2 Stabilità dell equilibrio Il processo di Tâtonnement Classificazione degli equilibri Parte III. 3 Unicità dell equilibrio
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- Chiara Cattaneo
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1 Equilibrio ed efficienza 1 Proprietà dell equilibrio Corso di Microeconomia progredito 2 Stabilità dell equilibrio Il processo di Tâtonnement Parte III 3 Unicità dell equilibrio Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 1 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 2 / 24 Richiamiamo il risultato di caratterizzazione delle allocazioni Pareto efficienti Riprendiamo la definizione iniziale di equilibrio walrasiano 1 ammissibilità x 1a + x 1b = ω 1 x 2a + x 2b = ω 2 Equilibrio Walrasiano - definizione Un vettore di prezzi p è un equilibrio walrasiano se tutte le decisioni individuali sono compatibili tra loro: 2 uguaglianza dei saggi marginali di sostituzione per x b = ω x a u a (x a )/ x 1a u a (x a )/ x 2a = u b(x b )/ x 1b u b (x b )/ x 2b xa = ϕ a (p ) a A xa = a A a A {xa } a A è l allocazione di equilibrio walrasiano ω a Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 3 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 4 / 24
2 Caratterizzazione dell equilibrio walrasiano p e {xi } i A è un equilibrio walrasiano se Per ogni agente j u j (xj ) = λ j p, p xj = p ω j xj = ω j Interpretazione grafica nella scatola di Edgeworth retta di bilancio passa per xa e ω a curve di indifferenza sono tangenti x è un ottimo paretiano Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 5 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 6 / 24 Se le preferenze individuali soddisfano la proprietà di non sazietà, ogni allocazione di equilibrio walrasiano è un ottimo paretiano. Formalmente, se p e {x a } a A è un equilibrio walrasiano allora {x a } a A è un ottimo paretiano. Dimostrazione formale Premessa Se x a x a dove x a = ϕ a (p) allora p x a > p x a Dimostrazione per assurdo Ipotesi: {x j } e p è un equilibrio walrasiano, ma non un ottimo paretiano Esiste un altra allocazione ammissibile {x j }, cioè tale per cui che domina {x j }, x j = ω j cioè x j x j per ogni j A, x j x j per qualche j Quindi, per la premessa p x j > p x j = p ω j Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 7 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 8 / 24
3 cioè p x j > p ω j Esercizio 11 Si consideri un sistema economico di puro scambio con due agenti, a e b, aventi le seguenti funzioni di utilità: u a = x a y a e u b = x b y b. Che è impossibile in quanto {x j } è ammissibile, cioè x j = ω j e dunque p x j = p ω j Contro esempio grafico Agente a, preferenze saturate Osservazioni critiche Le dotazioni iniziali dei due agenti sono rispettivamente: e a = (1, 3) e e b = (3, 1). Calcolare le funzioni di eccesso di domanda di entrambi gli agenti. Calcolare la funzione aggregata di eccesso di domanda per il bene x e calcolare i prezzi di equilibrio (si fissi p 2 = 1). Determinare l allocazione corrispondente ai prezzi di equilibrio e verificare se soddisfa le condizioni di ottimalità paretiana. Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 9 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 10 / 24 Ogni allocazione ottima secondo Pareto può essere ottenuta come un equilibrio walrasiano per un opportuna redistribuzione delle risorse a condizione che le preferenze siano convesse i trasferimenti siano lump-sum (l ammontare del trasferimento è indipendente dal comportamento dell agente) Illustrazione grafica - trasferimento di ricchezza Contro esempio - preferenze non convesse Interpretazione Il mercato può essere usato per raggiungere obiettivi redistributivi Il mercato è importante se alcuni beni non sono trasferibili (capitale umano) Esempio grafico Limitazioni Tutti gli agenti devono essere price-takers Potere di mercato Autorità pubblica deve avere un enorme mole di informazione e il potere di tassare e trasferire risorse in modo lump sum Imposte distorsive abilità lavorativa ed imposte sul reddito da lavoro Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 11 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 12 / 24
