Appunti di teoria delle votazioni

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1 Appunti di teoria delle votazioni Le scelte pubbliche: gli obiettivi secondo la teoria delle votazioni Le regole delle scelte collettive nelle società democratiche La regola dell unanimità La regola della maggioranza Proprietà e ambiguità della maggioranza 1

2 Teoria delle scelte sociali si occupa dello studio formale delle relazioni fra le preferenze degli individui e la scelta collettiva (Sen) Per la determinazione degli obiettivi è corpo fondamentale della politica economica Presupposti d analisi economica: I) il soggetto è egoista, razionale e massimizzante II) usa gli strumenti analitici dell economia Le parti della teoria delle scelte sociali: le decisioni di comitato i giudizi sul benessere sociale la misurazione di fenomeni sociali (esempio: povertà) Questo è il nostro oggetto di studio 2

3 Teoria delle scelte sociali Teoria delle votazioni Si studiano le diverse procedure di voto (unanimità, maggioranza, ecc.) degli organi collegiali (comitati) da cui scaturiscono gli obiettivi nelle società democratiche Teoria assiomatica delle scelte sociali Si studiano tutte le regole concepibili per vedere se esse soddisfano caratteristiche assiomatiche desiderabili 3

4 Tipo di delibera Esito sociale (es. Brian Berry) Uno scompartimento di un treno, 5 viaggiatori Delibera a una dimensione: decidere se lo scompartimento è fumatori o non fumatori: unanimità => nessuna soluzione => TIRANNIA DELLO STATUS QUO maggioranza => una soluzione 3 vs 2 => TIRANNIA DELLA MAGGIORANZA Delibera a due dimensioni: bisogna decidere sullo scompartimento, ma il treno non parte se una soluzione non è raggiunta: unanimità => una soluzione è possibile(*) => TIRANNIA DELLA MINORANZA (*) se alcuni sono molti interessati alla partenza maggioranza => come sopra Delibera a due dimensioni complessa: il treno non parte se non si è deciso sulla struttura fumatori non fumatori del treno unanimità => una soluzione => SOLUZIONE DI COMPROMESSO maggioranza => una soluzione => TIRANNIA DELLA MAGGIORANZA 4

5 Livello delle scelte sociali Scelte pubbliche Individui Contrattazione volontaria delle scelta sociali (regole & istituzioni) Altri sistemi Sistema di mercato Scelte costituzionali Scelte sociali Scelte individuali Il sistema di mercato è un sistema a scelte egoistiche decentrate coordinate dal sistema informativo dei prezzi 5

6 Teoria delle votazioni (o dei comitati) Comitato: un gruppo di persone che perviene a una decisione, fra più alternative, raggiunta tramite il voto P i i = 1,2,..,N P del comitato P i preferenze dell individui i.mo d i scheda di voto D = [d 1, d 2,.., d N ], urna Seguiremo due ipotesi: i) informazione completa; ii) votazione sincera (la possibilità di un voto non sincero, voto strategico, verrà indicata di volta in volta) Le tre regole di comitato: il peso dei voti: in numero di voti assegnati a ogni P i le procedure di voto: confronti fra item; ordine del giorno; presidente le modalità per determinare P: la selezione della mozione vincente 6

7 Le procedure di voto Il caso di due item x vs y Preferenze individuali: d i = +1 (se x P i y); 1 (se y P i x); 0 (se x I i y) regola di voto, urna: D = (d 1, d 2, d 3,, d N ) modalità di selezione (regola di aggregazione): d = f(d), d = +1, -1, 0 f: D N d 1 7

8 Processo logico di aggregazione delle preferenze Comitato: Alef & Bet Alef Bet Preferenza di comitato Un urna Universo delle urne f: -1 8

9 Le procedure di voto Il caso di più (tre) item x, y, z votazione multipla: tutte le alternative vengono votate simultaneamente pesando in maniera diversa x, y, z votazione binaria: le alternative vengono votate a coppie, cioè x vs y, y vs z, x vs z 9

10 Votazione multipla Procedura del solo item preferito: regola di voto: ogni votante può indicare sulla scheda solamente il nome dell item preferito modalità di selezione: risulta vincente l item che è stato indicato dal maggior numero di elettori NB: può essere selezionato l item meno preferito dalla maggioranza Procedura di Borda: regola di voto: ogni votante può assegnare sulla scheda un voto alle diverse alternative, secondo una scala di valori prefissata modalità di selezione: risulta vincente l item che ha ottenuto il punteggio maggiore NB: l item selezionato dipende dalla scala prefissata 10

