrazione. Sia K E L. L è un estensione normale e separabile di K, quindi anche di E cioè esiste Gal(L/E). Sia F L con [L : F ] e sia σ G, poniamo U σ,f = { } τ G tali che τ F = σ F. Gli Uσ,F formano una base per la topologia di G e facendo una costruzione analoga per Gal(L/E) si vede che l immersione Gal(L/E) G è continua. L immagine di Gal(L/E) è un compatto, e quindi un chiuso, di G da cui ϕ è ben definita. L è un estensione di Galois di E quindi L Gal(L/E) = E da cui ψ(ϕ(e)) = E. Sia ora H G un sottogruppo chiuso, E = ψ(h) = L H e J = ϕ(ψ(h)) = aut E (L). Dobbiamo mostrare che H = J, chiaramente si ha H J. Sia quindi σ J, vogliamo mostrare che σ appartiene alla chiusura di H, questo è sufficiente in quanto H è chiuso. Possiamo quindi mostrare che, dato F H finito, si ha U σ,f H. Sia M I con F M, restringendo gli elementi di H al campo M otteniamo H Gal(M/K), che è un gruppo finito. Inoltre si ha M H = L H M = E M. M è un estensione di Galois di M H, con gruppo H (qui tutte le estensioni sono finite). Essendo σ M l identità su E M = M H, si ha σ M Gal(M/M H = H ) da cui σ M = τ M per un certo τ H e τ U σ,f H che quindi è non vuoto. ϕ e ψ sono quindi una l inversa dell altra, inoltre è ovvio che scambiano le inclusioni, che ϕ(k) = G e che ψ(id L ) = L. Sia ora E corrispondente ad H. 1. La mappa che assegna ad ogni σ G la sua restrizione ad E è un iniezione G/H { τ : E L tali che τ K = id K }. Questa mappa è anche suriettiva in quanto ogni τ può essere esteso ad un morfismo ρ definito sulla chiusura algebrica di E, essendo poi L un estensione normale di K si ha ρ L Gal(L/K). Se E è un estensione finita di K, H ha indice finito in G e quindi per il teorema 1.9 è aperto. Viceversa se H è aperto, sempre per il teorema 1.9, è chiuso e di indice finito. Per quanto detto prima ci sono quindi esattamente [G : H] omomorfismi da E in L che si restringono all identità su K. Si ha quindi che per ogni estensione finita E di K, con E E, ci sono al più [G : H] omomorfismi da E in L che si restringono all identità su K, in quanto ognuno di questi si estende a tutto E. Quindi [E : K] [G : H] per tutti gli E, ma essendo E l unione di tutti gli E si ha che [E : K] è finito. 2. Abbiamo mostrato che c è una biezione continua Gal(L/E) H, questa è un omeomorfismo in quanto il dominio è compatto e il codominio è di Hausdorff. 3. La dimostrazione è la stessa che nella teoria di Galois finita. 4. E è un estensione di Galois di K se e solo se è un estensione normale (la separabilità è automatica in quanto E L) cioè se e solo se τ(e) = E per ogni τ G, per il punto 3 questo accade se e solo se H è normale in G. Sotto queste ipotesi l insieme dei τ : E L che si restringono all identità su K è Gal(E/K), quindi c è una biezione G/H Gal(E/K), che è un omeomorfismo. Teorema 2.22 Sia A una K-algebra di dimensione finita. Si ha A = n i=1 A i per qualche intero n 0, inoltre, per ogni i, A i è una K-algebra locale di dimensione finita, con ideale massimale nilpotente. 9

10 Dimostrazione. Il teorema è un caso particolare del teorema di struttura per anelli Artiniani, si veda [1], teorema 8.7. Teorema 2.23 Sia B una K-algebra di dimensione finita, allora sono equivalenti: 1. B è una K-algebra separabile; 2. B K K è una K-algebra separabile ( K indica una chiusura algebrica di K); 3. B K K = Kn per qualche n 0; 4. B = r i=0 B i per qualche r 0, dove ogni B i è un estensione finita e separabile di K. Dimostrazione Sia b 1,..., b n una base di B su K, segue che b 1 K 1,..., b n K 1 è una base di B su K. Si ha dunque Tr B/K (b i b j ) = Tr B/ K((b i K 1)(b j K 1)). Poiché B è separabile se e solo se det((tr B/K (b i b j ))) 0 e lo stesso vale per B, abbiamo mostrato che 1 vale se e solo se vale È ovvio che 3 implica 2. Viceversa valga 2, e sia B = C j come nel teorema teorema Chiaramente ogni C j è separabile su K. Sia ϕ : C j K una qualsiasi applicazione lineare, per ipotesi esiste c C j tale che ϕ(x) = Tr(cx) per ogni x C j. Consideriamo gli x m j, l ideale massimale di C j : operatori nilpotenti hanno traccia 0, quindi m j ker(ϕ). Questo dev essere vero per ogni ϕ e quindi m j = 0 e C j è un campo, che essendo un estensione finita di K deve coincidere con K. Abbiamo quindi mostrato che 2 e 3 sono equivalenti Supponiamo che 4 sia vera. Utilizzando il teorema dell elemento primitivo scriviamo B i = K(β i ) = K[x]/(f i ), dove gli f i sono dei polinomi separabili ed irriducibili. Si ha quindi B = K[x]/(fi ), ma gli f i si fattorizzano completamente in K, f i = j (x α ij). Per il teorema cinese del resto si ha B i = K[x]/(x αij ) = K deg(fi), quindi vale 3. Viceversa valga 3. Poniamo B = Bi come nel teorema Per ogni b B, K[b] è isomorfo a K[x]/(f b ), per qualche polinomio f b, da cui, tensorizzando, troviamo un iniezione K[x]/(f b ) B. Per ipotesi si ha dunque che K[x]/(f b ) non ha nilpotenti non banali e quindi f b è un polinomio separabile. Segue quindi che se b è nilpotente f b = 0, quindi b = 0 e i B i sono campi. Se b = (b 1,..., b r ) B i = B, f b è il minimo comune multiplo dei polinomi minimi dei b i su K, che quindi sono tutti separabili, e quindi B i è un estensione separabile di K, cioè vale 4. Dato K sia π = Gal(K sep /K), dove K sep è una chiusura separabile di K, π è detto gruppo di Galois assoluto di K. Costruiamo una mappa F ponendo F (B) = hom K (B, K sep ). Teorema 2.24 F : K SAlg π-sets è un funtore. Dimostrazione. I teoremi 2.21 e 2.23 ci permettono di scrivere B = B i, dove le B i sono delle estensioni separabili di K, e quindi sono contenute in K sep. Essendo K sep un estensione di Galois possiamo scrivere B = i Ksepπi, dove i π i sono dei sottogruppi aperti di π, segue che hom K (B, K sep ) può essere identificato, anche se non canonicamente, con l unione disgiunta dei π/π i, che sono finiti; 10

11 abbiamo mostrato che F (B) è un insieme finito, ed esiste un ovvia azione di π su F (B) e si tratta di un azione continua in quanto F (B) è identificabile con l unione disgiunta di un numero finito di π/π i, con i π i aperti (si veda l esempio 3.2). Il resto è chiaro. Definiamo ora un funtore controvariante G : π-sets K SAlg ponendo G(E) = hom π-sets(e, K sep ), è ovvio che G(E) può essere strutturato a K-algebra. Decomponendo E in orbite si identifica (scegliendo un elemento per ogni orbita e considerando poi lo stabilizzatore di questo elemento, si tratta dunque anche qui di una identificazione non canonica) E con l unione disgiunta di certi π/π i, con π i sottogruppi normali aperti di π (vedi l esempio 3.2), da cui hom π-sets(e, K sep ) può essere identificato con i Ksepπi ed è quindi una K-algebra separabile. Teorema 2.25 La categoria K SAlg o (cioè la categoria opposta a K SAlg) è equivalente alla categoria π-sets. Dimostrazione. Data una K-algebra separabile B definiamo θ B : B G(F (B)) = hom π-sets(hom K (B, K sep ), K sep ) ponendo θ B (b)(g) = g(b). θ B è un isomorfismo per ogni B da cui segue che G F è naturalmente isomorfo al funtore identità di K SAlg. Analogamente si mostra che F G è naturalmente isomorfo al funtore identità di π-sets. Segue immediatamente il seguente Teorema 2.26 La categoria opposta a K SAlg è una categoria galoisiana. 3 Una caratterizzazione delle categorie galoisiane In questa sezione vogliamo mostrare che ad ogni categoria galoisiana C si può associare un gruppo profinito π tale che C sia equivalente a π-sets. Esempio 3.1 Sia C una categoria galoisiana piccola e F il suo funtore fondamentale. Consideriamo il gruppo G = aut(f ) degli automorfismi di F. Per definizione si ha G X S F (X), dove il prodotto è esteso a tutti gli oggetti 2 X di C e con S F (X) si intende il gruppo delle permutazioni di F (X). Vogliamo mostrare che G è un gruppo profinito. Ogni S F (X) è finito, quindi anche profinito, da cui, per il teorema 1.7, X S F (X) è profinito. Vogliamo ora usare il teorema 1.8, dobbiamo quindi dimostrare che G è un sottogruppo chiuso: sia σ X S F (X), per definizione di automorfismo di un funtore σ G se e solo se per ogni Y, Z C e per ogni f : Y Z si ha σ Z F (f) = F (f) σ Y. Quest ultima è una condizione chiusa da cui segue che G è intersezione di chiusi, e dunque un chiuso. Esiste un ovvia azione di G su ogni insieme F (X); si tratta di un azione continua infatti, per ogni x, y F (X) 2 Si noti che qui si usa la condizione che C è piccola. 11

