Equilibrio ed efficienza. Equilibrio walrasiano. Equilibrio walrasiano. Corso di Microeconomia progredito. Parte II. Comportamento individuale

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1 Equilibrio ed efficienza Corso di Microeconomia progredito 1 Teorie dello scambio (continua) dell equilibrio Parte II Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 1 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 2 / 24 Comportamento individuale La teoria dell si applica al caso di mercati completi agenti price-takers Economia di puro scambio A = {a, b, c,...}: insieme degli agenti n: numero di beni Agenti razionali, u j regolare per ogni j A Dotazioni iniziali, ω j, j A Valore delle dotazioni iniziali p ω a = p 1 ω 1a + p 2 ω 2a Spesa per l acquisto del paniere x, p x a = p 1 x 1a + p 2 x 2a Vincolo di bilancio p x p ω a Insieme di bilancio x X ; p (x ω a ) 0 [grafico] Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 3 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 4 / 24

2 Dati i prezzi, gli agenti formulano le loro scelte Problema dell agente Offer curve: ϕ a (p) max u a (x) s.to p x p ω a Analisi standard del consumatore con reddito nominale dato. Domanda marshalliana x a (p, w). ESERCIZIO L utilità dell agente a è data da u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 e le sue dotazioni iniziali sono ω a = (4, 6) Si ricavi la offer curve dell agente ϕ a (p) = x a (p, p ω a ) [grafico] Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 5 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 6 / 24 Esiste un vettore di prezzi p che rende compatibili tra loro le decisioni individuali? [esempio - grafico- scatola di Edgeworth] Quantità domandata Quantità offerta Le scelte non sono compatibili tra loro Domanda netta del bene 1 da parte dell agente a, x 1a ω 1a Domande nette non nulle - scambi non realizzabili Equilibrio Walrasiano - definizione Un vettore di prezzi p è un equilibrio walrasiano se tutte le decisioni individuali sono compatibili tra loro: x a = ϕ a (p ) a A x a = a A {x a } a A è l allocazione di equilibrio walrasiano Esempio grafico a A ω a Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 7 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 8 / 24

3 funzioni di eccesso di domanda Proprietà delle funzioni di eccesso di domanda Formulazione alternativa basata sulla nozione di Funzione individuale di eccesso di domanda (o domanda netta) z a (p) = ϕ a (p) ω a z ia > 0, eccesso di domanda sul mercato del bene i z ia < 0, eccesso di offerta sul mercato del bene i [grafico] Identità di bilancio p z a (p) = 0. Omogeneità di grado zero Continuità z a (tp) = z a (p) t > 0 Comportamento sulla frontiera. z ia (p) tende a + quando il prezzo del bene i, p i, tende a zero (non sazietà) Funzione aggregata di eccesso di domanda Z(p) = a A z a (p) Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 9 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 10 / 24 La funzione aggregata eredita le proprietà delle funzioni individuali Proprietà delle funzione aggregata di eccesso di domanda Legge di Walras p Z(p) = 0. Il valore degli eccessi di domanda è sempre nullo Omogeneità di grado zero Continuità Z(tp) = Z(p) t > 0 Comportamento sulla frontiera. Z i (p) tende a + quando p i tende a zero - definizione alternativa Il vettore di prezzi p è un equilibrio walrasiano se Z(p ) = 0 L allocazione di equilibrio è data da ϕ a (p ), a A. Esiste un equilibrio walrasiano? Il sistema di n equazioni e n incognite ammette una soluzione? Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 11 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 12 / 24