11 Esempio votazione multipla N=21 N. votanti preferenze I x x y z II y z z y III z y x x 11

12 Procedura dell item preferito x riceve 8 voti y riceve 7 voti z riceve 6 voti Quindi l item preferito dal comitato è x NB: Tuttavia, per 13 individui su 21 (la maggioranza) x è la mozione peggiore 12

13 Regola di Borda I = 2 punti II = 1 punto III = 0 punti I = 4 punti II = 1 punto III = 0 punti x: 2x3 + 2x5 + 0x7 + 0x6 = 16 y: 1x3 + 0x5 + 2x7 + 1x6 = 21 z: 0x3 + 1x5 + 1x7 + 2x6 = 24 x: 4x3 + 4x5 + 0x7 + 0x6 = 32 y: 1x3 + 0x5 + 4x7 + 1x6 = 37 z: 0x3 + 1x5 + 1x7 + 4x6 = 36 NB: l esito della votazione dipende dalla scala soggettiva di punteggio 13

14 Votazione binaria (criterio di Condorcet) Procedura completa (o di tâtonnement): regola di voto: si confrontano tutte le coppie possibili di item, votando secondo la votazione binaria modalità di selezione: risulta vincente l item che ha vinto tutti i confronti; risulta secondo l item che ha vinti tutti i rimanenti confronti, ecc. NB: l ordine del giorno risulta molto numeroso Procedura ordinaria: regola di voto: si confrontano le coppie di item, votando secondo la votazione binaria in un processo a eliminazione successiva modalità di selezione: risulta vincente l item che è preferito nell ultimo confronto NB: la più seguita, quella che studieremo 14

15 Le regole di voto (binarie): Unanimità In senso forte: d = f(d) = 1 sse d 1 = d 2 = = d N = 1 In senso debole: d = f(d) = + 1 se d i 0, ma non tutti nulli d = f(d) = 1 se d i 0, ma non tutti nulli Maggioranza Semplice: d =f(d) = +1, -1, 0 secondo il segno della d i Assoluta: d =f(d) = +1, -1, 0 se votano a favore il 50% + 1 degli elettori Molte altre regole Es: d = f(d) = +1 (tirannia della alternativa) d = f(d) = d i (tirannia della persona) 15

16 La regola dell unanimità Analisi normativa della regola: La sola regola che garantisce la libertà individuale (Wicksell) La regola che costituisce l analogo politico della libertà di scambio dei beni sul mercato (Buchanan) La sola regola che può imporre la volantà comune (Kant) La regola dell unanimità è la procedura di voto ideale, il punto di partenza da cui studiare ogni altra procedura Analisi positiva della regola: procedura ordinaria procedura di tâtonnement 16

17 Esempio: i = A, B Quote T i per acquistare G (bene pubblico) T i = G Procedura ordinaria: Presidente => OdG: M k (T i, G) M k+1 > M k se tutti sono favorevoli ( U i (k+1) > U i (k) i = 1,2) Almeno uno favorevole e l altro non contrario ( U i (k+1) > U i (k), U j (k+1) U j (k) per i j) M(0,0) => M 1 => M 2 => M 3 * Per costruzione la mozione finale è nel core 17

18 La manipolazione della procedura ordinaria dell unanimità U B spostamenti A (,+) (+, +) B E (, ) (+, ) E non possibili U A Path dependence: La soluzione finale dipende dalla successione dell OdG, deciso dal presidente COROLLARIO: manipolazione strategia del voto (voto insincero) La procedura di voto ordinaria dell unanimità è manipolabile, nel senso che c è almeno un votante che può trarre vantaggio dalla falsa comunicazione delle sue preferenze. 18

19 La procedura completa dell unanimità: Presidente/banditore; non vi è un OdG, ma la comunicazione dell intero spettro delle soluzioni (T i, G) Per A: max U A (T A, G) => G(T A ) con dg/dt A < 0 Per B: max U B (T B, G) => G(T B ) con dg/dt B < 0 & dg/dt A > 0 G A L B Equilibrio di Lindhal La mozione L è unica, è nel core, ma non dipende dal sentiero, è garantita da un accordo e non da un veto T A 19