12 l insieme S x = {α G tali che αx = y} è un aperto nella topologia profinita. Riassumendo, abbiamo costruito un gruppo profinito G e un oggetto H(X) di G-sets per ogni oggetto X di C; dato f : X Y poniamo H(f) = F (f), è chiaro che in questo modo H è un funtore da C a G-sets. Si noti che questa costruzione funziona anche se C è una categoria essenzialmente piccola, cioè equivalente ad una categoria piccola. Esempio 3.2 Ci aspettiamo che nel caso C = G-sets H sia il funtore identità. Consideriamo X Ob(G-sets): decomponendolo in orbite ci si rende conto che possiamo considerare X come l unione di certi G/G i, dove i G i sono dei sottogruppi normali, chiusi e di indice finito di G (i sottogruppi non sono altro che gli stabilizzatori) e quindi, per il teorema 1.9, sono dei sottogruppi normali aperti. Segue che un automorfismo σ di F è determinato quando si conosce la sua azione su G/G i, dove G i varia nella famiglia dei sottogruppi normali aperti di G. Inoltre σ deve commutare con tutti gli elementi di G, da cui si deduce che σ, ristretto ad un certo G/G i, non è altro che la moltiplicazione per un certo elemento di G/G i. È chiaro quindi che ogni elemento di G dà luogo ad un automorfismo di F ; viceversa, dato σ aut(f ), si può ricostruire un elemento di G prendendo gli elementi individuati da σ nei G/G i, considerando solo i G i che sono nuclei delle proiezioni canoniche da G = lim G i: si verifica che l elemento così costruito è quello cercato (questo è vero perché i nuclei delle proiezioni sono i più piccoli sottogruppi normali aperti, infatti un sottogruppo aperto deve contenere un intorno di 0 e quindi un nucleo). Vogliamo estendere quanto detto per riv X e K SAlg o ad una qualsiasi categoria galoisiana C. In riv X e K SAlg o esistono degli oggetti privilegiati, i rivestimenti Y X con Y connesso e le K-algebre separabili che sono campi: non è difficile generalizzare questo concetto ad una qualsiasi categoria galoisiana. Da adesso in poi C sarà sempre una categoria galoisiana essenzialmente piccola e tutti gli oggetti, se non specificato altrimenti, saranno in C. Definizione 3.3 X è detto connesso se non è l oggetto iniziale e non possiede sotto-oggetti non banali (si noti che in una categoria galoisiana esiste un oggetto iniziale). Teorema 3.4 Nella categoria riv X gli oggetti connessi sono esattamente i rivestimenti connessi, nella categoria K SAlg o gli oggetti connessi sono esattamente i campi e nella categoria π-sets, con π gruppo profinito, sono esattamente gli insiemi su cui π agisce transitivamente. Dimostrazione. Nella dimostrazione del teorema 2.18, nel punto G3, abbiamo mostrato che in riv X i monomorfismi sono esattamente le applicazioni iniettive, la tesi segue allora dal lemma Il caso di K SAlg o segue dal fatto che ogni algebra separabile B si può scrivere come prodotto di campi (si ricordi che un monomorfismo di K SAlg o è un epimorfismo, con dominio e codominio scambiati, di K SAlg). In π-sets i sotto-oggetti sono esattamente i sottoinsiemi su cui viene indotta un azione di π, cioè le orbite, segue immediatamente la tesi. Lemma 3.5 Sia f : Y X. iniettiva. f è un monomorfismo se e solo se F (f) è Dimostrazione. Per il lemma 2.17 f è un monomorfismo se e solo se p 1 : Y X 12

