Rapresentazione numeri finiti

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1 Rapresentazione numeri finiti Rappresentazione posizionale dato un numero naturale β > 1 (base) e una lista di β simboli ordinati (corrispondenti alla rappresentazione dei primi β naturali), ogni numero naturale `e univocamente rappresentabile come combinazione di questi simboli. Ogni numero naturale N, in base β > 1, si rappresenta come: ove ord(d i) è il valore dell i esimo naturale. Ogni numero naturale N in base β=10 si esprime come: Teorema di rappresentazione dei numeri reali Sia α R, α 0; fisssato un intero β > 1, α si rappresenta in modo unico come: In forma sintetica ogni numero reale α 0 si rappresenta come: Se a 1 0, questa si dice forma normalizzata. Numeri finniti o numeri di macchina A causa della limitata lunghezza della parola di memoria, sono rappresentabili effettivamente su calcolatore: - un intervallo limitato di interi (numeri fixed point o a punto fisso); - un insieme finito di numeri razionali (numeri floating point o a virgola mobile). Numeri fixed point Sia β un intero maggiore di 1 e t+1 il numero di cifre a disposizione per la rappresentazione di un intero. β si usa come base di rappresentazione e t cifre si usano per la rappresentazione del valore assoluto del numero. - N>0: fi(n) si ricava aggiungendo a sinistra del numero tanti zeri fino ad arrivare a t+1 cifre. - N<0: fi(n) si ricava usando la rappresentazione complemento alla base β in t+1 cifre: si prende il valore assoluto di N rappresentato in t +1 cifre e poi si complementa alla base la cifra meno significativa diversa da 0 e a β 1 le altre cifre più significative. Nel caso t < p si verifica un OVERFLOW e sono rappresentabili solo le t cifre meno significative. In base 2, il complemento alla base in t + 1 cifre si ottiene ponendo 1 in corrispondenza della cifra meno significativa diversa da 0 e poi scambiando 1 con 0 e 0 con 1 per le cifre più significative. Un altra regola è di scambiare 0 con 1 e 1 con 0 e poi di aggiungere 1. Per β = 2, la cifra t + 1-esima permette di stabilire il segno di un numero: - 0 numero positivo o nullo. - 1 numero negativo.

2 Numeri floating point L insieme dei numeri reali è SIMULATO su un calcolatore mediante un insieme di numeri finiti F o numeri floating point; tale insieme dipende da quattro parametri: - β: base di rappresentazione; - t: numero di cifre per la rappresentazione della mantissa; - L: valore del più piccolo esponente rappresentabile (127); - U: valore del più grande esponente rappresentabile (-126). Lo standard dell aritmetica binaria floating point è il formato IEEE. Tale aritmetica usa β = 2. Il numero reale α 0 espresso in base 2 nella notazione speciale (normalizzazione IEEE): Si rappresenta: segno S: si rappresenta in un bit il valore di s: 0 se α > 0; 1 se α < 0; esponente p: è un intero che deve essere compreso tra L e U. e = rappresentazione di p = p + bias con p che è trasformato in base 10 e il bias vale (127) 10 mantissa m: vengono rappresentate i t bit più significativi, troncando. Fisicamente poichè il primo bit è sempre 1, vengono rappresentati solo t 1 bit (a 2a 3...a t) Precisione Semplice: Precisione Doppia: Totale bit=32 (4byte) Totale bit=64 (8byte) S = 1bit S = 1bit e = 8bit e = 11bit bias = 127 bias = 1023 m= 23bit m= 52bit L=127 U=-126 L=1023 U=-1022 Operazioni sui numeri finiti Somma e Prodotto con β=2 Algoritmi di conversione di base - Metodo delle divisioni successive: Conversione intero α>0 da base 10 a base β>1. Dopo aver eseguito m + 1 divisioni (fino ad avere quoziente 0), i resti in ordine inverso forniscono la rappresentazione del numero. Sia α il numero da convertire in base β e s la sua conversione: - determinare la più grande potenza β j della base β che non supera il numero α, contando quante volte questa potenza sta in α; se i è il numero di volte, convertire iβ j nella base e sommarla a s; togliere da α il numero iβ j e ripetere fino a che α=0.

