Controllo di Manipolatori (Calcolo delle Traiettorie 2)

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1 Controllo di Manipolatori (Calcolo delle Traiettorie 2) Ph.D Ing. Folgheraiter Michele Corso di Robotica Prof. Caglioti Anno Acc /2006 Scelta della velocità nei punti di via con metodo Euristico: 2) Il sistema con tecniche euristiche calcola in automatico le velocità nei punti di via (magari facendo in modo che le accelerazioni siano continue)

2 Connettere due cubiche in un punto di via (imponendo accelerazione continua nel punto di via) Consideriamo 3 punti: ϑ 0 ϑ v ϑ f θ(t) = a 10 + a 11 t+ a 12 t 2 + a 13 t 3 θ(t) = a 20 + a 21 t + a 22 t 2 + a 23 t 3 Traiettoria da θ 0 a θ v Traiettoria da θ v a θ f Con t che va da zero a t f1 per la prima cubica, e da zero a t f2 per la seconda. Deve valere quindi: q 0 = a 10 q v = a 10 + a 11 t f1 + a 12 t 2 f1 + a 13 t3 f1 q v = a 20 q f = a 20 + a 21 t f2 + a 22 t 2 f2 + a 23 t3 f2 0= a 11 0= a a 22 t f2 +3 a 23 t 2 f2 a 21 = a a 12 t f1 +3 a 13 t 2 f1 2 a 22 =2 a a 13 t f1 Angolo pari a q 0 per t=0 per la prima cubica Angolo pari a q v per t=t f1 per la prima cubica Angolo pari a q v per t=0 per la seconda cubica Angolo pari a q f per t=t f2 Velocità nulla per t=0 Velocità nulla per t=t f2 Velocità uguale nel punto di via (prima cubica t=t f1 seconda t=0) Accelerazione uguale nel punto di via (prima cubica t=t f1 seconda t=0) Esempio) Connessione tra 4 cubiche:

3 Se si vogliono imporre anche dei vincoli sulle accelerazioni occorrono polinomi del 5 ordine. - Si ottengono delle traiettorie più dolci, che sollecitano meno la struttura meccanica del robot. - Il calcolo della traiettoria risulta essere più complesso. Utilizzo di funzioni Lineari con raccordi Parabolici (Spazio dei Giunti) - Questo metodo è stato sviluppato alla Standford University: - Utilizza dei segmenti di retta per interpolare i punti. θ goal start - Questo tuttavia implica accelerazione infinita durante la fase iniziale e finale del moto. t 6 DOF (1969) Si utilizzano de raccordi parabolici durante la fase iniziale finale

4 -Si hanno quindi tre tratti: uno lineare e due parabolici - Si possono avere differenti soluzioni ( a seconda di come scegliamo le accelerazioni iniziali e finali). Moto q(t) 0 Accelerazione elevata t q(t) 0 Accelerazione moderata t θ Raccordo 2 goal q (t) q (t) Velocità 0 t 0 t Tratto lineare q (t) q (t) Start Raccordo 1 t Accelerazione 0 t 0 t t f = 2t h

5 2 4( θ f θ θ&& 2 t f 0 ) 4( θ f θ seθ& = 2 t f 0 ) allora il tratto linerare è nullo - Il metodo è buono dal punto di vista computazionale (usa al massimo polinomi di 2 grado) Traiettorie nello Spazio Cartesiano Problemi: - Difficoltà nel calcolare la cinematica inversa in Real-time - Alcuni punti della traiettoria possono trovarsi fuori dallo spazio di lavoro - Possibile passaggio della traiettoria per punti singolari a velocità infinite. Possibile metodologia - Vogliamo una traiettoria rettilinea nello spazio cartesiano - Possiamo generare delle traiettorie nello spazio dei giunti che interpolino la traiettoria lineare scelta nello spazio cartesiano. Quanti punti di via inseriamo?

6 Algoritmo di Bounded Deviation Path 1. Calcola (cinematica inversa) la configurazione dei giunti di start e goal; calcola quindi la traiettoria nello spazio dei giunti fra start e goal; 2. Calcola il punto di mezzo nello spazio dei giunti, e applicando la cinematica diretta trova la posizione cartesiana corrispondente; 3. Se l errore nel cammino geometrico è maggiore di quello permesso allora a. metti un punto di via (knot) a metà del cammino cartesiano fra start e goal; b. dividi il cammino in due parti, da start a knot, da knot a goal; c. richiama ricorsivamente l algoritmo sulle due metà del cammino; a.altrimenti termina; 4. Ritorna la sequenza dei knot points (punti di vincolo). Oss: -Questo metodo, nello spazio cartesiano genera una traiettoria che ondeggia attorno alla traiettoria rettilinea che volevamo approssimare.

