Problema del Job Shop

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1 Problema del Job Shop

2 Job Shop n job, m macchine iascun job j è composto da una sequenza di task (t j (),,t j (r j )) ogni task t j (k) deve essere eseguito su una specifica macchina i = m j (k) (richiedendo un tempo p ij ). Tutte le macchine hanno capacità unitaria. Quindi, ad ogni job è associata una sequenza (m j (),,m j (r j )) (con possibili ripetizioni) di macchine, detta instradamento Ogni macchina è dotata di un buffer di ingresso in cui i job possono attendere prima di essere processati Problema: decidere la sequenza di processamento su ciascuna macchina in modo da minimizzare il tempo di completamento di tutti i job (makespan)

3 Esempio job m j () [p m(),j ] [] [] m j () [p m(),j ] [] [] m j () [p m(),j ] [] [] Una soluzione: precede sulla macchina precede sulla macchina 5 7 se precedesse macchina? sulla

4 aso particolare: Flow Shop iascun job j è composto da m task, e tutti i job hanno la stessa sequenza (,,, m) di visita delle macchine J m- m Il buffer di ingresso consente i sorpassi: la sequenza di processamento della macchina i + può essere diversa da quella sulla macchina i. Il numero di soluzioni è pari a (n!) m In assenza di buffer di ingresso (permutation flow shop) il sequenziamento è unico su tutte le macchine e ci sono n! soluzioni

5 Formulazione Grafo disgiuntivo disgiuntiva N = {,..., t } Insieme di tutti i task. Se ogni job visita tutte le macchine esattamente una volta t = nm Sia G = (V, t M ) un grafo orientato costruito come segue. V contiene un vertice per ogni task più due vertici s e z t contiene, per ogni job j, l insieme degli archi associati alla catena dei suoi task più gli archi (s, t j ()) [(t j (r j ), z)] M k=,,m ( k ) in cui k contiene una coppia (disgiuntiva) di archi (t i, t j ) e (t j, t i ) per ogni coppia di task t i, t j da eseguirsi sulla machina k.

6 Lunghezze Esempio degli archi job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [] s 0 0,,,,,, z d ogni arco (t i, t j ) si associa una lunghezza pari alla durata del task t i

7 Esempio Selezione efinizione. Un insieme S k di archi in k che contiene esattamente un elemento per ciascuna coppia disgiuntiva è detto selezione parziale della macchina k. Una selezione S k è aciclica se (il corrispondente grafo parziale) non contiene cicli orientati. Una selezione aciclica S k corrisponde (biunivocamente) ad un sequenziamento delle operazioni sulla macchina k. efinizione. L unione degli insiemi S k, k =,, m è detta selezione completa.

8 Selezioni Esempio complete e cicli L unione di selezioni acicliche può non essere aciclica 0,,, s 0,,, l contrario, nel caso di flow shop, l unione di selezioni acicliche è aciclica Se c è un ciclo la selezione non può corrispondere a schedule ammissibili (provare a costruire uno schedule) z

9 Riformulazione Esempio 0 s 0 Ogni soluzione ammissibile del problema di Job Shop corrisponde biunivocamente ad una selezione completa aciclica Il valore di una soluzione (makespan) è pari alla lunghezza del cammino massimo da s a z,,,,,, z 5 7 Job shop: trovare una selezione completa aciclica che minimizzi la lunghezza del cammino massimo.

10 Variabili decisionali: n j R τ istante di inizio del task j τ n min t i i j j i p τ τ ), ( M k j i p p k j j i i i j τ τ τ τ, ), ( N j j τ 0 Formulazione disgiuntiva

11 Variabili decisionali: x ij = 0 se l arco (i, j) è rimosso, = altrimenti min ( i, j ) P ( i, j ) x x ij x ij + u l ij x ij Formulazione non compatta u, per ogni s z cammino P xij, per ogni ciclo x ji, per ogni coppia disgiuntiva ( i, j) =, ( i, j) ij t {0,}, ( i, j)

12 Esempio: problema dei giornali S G FT E S T E S FT G

13 Soluzione ammissibile S FT G E S T giornale FT Lett. Lett. Lett. Lett. G E S

14 S G FT E 0 0 S 0 T 60 FT 90 G ammino critico E S

15 FT Soluzione non ammissibile S T E S G S E G FT Lett. Lett. Lett. Lett. giornale

16 Soluzione non ammissibile S FT G E S T Osservazione. Se S è aciclica, allora ogni S k è aciclica. Il vice-versa non è vero.