3 - Metodo delle moltiplicazioni successive: Conversione di un reale 0<α<1 da base 10 a base β>1. Conversione di un reale α da base 10 a base β>1. 1. Determinare α, ricordando il segno. 2. Determinare [ α ] (parte intera) e eseguire la conversione con l algoritmo delle divisioni successive. 3. Determinare α [ α ] (parte decimale) e eseguire la conversione con l algoritmo delle moltiplicazioni successive. 4. Scrivere il segno, la conversione della parte intera, il punto radice, la conversione della parte frazionaria. Conversione di un reale α da base β>1 a base 10. Si sfrutta la rappresentazione posizionale (p>0): Conversione di un reale α da base β1 a base β2. Si converte da base β1 a base 10 (usando la rappresentazione posizionale) e da base 10 a base β2 (con gli algoritmi delle divisioni e delle moltiplicazioni successive). Valutazione di un polinomio reale in x=α ALGORITMO 1. p 1; s a n ; for i n 1 to 0 step 1 do begin p p α; s p a i + s; end; stampare s; La COMPLESSITA COMPUTAZIONALE dell algoritmo (ossia il numero totale di operazioni aritmetiche che devono essere fatte) è 2n moltiplicazioni e n addizioni. Se riscriviamo il polinomio: ALGORITMO 2. s a 0 ; for i 1 stampare s; to n do s s α + ai ; La COMPLESSITA COMPUTAZIONALE è pari a n moltiplicazioni e n addizioni. L algoritmo prende il nome di SCHEMA di RUFFINI-HORNER. Lo schema di Horner si può riscrivere in modo da tener conto dei risultati intermedi: b 0 a 0; for i 1 to n do b i b i 1 α + ai ; stampare b n ;

4 In questo caso, lo schema di Horner fornisce i coefficienti (b i, i = 0,..., n 1) del polinomio quoziente p n(x)/(x α): bn è una costante che rappresenta il resto della divisione di p n(x) per x α. Infatti, in base al Teorema di Ruffini, il valore di un polinomio in α è uguale al resto della divisione di p n(x) per x α. La regola di Ruffini che calcola i coefficienti del polinomio quoziente e il resto di tale divisione coincide con lo schema di Horner. Aritmetica dei numeri fixed point - Somma Si può avere un overflow intero quando si ha un riporto sulla cifra t + 1-esima. In questo caso la somma di due positivi fornisce un numero che è la rappresentazione di un negativo. - Differenza - N 1 N 2. Allora N 1 N 2 è positivo o nullo. β t+1 +N 1 N 2 ha una cifra 1 nella t+2-esima posizione significativa. Troncare alla t+1-esima cifra equivale a ottenere la rappresentazione corretta del numero positivo o nullo N 1 N 2. - N 1 < N 2. Allora il risultato è il numero negativo (N 2 N 1), di valore assoluto N 2 N 1 Tale numero esprime la rappresentazione complemento alla base in t+1-cifre del risultato. - Prodotto Riconducibile ad addizioni e scorrimenti delle cifre a destra. Poichè il prodotto di interi in t + 1 cifre può produrre un risultato in 2(t + 1) cifre, spesso si incorre in overflow intero. Si usa un accumulatore B di 2(t + 1) cifre, la cui parte più significativa R è inizialmente nulla. - Quoziente Si usano due accumulatori A e B. In A si mette il divisore e nella parte R di B il dividendo. Si riconduce a sottrazioni e scorrimenti. Il primo passo è di eseguire s scorrimenti a destra di R fino a che fi(n 2) R < βfi(n 2). Si eseguono poi s + 1 passi uguali (l ultimo senza scorrimento verso sinistra). Aritmetica dei numeri floating point Siano x, y F(β, t, L, U). Non è detto che il risultato di una operazione tra x e y sia un elemento di F. Può essere un numero maggiore del massimo numero rappresentabile in modulo o avere una mantissa con più di t cifre. Allora ove k = 1 o 1/2 a seconda che la rappresentazione sia per troncamento o per arrotondamento oppure Siano x e y F(β, t, L, U): x = x m β xe y = y m β ye