13 Y Y è un isomorfismo, cioè, per la condizione G6, se e solo se F (p 1 ) è una biezione. La tesi segue ora dal fatto che F commuta col prodotto fibrato. Continuando il parallelo con il caso di riv X e K SAlg o vogliamo mostrare un analogo del fatto che uno spazio topologico è unione disgiunta delle sue componenti connesse e del fatto che ogni K-algebra finita e separabile si può scrivere come prodotto di estensioni finite separabili di K (cioè di sotto-oggetti connessi di K SAlg o ). Teorema 3.6 Ogni oggetto X è somma di un numero finito di sotto-oggetti (componenti) connessi (in [4] questa condizione è espressa affermando che ogni oggetto di C è artiniano). Dimostrazione. Per il lemma 3.5 ogni sotto-oggetto di X dà luogo ad un sottoinsieme di F (X). Sia f : Y X un sotto-oggetto di X e sia g : Y Y un sotto-oggetto di Y : se F (g)(y ) = F (f)(y ) segue, dal lemma 3.5 che F (g) è un isomorfismo, quindi, per G6, anche g lo è. Se un oggetto X non è connesso esiste un sotto-oggetto Y X non banale, quindi, per quanto appena detto, dev essere = F (0) F (Y ) F (X). Per G3, X = Y Z per un certo Z, inoltre, per G5, F (X) = F (Y ) F (Z). Poiché F (Z) la tesi segue per induzione sulla cardinalità di F (X). Lemma 3.7 Siano f, g : X Y, allora esiste l equalizzatore di f e g. commuta con gli equalizzatori e questi ultimi sono dei sotto-oggetti. F Dimostrazione. Per prima cosa costruiamo X Y X usando f e g, indicando con p 1 e p 2 le due proiezioni canoniche. Costruiamo inoltre X X, il prodotto fibrato sull oggetto terminale di C. Osserviamo che il diagramma X Y X p 1 a p 2 X X q 2 X q 1 X 1 è commutativo, per cui esiste a : X Y X X X che fa commutare tutto. Analogamente il diagramma X id X b id X X X q 2 X q 1 X 1 è commutativo, per cui esiste b : X X X che fa commutare tutto. Possiamo 13

14 costruire quindi, usando a e b, X X X (X Y X). X X X (X Y X) q 2 X Y X q 1 X b a X X Vogliamo dimostrare che X X X (X Y X) è l equalizzatore, se come morfismo verso X scegliamo q 1. Mostriamo per prima cosa che si ha f q 1 = g q 1. Osservando i tre diagrammi si vede immediatamente che valgono le seguenti uguaglianze: b q 1 = a q 2, q 1 b q 1 = q 1 a q 2 q 1 = q 1 a q 2, q 2 b q 1 = q 2 a q 2 q 1 = q 2 a q 2, q 1 = p 1 q 2, q 1 = p 2 q 2, f q 1 = f p 1 q 2 = g p 2 q 2 = g q 1, che è quanto volevamo. Dobbiamo ora mostrare l universalità, sia quindi c : Z X tale che f c = g c. Per la proprietà universale di X Y X esiste θ 1 : Z X Y X tale che il diagramma Z c θ 1 c X Y X p 1 X p 2 f X Y g sia commutativo. Ancora per la proprietà universale esiste θ 2 : Z X X tale che il diagramma Z c θ 2 c X X q 1 q 2 X X 1 commuti, poiché questo morfismo dev essere unico si ha θ 2 = a θ 1 (confrontando i diagrammi si vede infatti che quest ultimo morfismo funziona). Per la stessa ragione vale anche θ 2 = b c da cui a θ 1 = b c, in particolare esiste un morfismo 14

15 θ : Z X X X (X Y X) tale che il diagramma Z c θ 1 θ X X X (X Y X) q 2 X Y X q 1 X b X X commuti, quindi q 1 θ = c. Supponiamo ora che θ soddisfi q 1 θ = c. Si ha p 1 q 2 θ = q 1 θ = c e p 2 q 2 θ = q 1 θ = c da cui, per la proprietà universale di X Y X, si ha q 2 θ = θ 1 e quindi, per la proprietà universale di X X X (X Y X), segue θ = θ. Dunque X X X (X Y X) è l equalizzatore. Poiché F commuta col prodotto fibrato è chiaro che F commuta con gli equalizzatori, inoltre, per il lemma 3.5, gli equalizzatori sono dei monomorfismi e quindi dei sotto-oggetti. Lemma 3.8 Sia A un oggetto connesso e sia a F (A). Dato X, la mappa naturale F(A,a) X : hom(a, X) F (X) che manda f in F (f)(a) è iniettiva. Dimostrazione. Siano f, g : A X tali che F (f)(a) = F (g)(a). Per il lemma 3.7 esiste l equalizzatore Z di f e g. Inoltre, sempre per il lemma 3.7, Z è un sotto-oggetto di A, che, per la connessione di A, dev essere A stesso (poiché F commuta con gli equalizzatori e F (Z) per ipotesi, Z non è l oggetto iniziale di C). Sia ora I l insieme delle coppie (A, a), con A connesso e a F (A): diciamo che (A, a) (B, b), con (A, a), (B, b) I, se solo se esiste f hom(a, B) tale che F (f)(a) = b. Sia I l insieme delle classi di isomorfismo di elementi di I (con la ovvia definizione di isomorfismo tra elementi di I ), è chiaro che la relazione passa al quoziente. Lemma 3.9 I, con la relazione, risulta essere un insieme ordinato diretto. Dimostrazione. È chiaro che è una relazione riflessiva e transitiva. Per il lemma 3.8, il morfismo f della definizione di, se esiste, è unico, da cui segue che se (A, a) (B, b) e viceversa, A e B sono isomorfi attraverso un morfismo la cui immagine tramite F manda a in b. Resta da dimostrare che l insieme è diretto. Siano quindi (A, a) e (B, b) in I (prendo due rappresentanti, tutto passa chiaramente al quoziente). Esiste una componente connessa di A B, diciamo C, tale che F (C) contiene la coppia (a, b) (si ricordi che F manda componenti connesse in sottoinsiemi e commuta con la somma). L elemento (C, (a, b)) soddisfa per definizione (C, (a, b)) (A, a) e (C, (a, b)) (B, b). Teorema 3.10 F e lim I hom(a, ) sono naturalmente equivalenti, questa condizione è espressa dicendo che F è prorappresentabile. Dimostrazione. Dati (A, a) (B, b) esiste fb A : hom(b, X) hom(a, X) tale che F(B,b) X = f B A F (A,a) X per ogni X, da cui esiste ϕ X : lim hom(a, X) F (X). I ϕ X è iniettiva, infatti, dati due elementi del limite diretto, posso vederli come 15

16 appartenenti allo stesso hom(c, X) per un qualche C connesso: l iniettività segue allora dal lemma 3.8. ϕ è anche suriettiva, infatti dato x F (X) posso trovare una componente connessa di X, diciamo A, tale che x F (A). L immagine di A X nel limite diretto fornisce la controimmagine cercata. Dato f : X Y viene indotta una famiglia di morfismi g A : hom(a, X) hom(a, Y ) che a sua volta induce un morfismo g tra i limiti diretti, tale che il diagramma commuti, segue la tesi. lim hom(a, X) ϕ X I g F (X) F (f) lim I hom(a, Y ) ϕ Y F (Y ) Dal lemma 3.8 segue che hom(a, A) F (A) per ogni A connesso, quindi aut(a) hom(a, A) F (A) e in particolare aut(a) è un insieme finito. Grazie all assioma G2 possiamo considerare l oggetto A/ aut(a), diamo allora la seguente Definizione 3.11 Sia A connesso, diciamo che A è di Galois se A/ aut(a) è l oggetto finale 1. Lemma 3.12 A è di Galois se e solo se aut(a) agisce transitivamente su F (A); in questo caso l azione è anche libera e hom(a, A) = aut(a). Dimostrazione. Ricordando che F commuta col passaggio al quoziente per un gruppo finito di automorfismi si ha che A è di Galois se e solo se F (A)/ aut(a) è un singoletto, cioè se e solo se l azione è transitiva. Sotto queste ipotesi si deve avere aut(a) F (A) da cui aut(a) = F (A) e quindi l azione è anche libera e hom(a, A) = aut(a). Da questo lemma segue immediatamente che nel caso di K SAlg o gli oggetti di Galois sono proprio le estensioni finite di Galois. Teorema 3.13 Sia X arbitrario, allora esiste (A, a), con A di Galois, tale che F(A,a) X sia biettiva. Dimostrazione. Sia Y = X F (X) e sia A la componente connessa di Y tale che F (A) contiene l elemento a F (X) F (X) che ha nella x-esima coordinata x stesso (è stato usato il fatto che F commuta con le somme finite). Per dimostrare che (A, a) ha la proprietà cercata è sufficiente, per il lemma 3.8, mostrare che F(A,a) X è suriettiva. Se f : A Y è il morfismo canonico e π x sono le proiezioni canoniche di Y si ha (π x f)(a) = x da cui F(A,a) X è suriettiva, inoltre si vede che tutti i morfismi da A a X sono del tipo π x f per qualche x (per il lemma 3.8 i morfismi da A in X non sono più di n = F (X), e ci sono esattamente n morfismi del tipo π x f). Resta solo da dimostrare che A è di Galois, per farlo mostriamo che aut(a) agisce transitivamente su F (A). Sia a F (A), poiché hom(a, X) = F (X), dal lemma 3.8, si deduce che anche la mappa F(A,a X ) è biettiva. Abbiamo mostrato che tutti i morfismi da A a X sono della forma π x f, quindi le coordinate di a devono essere tutti gli elementi di F (X), in un qualche ordine. Per la proprietà universale della somma esiste un automorfismo di Y che scambia i fattori, in particolare esiste σ aut(y ) tale che F (σ)(a) = a. 16

