ALGEBRA LINEARE PROVA SCRITTA DEL 4/2/2008

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1 ALGEBRA LINEARE PROVA SCRITTA DEL 4//8. Si considerino le applicaioni F : R 3 R [t] e G : R [t] R R [t] denota lo spaio vettoriale dei polinomi di una variabile reale di grado minore od uguale a due, definite da: F = + + t + t, Gp = p p a Dimostrare che G F è un applicaione lineare. b Trovare dimensione e base di KerG F e ImG F. c Dire se G F è iniettiva, suriettiva, biiettiva.. Si consideri, al variare di k R, la matrice A = k.. a Dire per quali valori di k la matrice è invertibile. b Trovare in R autovalori ed autospai di A al variare di k. c Dire per quali valori di k la matrice è diagonaliabile in R. 3. Sia V lo spaio vettoriale delle funioni reali continue nell intervallo [, π] e sia W il sottospaio vettoriale di V definito da W = Spansin, cos. 3 a Dimostrare che la forma bilineare, : W W R, definita da f, g = fgd 4 è un prodotto scalare definito positivo in W. b Verificare che { sin, sin + π 4} è una base di W. c Ortogonaliare tale base con il metodo di Gram-Schmidt.

2 4. Sia A una matrice reale n n. a Dimostrare che, se A è diagonaliabile, anche A lo è ed ha tutti gli autovalori non negativi. b Mostrare che non è vero il viceversa. 5. Risolvere il sistema ricorsivo definito, per n, da { n+ = 3 n n, n+ = n + 3 n, 5 con = e =.

3 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DEL 4//8. a Dati a, b R abbiamo F a + b = a + b + a + b + a + b t + a + b t = a[ + + t + t ] + b[ + + t + t ] = af + bf ap + bq Gap + bq = = a p p, 6 ap + bq = ap + bq ap + bq q + b = agp + bgq. 7 q Siccome sia F che G sono lineari anche G F è lineare. b G F = G + + t + t = KerG F = =, + + =. 9 Una base di KerG F è quindi data da B K =. Quindi dim[kerg F] = e dim[img F] = dimr 3 dim[ker G F] =. Poiché ImG F è un sottospaio di R ed ha la stessa 3

4 dimensione di R, deve necessariamente coincidere con R. Una base di ImG F è ad esempio data da B I = {, }. c G F è suriettiva ma non iniettiva e quindi non è biiettiva.. a Siccome deta = k, la matrice A è invertibile per ogni k e non invertibile per k =. b-c Il polinomio caratteristico di A è dato da p A λ = λ λ + k, per cui gli autovalori di A sono λ = e, per k, λ ± = ± k. Per k > l unico autovalore in R è λ e il corrispondente autospaio ha come base B =. 3 In questo caso la matrice non è diagonaliabile in R in quanto la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori uguale ad è minore del numero di righe e di colonne di A uguale a 3. Per k <, k, abbiamo tre autovalori reali e distinti, per cui la matrice è diagonaliabile in R. Basi per i tre autospai sono date da B =, B ± = k. 4 ± k Per k = l autovalore λ = λ + = λ = ha molteplicità algebrica uguale a due, mentre il corrispondente autospaio ha come base B =. 5 4

5 Quindi la molteplicità geometrica di questo autovalore è uguale ad e inferiore alla molteplicità algebrica e la matrice non è diagonaliabile. L autospaio corrispondente all autovalore λ = è come nei casi precedenti. Per k = abbiamo λ = λ + = e λ =. I corrispondenti autospai hanno come basi B =,, B =. 6 In questo caso la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è uguale a 3 e per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica. La matrice è quindi diagonaliabile. 3. a Data una coppia di vettori f e g, f, g associa a tale coppia uno scalare. Valgono le proprietà del prodotto scalare: i Per ogni f, g V, abbiamo f, g = ii Dati f, g, h V, allora = fgd = f, g + h = fgd + gfd = g, f, 7 f[g + h]d iii Per ogni f, g V e per ogni c R, abbiamo cf, g = fhd = f, g + f, h. 8 [cf]gd = c fgd = c f, g. 9 Per dimostrare che il prodotto scalare è definito positivo in W, scriviamo un generico vettore di W come v = a sin + b cos, con a, b R. Abbiamo v, v = a sin d + b cos d, che è positivo, a meno che a = b = cioé a meno che v =. b Per dimostrare che B = { v = sin, v = sin + 4} π è una base 5

6 di W osserviamo prima di tutto che v = sin + cos e che cos = v v. Quindi i vettori v e v generano W. Inoltre sono linearmente indipendenti, in quanto a sin + b sin + 4 π = per tutti gli in [, π] se e solo se a = b =. c Applicando il metodo di Gram-Schmidt, otteniamo la base ortogonale {w, w }, a partire da {v, v }. Abbiamo w = v = sin, w = v v, w w, w w = sin π sin π 4 sin d 4 π = sin d cos. 4. a Sia B = {v,..., v n } una base di autovettori di A, vale cioé Av i = λ i v i per i n. Siccome A v i = AAv i = Aλ i v i = λ i Av i = λ iv i, ne possiamo concludere che B è anche una base di autovettori di A, con i corrispondenti autovalori λ i. b Basta considerare A =, da cui A =. Mentre A è diagonaliabile con autovalore λ = non negativo, A non è diagonaliabile. 5. Conviene scrivere il sistema in forma matriciale: n n 3 = A, A = 3 n n, da cui n n = A n = UA D U n = UA D n U dove A D = U AU è la trasformaione di similitudine che diagonalia A. La matrice A ha come autovalori λ = e λ = 4 e come corrispondenti autovettori normaliati v =, v =,, da 6

7 cui A D n = n 4 n, U =, U = t U = U. 3 Sostituendo le espressioni trovate per A D n e U = U in e considerando =, = otteniamo n n = n 3 n 3 + n. 4 7