5 - Somma z = z mβ ze = fl(x ± y). 1. Si confrontano gli esponenti di x e y (x e e y e); se x e > y e, si divide la mantissa di y (y m) per β xe ye ; 2. Si esegue x m±y m/β xe ye e si considerano le prime t cifre più significative (con troncamento o arrotondamento), ponendole in z m. Se il risultato è maggiore o uguale a 1, h = 1 altrimenti si pone in h l opposto del numero degli zeri ottenuti dopo il punto radice: 3. z e = x e + h. Non esiste un solo elemento neutro per la somma. Quando x+y = x con y 0, si verifica un errore di incolonnamento. Quando x y si può avere un errore di cancellazione se i dati sono affetti da errore, che causa la perdita di cifre significative (effetto smearing). - Prodotto 1. Si esegue il prodotto x m y m, troncando o arrotondando il risultato a t cifre; si memorizza in z m e si pone h = 1 se si ottiene uno zero a destra del punto radice, altrimenti h = 0; 2. z e = x e + y e h. Non esiste un solo elemento neutro per il prodotto. - Quoziente 1. Se x m < y m si pone h = 0; altrimenti si divide x m per β e si pone h = 1; 2. Si esegue (x m/β h )/ym e si pongono le t cifre più significative in z m; 3. z e = x e y e + h. Propagazione degli errori Un calcolatore è in grado di rappresentare solo un numero finito di cifre: ne consegue la possibilità che un numero reale venga approssimato e che le operazioni forniscano risultati non esattamente rappresentabili. Allora una successione di operazioni (o algoritmo) eseguita su calcolatore da luogo alla creazione e alla propagazione di errori, detti errori di arrotondamento. Definizione di errore Sia α R e α una sua approssimazione. - ERRORE ASSOLUTO: Ea = E = α α - ERRORE RELATIVO (α 0): Er = ε = Ea / α - ERRORE PERCENTUALE: Ep = (Er 100)% Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo Ordine di accuratezza o-piccolo: La funzione f(x) è detta un o-piccolo della funzione g(x) per x x 0 e denotata con f(x) = o(g(x)) se esiste una funzione k(x) 0 tale che O-grande: La funzione f(x) è detta un O-grande della funzione g(x) per x x 0 e denotata con f(x) = O(g(x)) se esiste una costante C > 0 tale che per x in un intorno di x 0. Cause di errore: Errore di Troncamento: causato dall aver approssimato un procedimento infinito (es: calcolo di una serie) con un procedimento finito.