17 σ(a) è una componente connessa di Y tale che a F (σ(a)), ma essendo anche a F (A) si ha che F (A) F (σ(a)) e quindi A = σ(a) (F commuta con le somme, quindi le immagini delle componenti connesse devono essere disgiunte). σ è quindi un automorfismo di A che manda a in a, come richiesto. Lemma 3.14 Sia J = {(A, a) tali che A è Galois }, allora J è cofinale in I. Dimostrazione. Sia (B, b) I. Per il teorema 3.13 esiste A di Galois ed un morfismo f : A B. Per la condizione G3 f è un epimorfismo seguito da un monomorfismo, che deve essere un automorfismo per la connessione di B. Segue che f è un epimorfismo e F (f) : F (A) F (B) è suriettiva. Esiste a A tale che F (f)(a) = b e (A, a) (B, b). Segue immediatamente il seguente Teorema 3.15 F è naturalmente equivalente a lim J hom(a, ). Lemma 3.16 Sia B connesso e sia A del lemma 3.14, allora l azione di aut(a) su hom(a, B) è transitiva. Dimostrazione. Sia f : A B il morfismo del lemma 3.14 e sia f : A B un altro morfismo. Per la suriettività di F (f) esiste a F (A) tale che F (f)(a ) = F (f )(a) ed esiste, poichè A è di Galois, σ aut(a) tale che a = F (σ)(a). Per il lemma 3.8 si conclude che f σ = f in quanto F (f σ)(a) = F (f )(a). Siano ora (A, a) (B, b), con A e B entrambi di Galois, e sia f : A B il corrispondente morfismo. Se σ aut(a) esiste uno e un solo τ aut(b) tale che f σ = τ f: per il lemma 3.8 è necessario e sufficiente che sia F (f σ)(a) = F (τ f)(a) = F (τ)(b), l esistenza e l unicità seguono allora dal lemma Abbiamo quindi costruito una mappa, che è un omomorfismo di gruppi, ϕ A B : aut(a) aut(b), che è suriettiva per il lemma Per quanto appena detto è ben posta la seguente Definizione 3.17 Sia J come sopra, poniamo π = lim aut(a). J Dimostreremo più avanti che in realtà π non è altro che il gruppo G costruito nell esempio 3.1. σ aut(a) agisce su hom(a, X) mandando f in f σ 1. Se (A, a) (B, b) quest azione è compatibile con le mappe ϕ A B appena definite e con le mappe fb A della dimostrazione del teorema 3.10, quindi c è un azione (al solito continua) di π su lim hom(a, X) J = F (X). Un morfismo f : X Y, induce, come nella dimostrazione del teorema 3.10, un morfismo lim hom(a, X) J lim hom(a, Y ) che commuta con tutte le mappe, e quindi è un morfismo in J π-sets. Indicando con H(X) l insieme F (X) visto in π-sets e con H(f) il morfismo indotto abbiamo costruito un funtore H : C π-sets che composto con il funtore dimenticante da π-sets in sets dà F. Lemma 3.18 H manda oggetti connessi di C in oggetti connessi di π-sets. Dimostrazione. Sia B connesso, per il teorema 3.13, possiamo trovare (A, a), con A di Galois, tale che hom(a, B) = F (B), inoltre, per il lemma 3.16, aut(a) agisce transitivamente su hom(a, B). Dato quindi f : A B, e detto G lo stabilizzatore di f si ha F (B) = aut(a)/g. L azione di aut(a) è compatibile con quella di π, abbiamo quindi abbiamo un isomorfismo di π-sets da H(B) a aut(a)/g. Nella costruzione di π tutte le mappe ϕ X Y sono suriettive per 17

18 il lemma 3.16, per gruppi profiniti arbitrari questo non implica che le mappe naturali ϕ X : π aut(x) siano suriettive, tuttavia in questo caso, ripetendo la dimostrazione del teorema 1.4, si trova che tutte le ϕ X sono suriettive e quindi l azione di π su H(B) è pure transitiva. Il teorema 3.4 ci assicura quindi la tesi. Lemma 3.19 Nelle notazioni della dimostrazione del lemma precedente f induce una mappa g : A/G B che è un isomorfismo. Dimostrazione. Dalla definizione di G è chiaro che f passa al quoziente inducendo una mappa g. g è un isomorfismo se e solo se F (g) lo è. F (g) è suriettiva poiché F (f) è suriettiva (F (f) è suriettiva in quanto F (B) è isomorfo all orbita di f in hom(a, B) per la dimostrazione del lemma 3.18). Per dimostrare che F (g) è iniettiva usiamo il fatto che tutti gli insiemi sono finiti e quindi è sufficiente mostrare che F (A/G) = F (B). Si ha F (A/G) = F (A)/G = aut(a)/g poiché, per il lemma 3.16, l azione di aut(a) su F (A) è libera e transitiva. Essendo F (B) = aut(a)/g, ancora per la dimostrazione del lemma 3.18, abbiamo mostrato la tesi. Lemma 3.20 Sia F : D E un funtore covariante tale che: 1. ogni Y Ob(E) è isomorfo a F (X) per qualche X Ob(D); 2. tutte le mappe indotte sui morfismi sono biettive. In queste ipotesi il funtore F è un equivalenza di categorie (un funtore che soddisfa la prima condizione è detto essenzialmente