I metodi Electre. La scelta fra le alternative: i metodi Electre. Perché introdurre l incompletezza? I metodi Electre: elementi comuni

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1 I metodi Electre La scelta fra le alternative: i metodi Electre Electre = ELimination Et Choix Traduisant la REalité scopo: mettere a punto un metodo decisionale il più aderente possibile alla realtà rifiutano a priori il rigore assiomatico sono tollerate contraddizioni matematiche seguono concretamente il processo decisionale assecondano l irrazionalità del decisore dipendenza dalle alternative irrilevanti inconsistenza dei confronti a coppie incompletezza (= incomparabilità tra alternative) Perché introdurre l incompletezza? I metodi Electre: elementi comuni in teoria: assioma di completezza il decisore, posto di fronte a due alternative A e B, deve essere sempre in grado di esprimere la sua preferenza o indifferenza non è tollerata l incertezza nella realtà: i sensi umani hanno capacità di discriminazione finita e operano per classi la compensazione tra due alternative con opportuni pesi non sempre è possibile la percezione della differenza di prestazione è soggettiva incompletezza ammettono inconsistenza (caduta dell assioma di transitività) e incomparabilità (caduta dell assioma di completezza) analisi di concordanza valutazione dei fattori (criteri) che non si oppongono al fatto che un alternativa sia meglio di un altra analisi di discordanza misura del rammarico nello scegliere un alternativa piuttosto che un altra attribuzione di pesi ai criteri secondo le preferenze verifica dell esistenza di relazioni di surclassamento tra coppie di alternative (sulla base di soglie di concordanza e discordanza) creazione di un delle alternative ed eventuale rappresentazione per mezzo di un grafo dei surclassamenti Il punto di partenza Electre I matrice delle prestazioni A A A x u x (A ) u x (A ) u x (A ) x u x (A ) u x (A ) u x (A ) x u x (A ) u x (A ) u x (A ) x u x (A ) u x (A ) u x (A ) w w w w vettore dei pesi

2 Concordanza coefficiente di concordanza: c ij = Σ k I + ij U I= ij Σ w k k w k insieme dei criteri I + ij = per i quali l alternativa i è preferita all alternativa j insieme dei criteri I = ij = per i quali l alternativa i è equivalente all alternativa j tiene conto dell insieme dei criteri che non si oppongono al fatto che l alternativa i sia meglio dell alternativa j esprime il grado con cui si concorda sul fatto che i è migliore di j rappresenta la soddisfazione che prova il decisore scegliendo i anziché j Concordanza I + A A A x >.. x. >. x. <. x. <. Σ w k =.+. =. k I + U I= Σ w k = k.... c =. Matrice di concordanza Discordanza A A A A -.. A. -. A.. - c ij [,] c ij + c ji = I = ij = Ø coefficiente di discordanza: d ij = max w k u xk (A j ) - u xk (A i ) k I - ij max wk u (A xk j) - u (A xk i) k I I - ij = insieme dei criteri per i quali l alternativa j è preferita all alternativa i tiene conto delle differenze di prestazione tra l alternativa i e l alternativa j quantifica il grado con cui alternativa i è peggiore della j rappresenta il rammarico che prova il decisore scegliendo i anziché j Discordanza Matrice di discordanza A A A I - x >.. x. >. x. <. x. <..... A A A A -.. A - A. - max w k u xk (A ) - u xk (A ) = w u x (A ) u x (A ) =. -. =. k I - max w k u xk (A ) - u xk (A ) = w u x (A ) u x (A ) =..- =. k I d =. d ij [,]