6 Errore Interente o sui Dati Iniziali: Per calcolarle ε dati totale si deve moltiplicare ogni errore inerente per tutti i fattori di amplificazione a cui è soggetto e sommare poi il tutto. Dati dei dati iniziali perturbati x calcoleremo = ϕ( ) invece di y= ϕ(x) Se ε x = x / x è l errore relativo sui dati iniziali, si tratta si valutare l errore relativo sui risultati (CONDIZIONE DI UN PROBLEMA): Se ε dati >> ε x si ha MAL CONDIZIONAMENTO:piccole perturbazioni sui dati iniziali provocano grosse perturbazione sui risultati finali (PROBLEMA MAL CONDIZIONATO). Errore di Arrotondamento:dati dei dati iniziali NON perturbati, si calcola fl( ϕ (x)) invece che ϕ(x). Analisi di stabilità: un algoritmo è stabile se non è troppo sensibile agli effetti degli errori di arrotondamento. La stabilità dipende dall ordine con cui sono eseguite le operazioni di macchina. Una tecnica per studiare tale errore è quella dell'analisi in Avanti. Errore Algoritmico: Per calcolarle ε alg totale si deve moltiplicare ogni errore algoritmico per tutti i fattori di amplificazione a cui è soggetto e sommare poi il tutto. E' numericamente più stabile l algoritmo per cui l errore algoritmico è più piccolo. Errori assoluti: - Errore assoluto sui dati iniziali: - Errore assoluto algoritmico: - Errore assoluto totale: Errori relativi: - Errore relativo sui dati iniziali: - Errore relativo algoritmico: - Errore relativo totale: (In una analisi del I ordine, ε dati ε alg è trascurato.) Tecniche per l'analisi degli errori: Analisi in Avanti del primo ordine: se a, b F(β, t, L, U), quindi esatti poiché appartengono a F, allora ove u è la precisione di macchina. Si calcola l errore relativo sul risultato finale in termine degli errori introdotti dalle singole operazioni, trascurando i termini in cui compaiono prodotti di errori (ANALISI DEL I ORDINE). - Fattore di Amplificazione: ( ϕ'( x) x ) / ϕ(x) Analisi all'indietro: Si considera il risultato approssimato come risultato esatto di un problema perturbato. Se la perturbazione calcolata è grande, l algoritmo è instabile. Altre tecniche per l'analisi degli errori sono l'uso della doppia precisione, aritmetica dell'intervallo e metodi statistici.

7 Indice Algoritmico (I alg): la somma dei valori assoluti dei fattori di amplificazione dei singoli errori introdotti da ciascuna operazione (errori algoritmici). Indice di Condizionamento (I cond): la somma dei valori assoluti di tutti fattori di amplificazione a sui i singoli errori sui dati iniziali sono sottoposti. Se I cond >>1 il problema è mal condizionato. NB: il fattore di amplificazione dell'ultima operazione eseguita è sempre 1. Norma e Matrici Norma di un Vettore Una norma vettoriale su R n è una funzione. : R n R + U {0}, che associa ad ogni vettore x R n di componenti x i, i =1,..., n, uno scalare. Proprietà Norma di un Vettore Segue che x y x y. In R n si possono definire le seguenti norme: Sfera unitaria rispetto a una norma: S = {x, t.c. x 1} S è un insieme convesso, ossia se x, y S, anche αx+(1 α)y S, per α (0, 1). Infatti αx + (1 α)y α x + (1 α) y 1 Inoltre la norma è una funzione strettamente convessa perchè x + y = x + y x = αy La norma è una funzione uniformemente continua delle sue componenti. Norme Equivalenti: Due norme. + e. si dicono equivalenti se esistono costanti positive A e B tali che per ogni x: In uno spazio di dimensione finita, come Rn che ha dimensione n, tutte le norme sono equivalenti. Successione di vettori convergente: Una successione di vettori {x(k)} R n si dice che converge a un vettore x per k se esiste una norma per cui limk x(k) x = 0.