20 Concludendo sull unanimità Il ruolo del presidente: un pari con grandi poteri, nel scegliere la procedura (ordinaria o completa), nel scegliere l OdG (la procedura non è neutrale rispetto alla delibera, l obiettivo) L unanimità risolve i problemi del core (efficienza), ma non consente di risolvere problemi puramente distributivi Tirannia dello status quo: (M ) vs (M 1 o M 2 ) A: M 1 > M 2 > M B: M 1 = M 2 > M C: M 2 > M 1 > M Lo status quo, la soluzione peggiore, non può essere cambiata con il voto sincero 20

21 La regola della maggioranza Analisi normativa della regola: L'efficienza della politica economica i tempi della politica economica il teorema di May la minimizzazione dei casi di dissenso I costi della delibera (Buchanan-Tullock) Analisi positiva della regola: teorema dell elettore mediano procedura completa procedura ordinaria 21

22 I tempi della politica economica fenomeno percezione intervento ritardo esterno ritardo interno Tanto più la regola è unanime tanto più si dilata il ritardo interno della politica Si! No! 22

23 Teoria della maggioranza ottima (Buchanan-Tullock) Costi esterni: sono i costi di coercizione per coloro che subiscono una delibera Costi interni: sono i costi dovuti al tempo per assicurare l accordo costi Ci Q* Ogni delibera ha la sua maggioranza ottima! Ce 1 quorum Regola empirica: 50% + 1, la maggioranza 23

24 Teorema di May Proprietà assiomatiche della delibera (enunciato; significato politico): 1) Dominio universale: la f(.) deve avere come dominio tutte le possibili combinazioni di preferenze individuali; il comitato deve esprimersi per ogni urna possibile 2) Anonimato: una permutazione delle schede nell urna non deve modificare la decisione del comitato; tutti gli individui sono trattati allo stesso modo dalla regola di scelta 3) Neutralità: invertendo il verso di tutte le preferenze (moltiplicando per -1 il valore di ogni scheda) anche il comitato deve invertire la scelta; ogni delibera è trattata allo stesso modo dalla regola di scelta 4) Principio della corrispondenza positiva: se un individuo aumenta la propria preferenza per una mozione piuttosto che un altra anche la società deve confermare questa preferenza; la delibera di comitato deve reagire positivamente ai cambiamenti di preferenze individuali (o almeno non negativamente) 24

25 Teorema di May: Se una regola di scelta sociale f(.) soddisfa gli assiomi 1, 2, 3, 4, allora la regola di scelta è una regola di voto a maggioranza semplice Verifica: dominio delle preferenze di Alef & Bet (universo delle urne, A) A = (Alef, Bet) (+1 +1) (+1 0) (+1-1) (0 +1) (0 0) (0-1) (-1 +1) (-1 0) (-1-1) usando la regola di maggioranza: f(a) => ha sempre una soluzione d = (+1, 0, -1) per qualsiasi urna (cfr. 1) f(a) = f(a p ), dove A p indica una permutazione delle schede dell urna (cfr. 2) f(-a) = -f(a), cambiando il segno delle schede nell urna, si cambia il segno di d (cfr. 3) Se Alef migliora la sua valutazione di x, la società non la peggiora (cfr. 4), esempio se (-1 +1) => (+1 +1) allora d = 0 => d = +1; se (0 0) => (+1 0) allora d = 0 => d = +1 ecc. 25

26 Minimizzazione dei casi di dissenso Alef in un comitato di 3 individui: Alef, B, C che votano per fare passare una mozione rispetto allo status quo (escludiamo il voto di indifferenza) La probabilità dello status futuro di Alef è ½ Unanimità: se A voterà +1 non otterrà questo risultato di comitato se l urna conterrà un voto -1 di B o di C oppure di B & C (tre casi di dissenso) se A voterà -1 nessun caso di discordia è possibile (principio di volontarietà, nessun caso di dissenso) E u (Dis) = ½ 3 + ½ 0 = 3/2 Maggioranza: se A voterà +1 la mozione passerà solo se troverà almeno un alleato, quindi subirà la delibera se B & C votano entrambi -1 (un caso di dissenso) se A voterà -1 la mozione verrà respinta solo se B & C non voteranno entrambi +1 (un caso di dissenso) E m (Dis) = ½ 1 + ½ 1 = 1 26