3 Soglie di concordanza e discordanza Determinazione delle soglie soglia di concordanza S c ( < S c < ) se c ij S c i criteri per cui i è preferibile a j (area di non conflitto) sono sufficientemente importanti se c ij <S c i non surclassa j perché il conflitto è troppo alto (area di non conflitto troppo piccola) soglia di discordanza S d ( < S d < ) se d ij >S d i non surclassa j perché la differenza di prestazione tra i e j (area di conflitto) giustifica un veto alla scelta di i rispetto a j se d ij S d i criteri discordanti non sono abbastanza importanti da porre un veto sulla scelta di i rispetto a j la determinazione delle soglie rappresenta una fase critica del metodo Electre I spesso si assumono come soglie i valori medi degli indici di concordanza e di discordanza: n n S c = n(n-) i= j= j i Σ Σ c ij n n S d = n(n-) i= j= j i Σ Σ d ij La relazione di surclassamento La relazione di surclassamento i surclassa j se e solo se (c ij S c ) e (d ij S d ) A A A A A A A -.. A -.. A. -. A - A.. - A. - S c =. A A A S d =. A - A - la matrice di surclassamento può essere rappresentata sotto forma di grafo orientato A A A A - A - A - nodi: alternative archi: relazioni di surclassamento A - La ricerca del nucleo Electre I: problematiche nucleo: insieme delle alternative tra loro non comparabili (ovvero non da nessun altra alternativa) identificato a partire dal grafo orientato eliminando le alternative tutte le alternative che appartengono al nucleo sono tra loro non comparabili, mentre quelle che non appartengono al nucleo sono da almeno una alternativa del nucleo le alternative del nucleo rappresentano quelle tra cui il decisore dovrà effettuare una scelta di tipo politico non genera un tranne che per grafi completi (nessun nodo isolato) e transitivi (per i quali vale la relazione di transitività tra i nodi) elimina solo alcune alternative la scelta delle soglie è un fattore critico è soggettiva l uso delle medie dei coefficienti di concordanza/discordanza come soglie manca di un preciso significato pratico influenza l

4 Grafo forte e grafo debole Electre II si introducono due coppie di soglie: debole e forte < S c D <S c F <, < S d F <S d D < si generano due grafi di surclassamento: uno forte, più rigido e restrittivo e quindi più povero di surclassamenti, e con molte incomparabilità uno debole, meno restrittivo e quindi più ricco di surclassamenti e con poche incomparabilità discendente: nel grafo debole discendente: nel grafo debole discendente : nel grafo debole discendente : nel grafo debole {,} Ι

5 discendente : nel grafo debole discendente : nel grafo debole {} ΙΙ Ordinamento medio si ripete poi la procedura per generare un ascendente (in modo analogo ma invertendo i versi delle frecce) si ottengono quindi due ordinamenti che in generale possono essere differenti: discendente classe: I II III IV V alternative: {,} {} {} {,} {,,} ascendente classe: V IV III II I alternative: {,,} {,} {} {,} {} poiché i due ordinamenti possono essere differenti, un metodo per generare un finale consiste nel calcolare la posizione media delle alternative: alternativa disc. asc. medio... tuttavia: l è comunque parziale operare una media tra ordinamenti contraddittori è un operazione quanto meno discutibile Il metodo della dominanza debole L area di dominanza secondo l approccio basato sulle soglie, i surclassa j se e solo se (c ij S c ) e (d ij S d ) nel caso in cui S c = e S d = ci si riconduce al concetto di dominanza di Pareto: i domina j se è migliore per almeno un criterio senza essere peggiore per gli altri nel caso in cui S c < e S d > si passa da un concetto di dominanza assoluta (paretiana) a un concetto di dominanza debole (surclassamento) al variare dei valori di S c e S d è possibile esplorare come varia la dominanza di un alternativa sulle altre i surclassa j se e solo se (c ij S c ) e (d ij S d ) C A A A A -.. A. -. A.. - D A A A A -.. A - A. - ad esempio, per S c =. e S d =. A surclassa A (c =.>. e d =.<.) A non surclassa A (c =.<. e d =.<.)

6 L area di dominanza Ordinamento C A A A D A A A C A A A D A A A A -.. A -.. A -.. A -.. A. -. A - A. -. A - A.. - A. - i surclassa j se e solo se (c ij S c ) e (d ij S d ) A è surclassata da A per S c. e S d. S d A.. - A. - è possibile ordinare le alternative in base alle dimensioni delle aree di dominanza: S d A A è surclassata da A per S c. e S d. l area A rappresenta l area di dominanza per l alternativa A, ovvero l insieme delle coppie S c A infatti, quanto più è ampia la zona del piano S c -S d in cui un alternativa è surclassata, tanto meno l alternativa è soddisfacente S c A A di valori S c -S d per cui A è surclassata da almeno A A A un altra alternativa Il metodo degli indici di concordanza/discordanza Ordinamento date le matrici C e D si ricavano un indice assoluto di concordanza e un indice assoluto di discordanza per ogni alternativa: n n C A IC i = Σ c ij - Σ A A c ji j= i= A -.. n n A ID i = Σ d ij - Σ. -. d ji j= i= A.. - D A A A le alternative vengono ordinate in senso discendente rispetto all indice assoluto di concordanza e in senso ascendente rispetto all indice assoluto di discordanza: IC =.; IC = -.; IC = -. A A, A ID = -; ID =.; ID = -. A A A IC = (.+.) - (.+.) =. ID = (.+.) - (+) = - A -.. A - A. - i due ordinamenti non coincidono! Funzione di concordanza per criterio Electre III per ogni criterio k vengono introdotte una soglia di indifferenza q k e una soglia di preferenza stretta p k entrambe hanno un significato fisico e sono legate alla differenza di prestazioni tra due alternative rispetto al criterio considerato niente in contrario al fatto che A i sia preferita a A j A j è debolmente preferita a A i A j è decisamente preferita a A i c ij,k q k p k u xk (A j ) u xk (A i )