8 Norma di una matrice Poichè una matrice m n si può pensare come un vettore di m n componenti (ordinando gli elementi della matrice per righe o per colonne), segue che una norma matriciale generalizzata è una funzione. : R m n R + U {0}, tale che: Di conseguenza, una norma matriciale generalizzata è una funzione uniformemente continua delle sue componenti; tutte le norme matriciali generalizzate sono equivalenti; vale che A B A B Una norma matriciale generalizzata è una norma matriciale se vale AB A B ove A e B sono matrici moltiplicabili. Una norma matriciale. M si dice compatibile a una norma vettoriale. V se Ax V x V A M per ogni x R n e A R m n. Non tutte le norme matriciali generalizzate sono consistenti. Raggio Spettrale: Si dice raggio spettrale di una matrice quadrata A di ordine n il massimo dei valori assoluti degli autovalori di A, denotato con ρ(a) = max i=1,n λ i(a). Teorema. Per ogni norma naturale, ρ(a) A N Per ogni ε > 0, esiste una norma naturale per cui A N ρ(a) + ε Sistemi Lineari Sistema lineare di n equazioni in n incognite dove a ij R si dicono coefficienti del sistema, bi R sono i termini noti e xi sono le incognite. In notazione matriciale, chiamando A la matrice reale quadrata degli n n coefficienti, x R n il vettore delle incognite e b R n il vettore dei termini noti (termine noto), si ha Ax = b. <se A non è singolare allora x = A 1 b. Matrice NON Singolare: det(a) 0 oppure esiste A -1 (inversa) Inversa di una Matrice: AA -1 =I (I=matrice identità) Matrice Completa:La matrice [Ab] Matrici Simmetriche: Positive Una matrice A R n n simmetrica (A = A T ) si dice definita positiva se per ogni vettore x, x 0, risulta x T Ax > 0. Allora: gli autovalori di A sono reali positivi. A è NON singolare e A -1 è simmetrica definita positiva. le sottomatrici di A sono simmetriche definite positive. det(a) > 0. max a ij max(a ii). Negative Una matrice A R n n simmetrica (A = A T ) si dice definita negativa se per ogni vettore x, x 0, risulta x T Ax < 0.

9 Matrici a Dominanza Stretta (per righe): Metodi per la risoluzione di sistemi lineari (diretti e iterativi) Metodi diretti con un numero finito di operazioni, in aritmetica esatta, si determina la soluzione esatta; poichè si lavora in aritmetica finita, occorre valutare l errore di arrotondamento delle operazioni e l errore inerente. Fattorizzazione di Gauss [LR, nello specifico LDU] si fattorizza la matrice A nel prodotto di una matrice triangolare inferiore per una triangolare superiore: A = LR. Sia A R n n,la fattorizzazione di Gauss di A esiste se le sottomatrici di A sono NON singolari tale fattorizzazione è unica se A è NON singolare. Gauss è valido per: matrici simmetriche definite positive. matrici strettamente diagonali domananti per righe o per colonne. matrici non singolari diagonali domananti per righe o per colonne. Termine di Pivot: valore della colonna interessata che fa parte della diagonale. Matrice dei Moltiplicatori: L i usata per azzerare gli elementi di [Ab]. Fattorizzazione di Cholesky sia A R n n, una matrice simmetrica definita positiva, si fattorizza nel prodotto di una matrice triangolare inferiore per la tua trasposta: A = LL T. per trovare i valori di L. Inserisco poi questa matrice in Ly=b trovando y, che inserisco in L T x=y per trovare il vettore x (L T è la matrice L simmetrizzata rispetto la diagonale). Pivoting Parziale e Totale sia A R m n, non singolare, una matrice nn fattorizzabile nella forma LR. Allora combina la fattorizzazione LR con le Matrici di Permutazione: PA = LR. Metodo è applicabile a tutte le matrici. Matrice di Permutazione: matrice ottenuta dall'identità scambiando due righe i e j o due colonne i e j. Con Pivoting Parziale si scambiano le righe (elemento perno: max modulo sulla colonna considerata), con Pivoting Totale si scambiano righe e colonne (elemento perno: max modulo della sottomatrice A k al k-esimo passo).