4 Il calcolo dell equilibrio Z(p ) = 0 implica p i > 0 per ogni i; i prezzi di equilibrio sono strettamente positivi Per l omogeneità, si possono normalizzare i prezzi Ad esempio, i prezzi sul simplesso, p i = 1 Si può eliminare un incognita Per la legge di Walras, si può eliminare un mercato Se Z i (p) = 0 per i = 1,... n 1 allora anche Z n (p) = 0. Si può eliminare un equazione Esercizio 10 Si consideri un sistema economico di puro scambio con due agenti, a e b, e due beni 1 e 2. Le funzioni di eccesso di domanda degli agenti sono rispettivamente: e z a 1(p 1, p 2 ) = p 2 2p 1 2p 1, z a 2(p 1, p 2 ) = 2p 1 p 2 2p 2 z b 1 (p 1, p 2 ) = 3p 2 2p 1 3p 1, z b 2 (p 1, p 2 ) = 2p 1 3p 2 3p 2. Si ottiene un sistema con (n 1) incognite e (n 1) equazioni. Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 13 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 14 / 24 Si ricavino le funzioni aggregate di eccesso di domanda dei due beni; si verifichi che esse soddisfano la Legge di Walras e l omogeneità di grado zero nei prezzi. Si prenda il prezzo del bene 2 come unità di misura dei prezzi e si calcoli il prezzo di equilibrio sul mercato del bene 1. Che valore assume la funzione aggregata di eccesso di domanda del bene 2 in corrispondenza del prezzo calcolato al punto ii)? Discutere il risultato. Le dotazioni iniziali dei due agenti sono e a = (2, 1) e e b = (1, 3). Si calcoli l allocazione corrispondente ai prezzi di equilibrio. Teorema di esistenza Ogni economia di puro scambio ammette un vettore di prezzi di equilibrio walrasiano. Cioè, se Z(p) è la funzione aggregata di eccesso di domanda esiste un vettore di prezzi p tale che Z(p ) = 0. Dimostrazione per n = 2 Normalizzare: p 1 + p 2 = 1 sostituire p 2 = 1 p 1 in Z(p 1, p 2 ), con 0 < p 1 < 1 Si considera soltanto il mercato 1, cioè Z 1 (p 1 ) = Z 1 (p 1, 1 p 1 ) Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 15 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 16 / 24

5 Comportamento sulla frontiera. p 1 0 implica Z 1 (p 1 ) > 0 Comportamento sulla frontiera. p 1 1 implica p 2 0 quindi Z 2 (p 1 ) > 0 ed infine, per la legge di Walras, Z 1 (p 1 ) < 0. Poiché Z 1 (p 1 ) > 0 e Z 1 (p 1 ) < 0, per la continuità di Z 1 Dimostrazione nel caso generale Traccia della dimostrazione 1 Teorema del punto fisso 2 Si costruisce di una funzione g sul simplesso 3 Si applica il teorema del punto fisso 4 Si verifica che un punto fisso per g è un equilibrio walrasiano esiste 0 < p 1 < 1 tale che Z 1(p 1 ) = 0 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 17 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 18 / 24 Definizione di punto fisso Sia D R n e f : D D una funzione. x è un punto fisso della funzione f se f (x ) = x Esempio grafico per n = 1 x è un punto fisso di f se e solo se h(x ) = 0. h(0) 0 h(1) 0 Poiché h è continua, per il Teorema del valore intermedio, esiste x tale che h(x ) = 0. (grafico) Teorema del punto fisso Sia f : C C continua e C R n un insieme compatto. Esiste x C tale che x = f (x ) Dimostrazione nel caso n = 1, con C = [0, 1] Definiamo h(x) = f (x) x per x C (grafico) Si torni al Teorema di esistenza Simplesso in R n { S n 1 = p R+ n ; Esempi grafici, n = 2 e n = 3 } p i = 1 i=1 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 19 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 20 / 24

6 Il simplesso è un insieme compatto (limitato e chiuso) Definiamo la funzione g : S n 1 S n 1 g i (p) = p i + max{0, Z i (p)} 1 + n max{0, Z k(p)} Si noti che g(p) S n 1, infatti n i=1 g i(p) =... La funzione g è continua poiché Z è continua. (grafico della funzione max{0, Z i (p)}) Applichiamo il teorema del punto fisso alla funzione g : S n 1 S n 1. Quindi, esiste p S n 1 tale che p = g(p ) Il vettore dei prezzi p è un equilibrio walrasiano?, Cioè Z(p ) = 0? Moltiplico entrambi i membri dell uguaglianza per 1 + max{0, Z k (p )} e ottengo Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 21 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 22 / 24 [ ] pi + pi max{0, Z k (p )} = 1 + max{0, Z k (p )} g i (p ) tenendo conto della definizione di g p i max{0, Z k (p )} = max{0, Z i (p )} moltiplico per Z i (p ), pi Z i (p ) max{0, Z k (p )} = Z i (p ) max{0, Z i (p )} sommo termine a termine e applico la legge di Walras e ottengo Z i (p ) max{0, Z i (p )} = 0 i=1 Ogni termine i-esimo è 0 oppure [Z i (p )] 2, quindi tutti termini della somma devono essere nulli. Ciò significa che Z i (p ) 0 per ogni bene i = 1,... n. Se Z i (p ) < 0 per qualche i, allora k p k Z k(p ) < 0 violando la legge di Walras. Quindi, deve essere Z i (p ) = 0 per ogni i, cioè un punto fisso di g è un equilibrio walrasiano. QED Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 23 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte II 24 / 24