4 Introduzione 1 Proprietà dell equilibrio 2 Stabilità dell equilibrio Il processo di Tâtonnement 3 Unicità dell equilibrio Coerenza interna La teoria dell equilibrio walrasiano soddisfa il criterio della coerenza interna; l equilibrio esiste sotto condizioni molto generali Centro di gravitazione La domanda successiva è se l EW sia un centro di gravitazione. L EW è uno stato eccezionale del sistema dei prezzi, oppure uno stato normale, nel senso che i prezzi di mercato tendono a gravitare verso il livello di equilibrio? Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 13 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 14 / 24 Stabilità Punto stazionario Sappiamo che l EW è uno stato di riposo del sistema; se i prezzi sono quelli di equilibrio non vi sono forze che operano per destabilizzare il sistema, infatti tutti gli agenti riescono a realizzare le loro scelte. Problema della stabilità Se il sistema non si trova in equilibrio, esistono forze che tendono a portarlo in tale posizione? Esistono forze che tendono a far gravitare i prezzi verso il loro livello di equilibrio? Aggiustamento dei prezzi Per sviluppare un analisi dinamica occorre indicare le forze che sono all opera e quindi occorre introdurre alcune ipotesi su come si aggiustano i prezzi quando il sistema non è in equilibrio L analisi è complessa perché non è facile individuare ipotesi relative al funzionamento dei mercati in generale. Occorre introdurre delle semplificazioni drastiche Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 15 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 16 / 24
5 Tâtonnement Tâtonnement Processo di aggiustamento di Tâtonnement Non avvengono scambi a prezzi diversi da quelli di equilibrio Il processo di Tâtonnement classico, proposto originariamente da Walras, consiste nell ipotesi che i prezzi si aggiustino in base alla legge della domanda e dell offerta: Eccesso di domanda su un mercato si aumenta il prezzo di tale bene Eccesso di offerta su un mercato si diminuisce il prezzo di tale bene In termini formali il meccanismo di Tâtonnement Walrasiano è con α > 0. Quindi se p t+1 p t = αz(p t ) Z i (p t ) > 0 si ha p i,t+1 p it > 0 e il prezzo del bene i aumenta Z i (p t ) < 0 si ha p i,t+1 p it < 0 e il prezzo del bene i diminuisce Una soluzione dell equazione alle differenze è una traiettoria di prezzi {p t, p t+1, p t+2,...} Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 17 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 18 / 24 Esempi grafici di stabilità e instabilità Un prezzo di equilibrio p è globalmente stabile se ogni traiettoria di prezzi converge a p Un prezzo di equilibrio p è localmente stabile se ogni traiettoria di prezzi, con prezzo iniziale p t sufficientemente prossimo a p, converge a p Un prezzo di equilibrio p è instabile se ogni traiettoria di prezzi non converge a p Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 19 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 20 / 24
6 1 Proprietà dell equilibrio 2 Stabilità dell equilibrio Il processo di Tâtonnement La natura dell equilibrio e le sue caratteristiche di stabilità dipendono dalle proprietà della funzione di aggregata di eccesso di domanda 3 Unicità dell equilibrio Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 21 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 22 / 24 Unicità dell equilibrio Analisi di statica comparata Studia come variano i prezzi di equilibrio al variare di alcuni parametri dati del modello, ad es. la dotazione complessiva di un bene Unicità L unicità dell equilibrio (a meno della moltiplicazione per uno scalare) è una proprietà molto importante perché consente di effettuare l analisi di statica comparata. Esempio grafico Anche in questo caso le proprietà della funzione aggregata di eccesso di domanda giocano un ruolo centrale. Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 23 / 24 Corso di Microeconomia progredito () Equilibrio ed efficienza Parte III 24 / 24
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