10 Calcolo di L e P Fattorizzazione QR si fattorizza la matrice A nel prodotto di una matrice ortogonale (per cui Q 1 = Q T ) con una matrice triangolare superiore: A = QR. Matrice elementare di Givens: matrice di rotazione elementare G ij di ordine n che coincide con lidentità di ordine n eccetto nelle posizioni ij, ji, ii, jj, ove stanno due valori c, s dipendenti da un solo parametro φ. Moltiplichiamo la A per G i j, con i e j indicanti l'elemento di A che si vuole annullare perchè diventi una matrice diagonale superidore R, ponendo -s alle cordinate i e j, s simmetricamente alla diagonale e c negli angoli rimanenti del quadrato formato da s e -s. Ripetere fino a quando nn si ricava R. Q è uguale al prodotto di tutte le G T. Metodi iterativi la soluzione si ottiene come limite di una successione di approssimazioni alla soluzione. A partire da una approssimazione iniziale x 0, si costruisce una successione di approssimazioni {x k } convergenti alla soluzione esatta x*=a -1 b, per k che tende all infinito. Poichè il processo deve essere interrotto, occorre analizzare l errore di troncamento. Si applicano quando la matrice A è sparsa e di grandi dimensioni. Procedimento Iterativo: G=matrice di iterazione Errore di troncamento al passo k: Condizione necessaria e sufficiente perchè {x k } x* per k per ogni x 0 è che {e k } 0 per k per ogni e 0. Iacobi (metodo degli spostamenti simultanei) A=D-L-U D = matrice diagonale di A L = matrice strettamente triangolare inferiore di A con segni cambiati U = matrice strettamente triangolare superiore di A con segni cambiati matrice di iterazione J=D 1 (L + U) = I D 1 A con cui si studia la convergenza. matrice di iterazione parametrica J(ω) = I ωd 1 A

11 Gauss-Seidel (metodo degli spostamenti successivi) matrice di iterazione G = (D L) 1 U = I (D L) 1 A con cui si studia la convergenza. SOR (metodo iterativo parametrico di Gauss Seidel) ω = parametro di rilassamento matrice di iterazione parametrica G(ω) = (D ωl) 1 ((1 ω)d + ωu) Se ω = 1 vale ρ(j) 2 = ρ(g). I metodi di Iacobi e SOR convergono e divergono entrambi. Se ρ(j) < 1, allora il valore di ω ottimale è Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un metodo iterativo sia convergente è che ρ(g)<1 (massimo modulo degli autovalori di G). Teorema. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo è che G <1. Teorema. Condizioni necessarie per la convergenza di un metodo iterativo sono det(g) < 1 e traccia(g) < n. Teorema. Gli autovalori di una matrice G sono sempre minori di qualsiasi norma. Teorema. Se A è una matrice quadrata di ordine n strettamente diagonale dominante per righe o per colonne o irriducibilmente diagonale dominante per righe o per colonne, allora - Iacobi converge; - Gauss-Seidel converge e G J Teorema di Stein Rosemberg. Se J 0, allora si può verificare uno solo dei seguenti casi: 0 < ρ(g) < ρ(j) < 1 Convergenza 0 = ρ(g) = ρ(j) Non mi muovo dall'itezazione iniziale 1 = ρ(g) = ρ(j) Non posso dire nulla 1 < ρ(j) < ρ(g) Divergenza Teorema. Sia A quadrata di ordine n simmetrica con a i i > 0. Allora A è definita positiva se e solo se il metodo di Gauss Seidel è convergente. Teorema. Sia A quadrata di ordine n simmetrica e sia 2D A definita positiva. Allora A è definita positiva se e solo se il metodo di Iacobi è convergente. Teorema di Kahan. ρ(g(ω)) > ω 1. Teorema di Ostroski-Reich. Sia A simmetrica con a i i > 0 e sia 0 < ω < 2. Allora A è definita positiva se e solo se il metodo SOR converge. Velocità di Convergenza: 1/R (G) = numero di passi per ridurre l errore iniziale di e -1. Algoritmi di sostituzione all'indietro e di eliminazione in avanti Algoritmo di sostituzione all indietro: per la risoluzione di un sistema triangolare superiore (Rx=b). Si ricava x n dall ultima equazione, si sostituisce nella penultima e si ricava x n 1 e così via. Algoritmo di eliminazione in avanti: per i sistemi triangolari inferiori (Lx=b). Si ricava x 1 dalla prima equazione, si sostituisce nella seconda e si ricava x 2 e così via. Entrambi gli algoritmi sono metodi diretti, che, in un numero finito di passi, in aritmetica esatta, calcolano la soluzione esatta del sistema. Quando si usa aritmetica finita, invece si determina una soluzione approssimata che può essere interpretata come soluzione esatta di un sistema perturbato.

