La teoria microeconomica del consumo

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1 Istituzioni di Economia Matematica La teoria microeconomica del consumo Il problema del consumatore 1 a parte. Mario Sportelli Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bari Via E. Orabona, 4 I Bari (Italy) (Tel.: +39 (0) ; fax: +39 (0) ) E mail: [email protected] URL: 1

2 La teoria delle preferenze Definizione: Il paniere di consumo denota l insieme delle quantità di beni e servizi che un agente può consumare ad un dato tempo t. Il generico paniere di consumo si denota con un vettore. x = { x x x },,..., k 1 2 L insieme dei panieri di consumo disponibili ad un dato tempo t nel sistema economico si denota con X e, pertanto, x R X k + 2

3 Le relazioni di preferenza Convenzionalmente, per denotare le relazioni di preferenza si utilizzano i seguenti simboli: Preferenza debole Preferenza stretta Indifferenza 3

4 Relazioni di preferenza: Assiomi Completezza: x, y X: x y y x. Riflessività: x X: x x. Transitività: x, y, z X: x y y z x z. 4

5 Relazioni di preferenza: ulteriori ipotesi Monotonicità (debole): Se x, y X e x y: x y. Monotonicità (forte): Se x, y X e x y; x y : x y. Non sazietà locale: Se x X, nell intorno di x di raggio ε > 0: y X y x. 5

6 Sia x X: Gli insiemi d indifferenza. Definizione: Si definisce insieme d indifferenza di x l insieme { y X: y x}. Osservazioni: Un insieme d indifferenza non è mai vuoto, ma contiene almeno un elemento, x stesso (le preferenze sono riflessive). Gli insiemi d indifferenza sono disgiunti. Un insieme d indifferenza non può essere denso. Se lo fosse, il principio di non sazietà locale sarebbe violato. 6

7 Gli insiemi d indifferenza Principio di non sazietà violato. L insieme d indifferenza non ha spessore. Quando si considerano panieri che includono solo due beni, gli insiemi d indifferenza sono rappresentabili con una curva (convessa decrescente) denominata CURVA di INDIFFERENZA. 7

8 Relazioni di preferenza: ulteriori ipotesi Continuità: Dato un insieme d indifferenza è possibile definire il contorno superiore y X: y x { } e il contorno inferiore y X: x y { } Questi due insiemi sono chiusi (includono la frontiera). Mentre, { y X: y x} e { y X: x y} sono insiemi aperti. 8

9 Relazioni di preferenza: ulteriori ipotesi Convessità: Se y, z X tali che y x e z x, una qualunque media ponderata degli elementi di y e z genera un paniere che appartiene al contorno superiore dell insieme d indifferenza di x. Convessità debole: α [0,1]: αy+ (1 α) z x Convessità forte: α [0,1]: αy+ (1 α) z x 9

10 Insiemi di indifferenza in R Osservazione: Poiché gli insiemi d indifferenza sono disgiunti, due curve d indifferenza non possono intersecarsi. Se, per assurdo, ciò accadesse, risulterebbe: x y e x z ma y z per il principio di monotonicità. Per l assioma di transitività, deve essere, invece: x y e x z y z 10

11 Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R 2 +..:... Area A: panieri peggiori di x. Area C: panieri migliori di x. Aree B e D: eventuali panieri indifferenti a x. 11

12 Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R 2. Assumiamo che esistano panieri indifferenti a x. In tal caso, l insieme di indifferenza di x è rappresentato dalla curva (convessa e decrescente) in azzurro. 12

13 Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R 2 +. Se scegliamo altri panieri nelle aree A e C e individuiamo i loro insiemi di indifferenza, otterremo una mappa di curve di indifferenza. Per il principio di monotonicità delle preferenze, al crescere della distanza dall origine, a ciascuna curva d indifferenza si associa un livello di benessere più elevato. 13

14 Il paniere di sazietà. In R 2 + è banalmente individuabile il paniere di sazietà s. Per tale paniere vale la seguente: x X X s x 2,( R + ): 14

15 La funzione di utilità Sia R un insieme di indici. U + Definizione: Per funzione di utilità s intende ogni applicazione, regola o criterio che consente di associare a ciascun x X un indice u U, ossia, u : X U tale che x, y X, se x y: u( x) u( y); se x y: u( x) = u( y) 15

16 La funzione di utilità La funzione di utilità trasforma la relazione di preferenza definita su X nella relazione d ordine definita su R +. Osservazione: Quando le preferenze sono complete, riflessive, transitive e continue, una funzione di utilità esiste sempre. Per il suo carattere ordinale la funzione di utilità non è unica. Qualunque trasformazione monotonica della iniziale u(x) denota sempre le stesse preferenze: f ( u( x)) f( u( y)) u( x) u( y) 16