7 Controllore Cinematico Cartesiano X, X & errore Cinematica Inversa J -1 X. X θ forze / momenti controllore. (guadagno) J = Jacobiano θ J 1 = Jacobiano inverso robot (sensori interni) Cinematica Diretta J θ. θ & notare che il controllo è eseguito sulle variabili cartesiane su cui è calcolato l errore Oss: Se si movimentano degli oggetti diventa importante anche la dinamica; in questo caso è necessario considerare le accelerazioni, e quindi le forze d inerzie e i momenti d inerzia. Controllori per Robot Industriali Il sistema di controllo di un robot è un dispositivo composto in genere da un sistema multi-processore, collegato in rete con altre risorse locali di controllo, monitoraggio e immagazzinamento dati. Funzioni di base: Interazione con l'operatore Immagazzinamento di dati Calcolo delle traiettorie Controllo in tempo reale del moto dei giunti Monitoraggio sensori Interazione con altri macchinari Interazione con altre risorse computazionali

8 Controllo del moto dei giunti Il controllore ha il compito di mantenere la risposta dinamica (velocità esecuzione movimento) del manipolatore entro certi limiti, fissati da criteri di prestazione stabiliti a priori. La soluzione a questo problema è complicata da: Forze inerziali Accoppiamento tra i vari giunti Forza di gravità Carico Variabile Il problema della sintesi del sistema di controllo si risolve: 1) trovando il modello dinamico del manipolatore 2) usando il modello per sintetizzare la legge di controllo in conformità con le specifiche sulle prestazioni.

9 Solitamente nei sistemi industriali, il sistema di controllo tratta ogni giunto del braccio come un semplice servomeccanismo indipendente dagli altri. Questo approccio non è quello ottimale in quanto si trascura il moto e la configurazione istantanea dell intero braccio. Basse velocità nei movimenti Riduzione dello smorzamento nei servomeccanismi (oscillazioni) Tempi di attuazione più lunghi in presenza di carichi variabili Controllo dei giunti Per il controllo ad anello chiuso: - Ogni giunto è controllato indipendentemente - Il controllore del giunto è un PID. X, X Calcolo delle traiettorie Cin. inv. J -1 q. q.. q Controllore del giunto 1 Controllore del giunto 2... forze/momenti robot (sensori interni) C è un controllore per ogni giunto le variabili q indicate sono dei vettori Controllore del giunto n q. q.. q

10 Controllore del Braccio PUMA 6 GDL Per il braccio della serie PUMA 560, il regolatore consiste in un calcolatore DEL e sei micro-controllori Rockwell ciascuno con equipaggiato di encoder, convertitore DAC e amplificatore di corrente. Attraverso il terminale l operatore può impartire comandi al braccio attraverso il linguaggio VAL. Una volta che il comando VAL è stato decodificato la CPU interna esegue delle routine memorizzate nella Eprom.

11 Compito delle routine interne è quello di: Eseguire le trasformazioni di coordinate, per esempio dato un punto dell ambiente esterno vengono ricavate le coordinate del giunto o viceversa Pianificazione delle traiettorie interpolate dei giunti (ogni giunto aggiornato ogni 28ms) Accertamento che il comando è stato eseguito su ogni singolo giunto. Ogni servomeccanismo è controllato attraverso un regolatore PID: I guadagni dei PID sono costanti, questo risulta essere un problema specialmente in condizioni di carico variabile, infatti il robot Puma a velocità ridotte risulta essere soggetto a forti vibrazioni. Funzione di trasferimento del singolo GIUNTO Solitamente nei manipolatori azionati elettricamente, ogni giunto è mosso da un motore a corrente continua a magneti permanenti. Questo tipo di attuazione offre grossi rapporti momento/potenza e uniformità di funzionamento a basse velocità. Lo schema elettromeccanico di un singolo giunto può essere rappresentato come figura: V, L, R, i a e : Forza controelettromotrice b τ :Coppia M M M L, f : Momento di inerzia mot. riferito all'albero motore : Momento di inerzia car.riferito all' albero di carico M a ϑ, ϑ f J J N L L, N : Grandezze d'armatura erogata dal motore : Posizione angolare motore, carico : Coeff. attrito viscoso L a a : Numero denti di ingresso euscita

12 La distanza lineare percorsa dagli ingranaggi è la stessa, e i raggi degli ingranaggi sono proporzionali al numero di denti: Derivando rispetto il tempo: Considerando la coppia dissipata sul carico e quella dissipata all interno del motore possiamo dire che la coppia generata dal motore è: Dove: Per il principio di conservazione del lavoro: il lavoro eseguito dal carico riferito all albero di carico deve essere uguale al lavoro fatto dal carico riferito all albero motore (*):