12 Metodo di Gauss Jordan per il calcolo dell'inversa di una Matrice trovare l inversa della matrice A, risolvendo il sistema AX = I tramite l'uso di matrici di permutazione e di Gauss-Jordan. Creo la Matrice [A I] che verrà permutata moltiplicandola con P (matrice identità modificata) per spostare l'elemento perno della colonna considerata di A sulla diagonale. Dopo permutazione moltiplico per la matrice M per azzerare i termini al di fuori della diagonale di A (partendo dalla prima colonna). Si ripete la permutazione finchè tutti gli elementi perno di A sono sulla diagonale. Si ripete la moltiplicazione per M finchè tutti gli elementi di A non sulla diagonale saranno nulli. A questo punto I è diventata A -1. Interpolazione Assegnati n + 1 punti di osservazione distinti x0, x1,..., xn entro [a, b] chiuso e limitato e n+1 osservazioni y0, y1,..., yn, si vuole determinare il polinomio di grado al più n tale che (condizioni di interpolazione): p n(x i) = y i i = 0,..., n dove p n(x) = a0 + a 1x + a 2x a nx n (rappresentazione di un polinomio nella base delle potenze di x: forma canonica di un polinomio). Nel linguaggio della Geometria Analitica si vuole determinare la curva algebrica di equazione y = p n(x) che passa per gli n + 1 punti distinti del piano cartesiano (x i, y i), i = 0,..., n. Polinomio di Lagrange Teorema. Assegnati n + 1 numeri distinti x 0,..., x n [a, b], chiuso e limitato e n + 1 valori y 0,...y n, esiste uno e un solo polinomio di grado al più n tale che p n(x i) = y i, i = 0,..., n. Esso si può esprimere come polinomio di Lagrange e vale che L 0(x)+L 1(x)+...+L n(x) = 1. Polinomio di Newton p n(x) si dice polinomio di Newton ed è il polinomio di interpolazione di grado al più n di f(x) in x 0... x n. Differenza divisa di ordine 0 di f(x) Differenza divisa di ordine 1 di f(x) Differenza divisa di ordine 2 di f(x)

13 Differenza divisa di ordine m di f(x) Polinomio di Hermite L'Interpolazione di Birkoff Hermite è una generalizzazione dei polinomi di Taylor e di Lagrange (o Newton). Si impongono condizioni sui valori che deve assumere un polinomio in punti prefissati e condizioni sui valori delle derivate. E' essenziale che se si impone il valore di una derivata del polinomio in un punto siano assegnati anche i valori di tutte le derivate di ordine inferiore in quel punto e il valore della funzione in quel punto. Solo se vale tale condizione l interpolazione di Birkoff Hermite ha una e una sola soluzione. Matrice di interpolazione Data f(x) [a, b] e data la successione dei polinomi di interpolazione {pn(x)} costruiti a n partire da x i vale Teorema di Faber. Per ogni matrice di interpolazione esiste una funzione C 0 [a, b] per cui {p n(x)} non converge uniformemente a f(x). Teorema di Bernstein. Sia f C 0 [a, b]. Se {p n(x)} è la successione di polinomi di interpolazione a partire dagli zeri di una successione di polinomi di Chebyshev, allora f p n 0 ossia {pn(x)} converge uniformemente a f(x). Teorema di Hermite-Féjèr. Sia f C 0 [a, b]. Se {p n(x)} è la successione dei polinomi di Hermite costruiti su nodi di Chebyshev e tali che p 2n+1(x i) = f(x i), p' 2n+1 = 0, i = 0, 1,..., n, {p n(x)} f(x) uniformemente per n.