suriettivo, mentre uno che soddisfa la seconda è detto pienamente fedele). Dimostrazione. Definiamo un funtore G : E D nel seguente modo: per ogni Y Ob(E) scegliamo G(Y ) Ob(D) isomorfo a Y, tramite f Y, e per ogni morfismo h : Y Y sia G(h) l unico morfismo che soddisfa F (G(h)) = f Y h f 1 Y. Dalla definizione segue che G è un funtore e che F G è naturalmente equivalente a id E. G F è naturalmente equivalente a id D attraverso i morfismi θ X : G(F (X)) X che soddisfano F (θ X ) = f 1 F (X). Teorema 3.21 H è un equivalenza di categorie. Dimostrazione. Usiamo il lemma Dimostriamo per prima cosa che H è essenzialmente suriettivo. Poiché F rispetta le somme finite, la stessa cosa vale anche per H (si ricordi che la composizione di H con il funtore dimenticante è proprio F ), quindi possiamo limitarci a considerare un oggetto connesso di π-sets, cioè, per il teorema 3.4, gli insiemi E su cui π agisce transitivamente. Poiché E è un insieme finito lo stabilizzatore di un qualsiasi elemento di E è un sottogruppo di π normale e aperto, quindi deve contenere il nucleo di una delle proiezioni naturali da π verso un certo aut(a), con A di Galois (si veda l esempio 3.2). Segue che possiamo trovare G aut(a) tale che E = aut(a)/g. Ci siamo cioè ridotti a dimostrare che ogni aut(a)/g è isomorfo a qualche H(B): facciamo vedere che B = A/G funziona, sia a F (A) fissato. H(A) è isomorfo, in π-sets, ad aut(a) su cui π agisce tramite moltiplicazione a sinistra: infatti la mappa F A : hom(a, A) = aut(a) F (A) è biettiva, quindi possiamo definire ψ : F (A) aut(a) ponendo ψ(f (f)(a)) = f 1. ψ è un π-sets isomorfismo per definizione dell azione di π. Tramite questa identificazione l azione di aut(a) su 18

19 H(A) diventa la moltiplicazione a destra per l inverso e quindi c è un isomorfismo di π-sets tra H(A)/G e aut(a)/g (l insieme quoziente è proprio lo stesso). H commuta col passaggio al quoziente tramite un gruppo finito di automorfismi poiché ciò è vero per F, quindi H (A/G) = H(A)/G = aut(a)/g in π-sets e H è essenzialmente suriettivo. La mappa indotta sui morfismi è iniettiva, infatti se f, g : X Y sono due morfismi tali che F (f) = F (g) segue che l equalizzatore di f e g in F (X) è un isomorfismo per la condizione G6 (H commuta con gli equalizzatori poiché lo stesso è vero per F per il lemma 3.7). Indicato con h l equalizzatore si ha f h = g h da cui, componendo con h 1, f = g. Resta solo da mostrare la suriettività. Se X = X i è la decomposizione in componenti connesse di X, segue hom(x, Y ) = hom(x i, Y ) e poiché F, e quindi H, commuta con le somme finite, vale hom(h(x), H(Y )) = hom(h(x i ), H(Y )), ci siamo quindi ridotti al caso X connesso. Vogliamo ridurci al caso in cui anche Y sia connesso. Se f : X Y, per la condizione G3, possiamo scrivere f = g h, con h : X Z epimorfismo e g : Z Y monomorfismo. Se W Z è un sotto-oggetto di Z non banale, W Z X X è un sotto-oggetto non banale di X (è un sotto-oggetto perché H commuta col prodotto fibrato e per il lemma 3.5, è non banale perché H(W Z X) è chiaramente non banale, essendo X connesso e quindi F (X) non è vuoto). Segue quindi che Z è una componente connessa di Y, se X è connesso. Se la decomposizione di Y in componenti connesse è Y = Y i segue allora, se X è connesso, hom(x, Y ) = hom(x, Y ), inoltre, per il lemma 3.18, hom(h(x), H(Y )) = hom(h(x), H(Y )), quindi possiamo assumere anche Y connesso. Se X e Y sono connessi possiamo trovare, per i lemmi 3.18 e 3.19, (A, a), con A di Galois, tale che X = A/G 1, Y = A/G 2, per alcuni sottogruppi di aut(a), inoltre si ha H(X) = aut(a)/g 1 e H(Y ) = aut(a)/g 2. Poiché tutti gli insiemi di cui stiamo parlando sono finiti e H è iniettivo sui morfismi è sufficiente mostrare che hom(x, Y ) = hom(h(x), H(Y )). Un morfismo aut(a)/g 1 aut(b)/g 2 è necessariamente della forma (per com è definita l azione di π) τg 1 τσg 2 per un certo σg 2 aut(a)/g 2 (basta guardare l immagine dell unità). Non tutti i σg 2 danno però luogo ad una tale azione, affinché la mappa sia ben