SEMIGRUPPI LIBERI E TEORIA DEI CODICI

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1 SEMIGRUPPI LIBERI E TEORIA DEI CODICI Esercizi proposti Esercizio 1. Sia X = {1, 2, 3,..., 9}, e sia S = F (X) il semigruppo delle trasformazioni di X. Si consideri l elemento ( ) f = S Si determini l ordine, l indice e il periodo di f. Si individuino tutti gli elementi idempotenti del sottosemigruppo monogenico f. Si descriva il nucleo H f di f, individuandone in particolare un generatore e l elemento neutro. Esercizio 2. Sia S un sottosemigruppo periodico e non vuoto di un gruppo G. Si dimostri che S è un sottogruppo di G. Esercizio 3. Sia X un insieme numerabile, e sia S = F (X) il semigruppo delle trasformazioni di X. Si consideri il sottoinsieme T = {α S : α iniettiva, X \ Xα infinito} di S. Si dimostri che T è un sottosemigruppo di S. Si dimostri che, per ogni α T, gli insiemi X \ Xα e Xα \ Xα 2 sono equipotenti. Si deduca che T è privo di idempotenti. Esercizio 4. Si considerino il semigruppo S = {a, b, c, d} avente tabella moltiplicativa a b c d a a b c d b b a d c c c d c d d d c d c e le partizioni F = { {a}, {b}, {c, d} } e G = { {a, b}, {c, d} } di S. Si provi che la relazione di equivalenza ρ associata a F è una congruenza in S, e si compili la tabella moltiplicativa del semigruppo quoziente S/ρ. Si provi che la relazione di equivalenza σ associata a G è una congruenza in S, e si compili la tabella moltiplicativa del semigruppo quoziente S/σ.

2 Esercizio 5. Si consideri il semigruppo S = {a, b, c, d, e} avente tabella moltiplicativa a b c d e a d d d a a b d b c a a c d c b a a d a a a d d e a e e d d Si provi che l insieme I = {a, d} è un ideale di S. Si compili la tabella moltiplicativa del quoziente di Rees S/I. Esercizio 6. Sia X = {1, 2, 3, 4, 5}, e sia R(X) il semigruppo delle relazioni in X. Si consideri l elemento ρ = { (1, 1), (1, 3), (2, 3) } R(X). Si determini la relazione riflessiva ρ r generata da ρ. Si determini la relazione simmetrica ρ s generata da ρ. Si determini la relazione transitiva ρ t generata da ρ. Si determini la relazione di equivalenza ρ e generata da ρ. Esercizio 7. Sia A = {0, 1} l alfabeto binario, e sia S = A + il semigruppo delle parole su A. Si consideri il sottoinsieme X = {1, 10, 11, 101} di S. Si determini il semigruppo sintattico S(X) di X, compilandone la tabella moltiplicativa. Si determini il semigruppo S F act(x) dei fattori di X, compilandone la tabella moltiplicativa. Esercizio 8. Si compili la tabella moltiplicativa del semigruppo S avente presentazione S = a, b a 2 = a, b 2 = b, (ab) 2 = a, precisando poi quali sono gli elementi idempotenti di S.

3 Esercizio 9. Si dimostri che il monoide M avente presentazione M = a, b aba = ε è un gruppo ciclico infinito. Esercizio 10. Si consideri l alfabeto A = {a, b, c}. Si determini l inviluppo libero del sottoinsieme X = {b, ab, abc, cab, cb} del monoide A. Esercizio 11. Si consideri il monoide biciclico B = a, b ab = ε. Per ogni n 1 si individui un sottomonoide di B avente ordine esattamente n. Si determini il gruppo degli elementi invertibili di B. Si determinino tutti gli elementi idempotenti di B. Esercizio 12. Si considerino l alfabeto binario A = {0, 1} e il sottoinsieme W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } del monoide A, dove w 1 = , w 2 = , w 3 = , w 4 = , w 5 = , w 6 = Si individuino tutte le parole primitive in W. Si determinino tutte le coppie di parole permutabili in W. Si determinino tutte le coppie di parole coniugate in W.

4 Esercizio 13. Utilizzando l algoritmo di Sardinas e Patterson, si stabilisca se l insieme di parole è un codice sull alfabeto A = {a, b, c, d, e}. X = {a, abce, bcd, bcde, cbda, dabc, dabd, ecb} Esercizio 14. Si considerino l alfabeto A = {a, b, c}, e la distribuzione di Bernoulli µ su A verificante µ(a) = 2 3, µ(b) = 1 4. Utilizzando la diseguaglianza di Kraft-McMillan si verifichi che il sottoinsieme X = {a, ab, ba, c 2 } di A non è un codice su A. Esercizio 15. Si considerino l alfabeto binario A = {a, b} e il sottoinsieme X = {ab, ba, ab 2 a} di A. Ovviamente X non è un codice su A. Si verifichi che la diseguaglianza di Kraft-McMillan non si inverte, mostrando che se µ è la misura su A indotta da una qualunque distribuzione di Bernoulli su A allora µ(x) < 1. Esercizio 16. Si consideri l alfabeto A = {a, b, c, d}. Si determini, se esiste, un codice su A costituito da 20 parole, di cui 2 di lunghezza 1, 5 di lunghezza 2 e 13 di lunghezza 3. Esercizio 17. Si consideri l alfabeto A = {a, b, c, d}. Si determini, se esiste, un codice completo su A costituito da 19 parole, di cui 2 di lunghezza 1, 5 di lunghezza 2 e 12 di lunghezza 3. Esercizio 18. Si consideri l alfabeto A = {a, b, c}. Quanti e quali sono i codici bifissi su A costituiti da 9 parole, di cui 1 di lunghezza 1, 4 di lunghezza 2 e 4 di lunghezza 3?

5 Esercizio 19. Si consideri l alfabeto A = {a, b, c, d, e}. Si determini, se esiste, un codice massimale sincronizzante su A costituito da 25 parole, di cui 3 di lunghezza 1, 4 di lunghezza 2, 5 di lunghezza 3, 6 di lunghezza 4 e 7 di lunghezza 5. Esercizio 20. sottoinsieme Si considerino l alfabeto binario A = {a, b} (ordinato tramite la posizione a < b) e il X = { a α b β a : α, β {0, 1, 2} } di A. Si disegni il diagramma di Hasse di X ordinato rispetto all ordine prefissiale, all ordine suffissiale, all ordine fattoriale, all ordine di divisione, all ordine lessicografico, all ordine militare. Esercizio 21. Sia X = {00100, 01000, 10001, 10110, 01111} un codice binario uniforme di lunghezza 5. Si calcoli la distanza di Hamming del codice X. Si stabilisca se il codice X rivela l errore Si stabilisca se il codice X rivela l errore Si individui un errore di peso minimo che non sia rivelato dal codice X. Esercizio 22. Sia X = { , , , } un codice binario uniforme di lunghezza 10. Si calcoli la distanza di Hamming del codice X. Si stabilisca se il codice X corregge l errore Si stabilisca se il codice X corregge l errore Si individui un errore di peso minimo che non sia corretto dal codice X.