13 Sostituendo si ottiene: in Quindi Dove sono momento di inerzia e coefficiente di attrito viscoso effettivi (motore + carico) riferiti all albero motore. Sappiamo (elettrotecnica) che la coppia sviluppata dal motore e proporzionale alla corrente di armatura: La parte elettrica del motore sarà descritta da: Dove la forza contro-elettromotrice è proporzionale alla velocità angolare del motore: Trasformando secondo Laplace e risolvendo rispetto la corrente:

14 Trasformando secondo Laplace anche l eq. di coppia effettiva: La coppia generata dal motore (secondo le eq. della parte elettrica) trasformata: Ma, queste due coppie devono coincidere, quindi: La costante di tempo della parte elettrica del motore può essere trascurata rispetto la costante di tempo meccanica, quindi possiamo trascurare l induttanza L a : dove

15 Utilizzando il rapporto di riduzione dell ingranaggio possiamo ottenere la funzione di trasferimento del manipolatore a singolo giunto che mette in relazione la tensione applicata al motore con lo spostamento angolare del giunto: Regolatore di posizione per singolo GIUNTO Lo scopo del regolatore è fare in modo che lo spostamento del giunto insegua uno spostamento desiderato. La tecnica di regolazione è fondata sull errore di posizione angolare del giunto. Si applica al motore una tensione direttamente proporzionale all errore di posizione. Dove K p è il guadagno di reazione all errore di posizione. La funzione di trasferimento ad anello aperto del manipolatore a singolo giunto è rappresentata in figura: τ ( t ) = sϑm ( sj eff + feff ) Retroazione Intrinseca

16 Trasformando secondo Laplace la legge di controllo: E sostituendo nella FDT del manipolatore a singolo giunto, si ottiene la FDT ad anello aperto che mette in relazioni lo spostamento con l errore di posizione del giunto: Adesso possiamo chiudere l anello di controllo ottenendo lo schema: E(s)

17 Come si può notare dalle equazione il sistema ad anello chiuso è del secondo ordine, ed è quindi stabile se tutti i suoi parametri sono positivi (fondamenti di automatica). 1. Per ridurre il tempo di risposta, e ridurre l errore a regime è possibile aumentare il guadagno proporzionale K p (instabilità). 2. E possibile introdurre degli smorzamenti artificiali nel sistema aggiungendo nel controllore anche una derivata dell errore di posizione (PD). Usando questa legge di controllo è necessario misurare oltre alla posizione del giunto anche la sua velocità. La velocità desiderata si può ottenere dalle equazioni che descrivono le traiettorie nello spazio dei giunti (es quelle cubiche). Ora nella FDT del sistema ad anello chiuso è presente anche uno zero. Al variare di questo zero (-K v /K p ) varia l overshoot e il tempo di assestamento del sistema.

18 Robot Industriali (Breve Panoramica) Il numero di robot venduti nel mondo è stimato a: (N.B. ABB, ad oggi 2005, dice di averne venduti )

19 Nel 2000, in Italia, le aree applicative predominanti sono risultate: manipolazione: ( asservimento macchine, assemblaggio) (3066 robot, 61% unità) saldatura (1018 robot, 20% unità) misura (7%) altre (12%) Robotica Industriale in Italia George Devol e Engelberger fondano nel 1956 la prima azienda di Robotica UNIMATION (USA) Aziende produttrici nel Mondo ABB (Nata in Europa dalla fusione della svedese ASEA e della svizzera BBC, leader nella Robotica) FANUC (USA-Giapponese, 1986) STÄUBLI (Europea, 1989, compera la Unimation) ADEPT (1983, USA) MOTOMAN (USA, 1989) KUKA (Tedesca) KAWASAKI (1969, Giapponese)

20 Installazioni Esempio Manipolatore ABB: - E il robot più utilizzato al mondo (14000 installazioni)

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22 Sicurezza nei Robot I "sistemi di sicurezza" principali presenti in una cella robotica si suddividono in: barriere fisiche: reti, barre luci lampeggianti sistemi elettronici: rilevano la presenza di di un intruso nello spazio di lavoro del robot segnali di pericolo sistemi intelligenti: sono in grado di arrestare il robot o di alterare automaticamente la traiettoria Filmati Robots ABB, task coordinato - Controllo di forza sull End-Effector - Fase prototipale Robot della Fanuc per assemblaggio e saldatura. - Robot Antropomorfo su carrello automatizzato

23 Piattaforme Multi-robot per Saldatura MotoMan Piattaforma Multi-robot Verniciatura MotoMan Sistemi di movimentazione MotoMan, Kawasaki - Robot Cartesiani Rifiniture Meccaniche ABB