definita è necessario che sia G 1 σ σg 2, da cui hom(h(x), H(Y )) = {σg 2 aut(a)/g 2 tali che G 1 σ σg 2 }. Sia f hom(x, Y ), e siano h 1, h 2 le proiezioni naturali da A sui quozienti. H(h 2 ) è suriettiva in quanto H commuta col passaggio al quoziente, quindi esiste a F (A) tale che F (h 2 )(a ) = F (f h 1 )(a). Esiste allora σ aut(a) tale che F (σ)(a) = a, segue F (h 2 σ)(a ) = F (f h 1 )(a) e quindi h 2 σ = h 1 f. Questo σ non è univocamente determinato da f, ma h 2 σ = h 2 σ se e solo se σ σ 1 G 2 se e solo se G 2 σ = G σ, quindi il laterale G 2 σ è univocamente determinato da f. σ aut(a) proviene da f se e solo se h 2 σ (per come l abbiamo costruito) fattorizza attraverso A/G 1 cioè se e solo se σg 1 G 2 σ da cui hom(x, Y ) = {G 2 σ tali che σg 1 G 2 σ} e quindi abbiamo la tesi. Sia ora π un gruppo profinito tale che C e π -sets siano equivalenti, tramite un R che composto col funtore dimenticante D dà F. Segue che aut(f ) = aut(d) e aut(d) = π per quanto è stato detto nell esempio 3.2. Applicando quanto abbiamo appena detto al funtore H che abbiamo costruito troviamo che aut(f ) = π e quindi H può essere identificato col funtore dell esempio 3.1. Riassumendo tutto quello che abbiamo fatto fin ora abbiamo il seguente 19

20 Teorema 3.22 Sia C una categoria galoisiana essenzialmente piccola, con funtore fondamentale F. Esiste un gruppo profinito π tale che esista un equivalenza di categorie H : C π-sets che composta con il funtore dimenticante di π-sets dà F. Inoltre si ha π = aut(f ). Teorema 3.23 Sia C una categoria galoisiana con funtore fondamentale F. Se F è un altro funtore fondamentale allora F e F sono naturalmente isomorfi. Dimostrazione. Per quanto abbiamo già dimostrato si ha F = lim hom(a, ) J e F = lim hom(a, ) (con l ovvia definizione di J ). Poiché aut(a) agisce Ji transitivamente su F (A), tutte le coppie (A, a) J, con la prima componente fissata, sono isomorfe, quindi possiamo considerare al posto di J un sottoinsieme J 0 che contiene una sola coppia (A, a) per ogni A di Galois. Si noti che nella definizione di oggetto di Galois non interviene il funtore F, quindi, insiemisticamente, J 0 = J 0 (la definizione di J 0 è ovvia). Se (A, a) e (B, b) appartengono a J 0 ed esiste un morfismo g : A B, esiste un unico β aut(b) tale che F (β)(f (g)(a)) = b, da cui f = β g soddisfa F (f)(a) = b e quindi (A, a) (B, b) in J 0. Avendo usato solo l esistenza di un morfismo g : A B deduciamo che (A, a) (B, b) in J 0 se e solo se gli elementi corrispondenti in J 0 soddisfano (A, a ) (B, b ) (in J 0). Chiaramente il morfismo f e l analogo f non devono necessariamente coincidere, tuttavia per ogni α aut(a) esiste γ aut(b) tale che γ f = f α. L applicazione che manda α in γ è un morfismo tra aut(a) e aut(b), quindi otteniamo un sistema proiettivo di gruppi finiti, aut(a) con A di Galois, se consideriamo l ordinamento indotto da J 0. Per il teorema 1.4 il limite proiettivo è non vuoto, e se lo indichiamo con {α A }, si ha α B f = f α A per ogni A e B di Galois. Viene quindi indotto un isomorfismo da lim hom(a, ) a lim J0 J hom(a, ), da cui F = F. 0 Teorema 3.24 Sia π un gruppo profinito tale che C e π-sets siano equivalenti, allora esiste un isomorfismo, come gruppi profiniti, π = aut(f ). Dimostrazione. Sia H : C π-sets un equivalenza di categorie e sia F = F H. Per il teorema 3.22 si ha π = aut(f ), inoltre, per il teorema 3.23, F = F da cui segue la tesi. Teorema 3.25 Siano C e C due categorie galoisiane con funtori fondamentali F e F. Sia inoltre G : C C un funtore tale che F = F G. Siano H : C π-sets e H : C π -sets le due equivalenze di categorie già costruite. Allora esiste un morfismo continuo di gruppi profiniti a : π π tale che il funtore indotto G : π-sets π -sets rende il seguente diagramma H C π-sets G G C H π-sets commutativo. Dimostrazione. Ogni automorfismo {σ Y } Y Ob(C ) di F induce un automorfismo {σ X } X Ob(C) di F, che soddisfa σ X = σ G(X) per ogni X Ob(C). La mappa indotta aut(f ) aut(f ) è la mappa cercata. 20