17 Regole di dispatching FFS (First ome First Served): ogni macchina esegue l operazione processabile secondo l ordine di arrivo MWR (Most Work Remaining): fra le operazioni processabili, ogni macchina processa quella con il maggior tempo di processamento residuo (su tutte le macchine rimanenti della sequenza) SPT (Shortest Processing Time): ogni macchina processa l operazione disponibile più breve

18 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = 0:

19 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = :

20 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = : 5 9

21 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = 5: 5 9

22 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = 9: 5 9 6

23 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = : 5 9 6

24 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [6] [] [7] [] t = 6:

25 Esempio: FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [] [] [7] [] t = :

26 Selezione completa FFS s 0 0,,, 5,,,, z 0 7,,, 7 ammino critico s-(,)-(,)-(,)-(,)-(,)-z di lunghezza 5

27 Ricerca Locale Teorema. Sia S una soluzione ammissibile (selezione completa aciclica) e (i,j) un arco disgiuntivo di un cammino critico del grafo G(S). llora, sostituendo (i,j) con (j,i) si ottiene una nuova selezione completa aciclica (cioè una nuova soluzione ammissibile) Il vicinato di una soluzione S è definito come l insieme delle soluzioni ottenibili scambiando il verso di un arco disgiuntivo appartenente ad un cammino critico. Teorema. Per ogni soluzione S esiste una sequenza finita di mosse che genera una soluzione ottima

28 FFS: soluzione di partenza s 0 0,,, 5,,,, z 0 7,,, 7 ammino critico s-(,)-(,)-(,)-(,)-(,)-z di lunghezza 5 ue possibili mosse: (,)-(,) oppure (,)-(,). La seconda produce una soluzione di costo 7 (provare)

29 mossa : peggiorativa s 0 0,,, 5,,,, z 0 7,,, 7 Scambio arco (,)-(,) di lunghezza con (,)-(,) di lunghezza ammino critico s-(,)-(,)-(,)-(,)-(,)-(,)-z di lunghezza 9

30 mossa s 0 0,,, 7 5,,,, z 0 7,,, 7 Scambio arco (,)-(,) di lunghezza con (,)-(,) di lunghezza 7 ammino critico s-(,)-(,)-(,)-(,)-(,)-z di lunghezza (!!)

31 Soluzione dopo mosse: migliora FFS job m j () [p m(),j ] m j () [p m(),j ] m j () [p M(),j ] m j () [p M(),j ] [] [] [] [] [] [5] [] [] [7] [] t = : 5 9 7

32 Euristica Shifting ottleneck ostruisce una selezione completa aciclica construendo iterativamente selezioni parziali acicliche d ogni passo viene costruita la selezione parziale della macchina più critica (bottleneck) m iterazioni: ad ogni passo, la macchina bottleneck cambia (shifting) Passo generico. Input: M 0 insieme delle macchine già sequenziate. ostruisce il grafo G(M 0 ) fissando l orientamento degli archi associati alle macchine in M 0 ed eliminando gli archi disgiuntivi associati alle macchine in M \ M 0.. alcola la lunghezza max (M 0 ) del cammino critico su G(M 0 ).. Identifica e sequenzia la macchina collo di bottiglia e aggiorna il grafo

33 . eterminazione della macchina collo di bottiglia Ogni iterazione introduce dei nuovi archi nel grafo, quelli della selezione parziale aciclica della macchina collo di bottiglia corrente. Quindi, al procedere dell algoritmo max (M 0 ) aumenta (non diminuisce). Una misura di criticità delle macchine è la seguente: la macchina collo di bottiglia è quella il cui sequenziamento produce il massimo aumento di max (M 0 ) In particolare, per ogni macchina k, si minimizza l aumento massimo del makespan rispetto a max (M 0 ) provocato dal sequenziamento di k

34 . Minimizzazione del massimo ritardo La relazione di precedenza ottenuta fissando le selezioni parziali delle macchine in M 0 implica che, ad ogni task j è associato istante prima del quale j non può iniziare, cioè una release date r j per un certo task j, sia x la lunghezza del percorso critico da S a u in G(M 0 ). llora, con il sequenziamento fissato, j non può iniziare prima di x. s x j z

35 . Minimizzazione del massimo ritardo Per un certo task j, sia y la lunghezza del percorso critico da u a T in G(M 0 ). llora, se si vuole rispettare il makespan corrente max (M 0 ), j non può terminare dopo l istante max (M 0 ) y. s x j y max (M 0 ) z l insieme dei task di una macchina k determina quindi un istanza del problema /r j /L max. efiniamo L max (k) il valore della sua soluzione ottima La macchina k* = argmax (L max (k): k M \ M 0 ) è detta collo di bottiglia

36 . Sequenziamento di k* La macchina collo di bottiglia k* è sequenziata in accordo alla soluzione ottima del problema /r j /L max. M 0 := M 0 {k*}; aggiorna il grafo fissando gli archi di k* ggiorna il valore del cammino critico max (M 0 K*) = max (M 0 ) + L max (k*) (verificare sull esempio)

37 Validità Teorema. Gli archi orientati associati alla soluzione ottima di un problema a macchina singola non creano cicli nel grafo G(M 0 ). onseguenza: la selezione completa ottenuta dalle selezioni acicliche generate nelle singole iterazioni è aciclica.