Ottimizzazione dei Sistemi Complessi

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1 1 Venerdì 28 Aprile Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

2 Introduzione min f 1 (x),..., f k (x) s.t. x F. x R n, k > 1, f i : R n R, F R n. R n è lo spazio delle decisioni R k è lo spazio degli obiettivi x R n è un vettore di decisioni z R k è un vettore di obiettivi

3 Introduzione min f 1 (x),..., f k (x) s.t. x F. x R n, k > 1, f i : R n R, F R n. R n è lo spazio delle decisioni R k è lo spazio degli obiettivi x R n è un vettore di decisioni z R k è un vettore di obiettivi

4 Introduzione min f 1 (x),..., f k (x) s.t. x F. x R n, k > 1, f i : R n R, F R n. R n è lo spazio delle decisioni R k è lo spazio degli obiettivi x R n è un vettore di decisioni z R k è un vettore di obiettivi

5 Introduzione Definiamo f (x) = (f 1 (x),..., f k (x)) : R n R k vettore delle f.obiettivo Z = f (F) regione ammissibile degli obiettivi: Z = {z R k : z = f (x), x F}. z id vettore ideale degli obiettivi: z id i = min f i (x) x F per ogni i = 1,..., k. N.B. assumiamo che z id Z, cioè che le funzioni obiettivo siano in contrasto fra di loro.

6 Ordinamento nello spazio k dimensionale Possiamo definire nello spazio k dimensionale un ordinamento parziale non riflessivo. Dovuto all economista e sociologo italiano Vilfredo Pareto ( )

7 Ordinamento nello spazio k dimensionale Dati due vettori z 1 e z 2 in R k diciamo che: z 1 domina (secondo Pareto) z 2 (z 1 P z 2 ) se z 1 i z 2 i per ogni i = 1,..., k, e z 1 j < z 2 j per qualche j {1,..., k}. N.B. l ordinamento è solo parziale, quindi esistono coppie di vettori z 1, z 2 tali che non risulta ne z 1 P z 2 ne z 2 P z 1!! In questo caso si dice che z 1 e z 2 sono vettori non dominati tra loro

8 Ordinamento nello spazio k dimensionale Dati due vettori z 1 e z 2 in R k diciamo che: z 1 domina (secondo Pareto) z 2 (z 1 P z 2 ) se z 1 i z 2 i per ogni i = 1,..., k, e z 1 j < z 2 j per qualche j {1,..., k}. N.B. l ordinamento è solo parziale, quindi esistono coppie di vettori z 1, z 2 tali che non risulta ne z 1 P z 2 ne z 2 P z 1!! In questo caso si dice che z 1 e z 2 sono vettori non dominati tra loro

9 Ordinamento debole Dati due vettori z 1 e z 2 in R k diciamo che: z 1 domina debolmente (secondo Pareto) z 2 (z 1 < z 2 ) se z 1 i < z 2 i per ogni i = 1,..., k. N.B. se z 1 < z 2 allora z 1 P z 2 ma, in generale, non vale il viceversa.

10 Definizione di ottimalità secondo Pareto Dato il problema multiobiettivo min f 1 (x),..., f k (x) s.t. x F. Un punto x F è ottimo (secondo Pareto) se: non esiste alcun altro x F tale che f (x) P f (x ) Nello spazio degli obiettivi, l insieme degli ottimi secondo Pareto Ω P è noto con il nome di: frontiera efficiente frontiera di Pareto

11 Definizione di ottimalità secondo Pareto Dato il problema multiobiettivo min f 1 (x),..., f k (x) s.t. x F. Un punto x F è ottimo (secondo Pareto) se: non esiste alcun altro x F tale che f (x) P f (x ) Nello spazio degli obiettivi, l insieme degli ottimi secondo Pareto Ω P è noto con il nome di: frontiera efficiente frontiera di Pareto

12 Definizione di ottimalità debole Un punto x F è ottimo debole (secondo Pareto) se: non esiste alcun altro x F tale che f (x) < f (x ) N.B. l insieme degli ottimi di Pareto (Ω P ) è contenuto nell insieme degli ottimi deboli di Pareto (Ω D ) Ω P Ω D.