27 Teorema dell elettore mediano se le preferenze individuali sono ad un solo massimo se ogni individuo vota per l alternativa meno lontana dalla preferita allora la regola della maggioranza produce sempre un risultato e il risultato corrisponde alle preferenze dell elettore mediano Esempio: un comitato di 13 persone: 6 con preferenze monotoniche decrescenti ( -modali) (imprese) 7 con preferenze quadratiche (uni-modali) (famiglie) Elettore mediano t = 0 t 1 Significato politico: nei sistemi democratici le posizioni di centro dello schieramento politico svolgono un ruolo importante t 27

28 Esempio di votazione: Mozione Voti a favore(*) Voti contrari Voti indifferenti Esito del voto t 1 * vs t= t 1 * t 2 * vs t 1 * t 1 * t 3 * vs t 1 * t 1 * t 4 * vs t 1 * t 1 * t 5 * vs t 1 * t 1 * t 6 * vs t 1 * t 1 * t 7 * vs t 1 * t 1 * (*) Si intendono voti a favore dell item che si contrappone allo status quo raggiunto 28

29 Maggioranza: procedura completa La delibera di comitato è l esito di tutti i confronti a coppie degli item oggetto di delibera CONTROESEMPIO: la regola di maggioranza non consente di escludere casi come questo. Comitato di A, B, C con tre item x, y, z A: x > y > z B: y > z > x C: z > x > y OdG: x vs y => x è preferito a y per i voti di A & C, B contrario y vs z => y è preferito a z per i voti di A & B, C contrario z vs x => z è preferito a x per i voti di B &C, A contrario Esito: 1) le preferenze di comitato non sono transitive (esito incoerente) 2) teorema della ciclicità: non esiste un item vincitore (esito inconcludente) 29

30 Maggioranza: procedura ordinaria La delibera di comitato è l esito di confronti a coppie per esclusione degli item oggetto di delibera CONTROESEMPIO: la regola di maggioranza non consente di escludere casi come questo. Comitato di A, B, C con tre item x, y, z A: x > y > z B: y > z > x C: z > x > y OdG 1 : x vs y => x è preferito a y, quindi y è eliminato x vs z => z è preferito a x, z è l item vincitore OdG 2 : x vs z => z è preferito a x, quindi x è eliminato z vs y => y è l item vincitore ecc. C presidente B presidente Esito: 1) si individua sempre un item vincente 2) il vincitore dipende dall OdG (manipolazione dell esito sociale) 30

31 Quando si verifica il controesempio: teoremi di Black Primo teorema: se N = 2n +1, e le preferenze individuali sono single peaked, allora la delibera a maggioranza esprime una preferenza transitiva (ordinamento ) Secondo teorema: se N = 2n, e le preferenze individuali sono single peaked, allora la delibera a maggioranza esprime una preferenza quasitransitiva (ordinamento >) Preferenze a un picco Preferenze a due picchi Pref. A B C Item x y z x y z 31

32 Il potere dei membri dei comitati (non presidenti): il voto strategico Ad esempio: A: x > y > z B: y > z > x C: z > x > y Sapendo che se il presidente definisce l OdG 1 vince z: Alef può votare strategicamente (voto insincero) per y piuttosto che per x, ottenendo che: x vs y => y e y vs z => y ottenendo un esito non per lui ottimo, ma per lui migliore 32

33 Procedura manipolabile: una regola di voto che, per qualche insieme di ordinamenti individuali di preferenze, offre ad almeno un membro di comitato il vantaggio a non esprimere sinceramente le proprie preferenze Procedura dittatoriale: una procedura di voto che per ogni profilo di ordinamenti possibili produce una decisione di comitato che coincide con quella di un dato individuo, indipendentemente dalle scelte degli altri Teorema di Gibbard-Satterthwaite: quando si tratta di scegliere fra tre alternative, non esiste alcuna procedura di voto non dittatoriale che sia resistente alla manipolazione delle preferenze da parte dei votanti Significato politico: una regola di voto potrà evitare arbitrarietà, indecidibilità o disuguaglianza di potere, ma non può sfuggire a tutti questi requisiti indesiderabili 33

34 Le gestione (difficile) della coalizione di maggioranza Esempio: la valle dei rifiuti, N = 3 con A, B, C A, B C U A = U B = ½, U C = 2 A, C B U A = 0, U c = 1, U B = 2 B, C A U C = 0, U B = 1, U A = 2 Ecc. ==> ciclicità delle maggioranza 34