7 Funzione di discordanza per criterio Matrice di concordanza per ogni criterio k viene introdotta una soglia di veto v k oltre alla soglia di preferenza stretta p k sulla base delle concordanze viene generata una matrice di concordanza per ogni criterio si ricava poi una matrice generale di concordanza come somma pesata delle matrici per criterio: d ij,k nessun rammarico scegliendo A i anziché A j la scelta di A i invece di A j è causa di rammarico A j è incomparabile con A i n Σ w k c ij,k k= c ij = n Σ w k k= p k v k u xk (A j ) u xk (A i ) Matrice di credibilità dei surclassamenti Soglia di discriminazione i livelli di concordanza vengono poi attenuati sulla base dei valori di discordanza si ottiene così una matrice di credibilità dei surclassamenti Δ - d ij,k δ ij = c ij Π con F = {k d ij,k >c ij } k F - c ij se fra tutti i criteri ve n è almeno uno per cui la discordanza è, δ ij = la credibilità del surclassamento è nulla se per nessun criterio d ij,k >c ij allora δ ij = c ij la credibilità del surclassamento coincide con la concordanza in tutti gli altri casi δ ij < c ij la credibilità del surclassamento è inferiore alla concordanza ottenuta la matrice Δ, si definisce una soglia di discriminazione S δ sulla base della quale effettuare la scelta tra due alternative: l alternativa i surclassa l alternativa j se δ ij > δ { ji δij - δ ji >Sδ ij la soglia di discriminazione non è costante, ma è funzione di δ ij Sδ ij =a-b δ ij ovvero, tanto maggiore è il livello di conflitto nella scelta tra le alternative (δ ij piccolo) tanto più alta è la soglia da superare per accettare il surclassamento di i su j Distillazione delle alternative definite le soglie di discriminazione, un algoritmo di distillazione consente di ricavare un discendente e un ascendente delle alternative un alternativa sta tanto più in alto nell quanto maggiore è la credibilità con cui surclassa le altre alternative Algoritmo di distillazione discendente: ) nella matrice Δ si determina λ = max(δ ij ) ) si calcola la soglia di discriminazione S λ = a - b λ ) si determina un livello α di credibilità come α = λ -S λ ) si attribuisce a ogni alternativa A i un α-punteggio così definito: + per ogni alternativa surclassata da A i con credibilità α - per ogni alternativa che surclassa A i con credibilità α ) si selezionano le alternative con α-punteggio massimo: se è una sola, la si inserisce in classifica, la si elimina da Δ e si itera l algoritmo fino ad esaurimento delle alternative se sono più di una, si estrae da Δ la sottomatrice che le contiene e si applica l algoritmo alla sottomatrice

8 Ordinamento complessivo Electre IV ascendente: si sviluppa in modo analogo all algoritmo di discendente, ma selezionando via via le alternative con α-punteggio minimo sulla base dei due ordinamenti discendente e ascendente si ottiene infine un complessivo (parziale) che tiene conto delle incomparabilità ord. discendente: A A A A A A, A ord. ascendente: A A A A A A, A l attribuzione dei pesi ai criteri rappresenta una fase critica dei metodi Electre precedenti Electre IV non attribuisce pesi ai criteri utilizza soglie di indifferenza, preferenza stretta e veto contatori di preferenze (per quanti criteri i è preferita a j?) categorie di surclassamento (quasi dominanza, dominanza canonica, pseudodominanza, veto-dominanza) genera una matrice di credibilità dei surclassamenti sulla base della quale vengono generati due ordinamenti l finale è ricavato con la stessa procedura utilizzata in Electre III è parziale e tiene conto delle incomparabilità Electre IV è applicabile solo in casi in cui i criteri hanno importanza simile (nessun criterio predominante e nessun criterio trascurabile)