Esercizi di riepilogo

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1 1471 D(x+ 1, 4) - D(x, 2) < 5D(x, 3) [x=3 e,= [x 2': 4, x E [x = 5; x = 6 e x = Esercizi di riepilogo 150 Al tennlle di una cena di fine anno organizzata dalla società, i 15 dipendenti si scambiano gli aug;~'- con una stretta di mano. Quante strette di mano vengono scambiate, supponendo che ognuno stric= la mano a tutti gli altri? 151 _-\l ::lomento dell'apertura di un parcheggio contenente 50 posti macchina, entrano 45 macchine. C;:- e:::::.. '1are in quanti modi possono restar liberi i 5 posti rimanenti. [21187 [1 " 152 ~3 C<L"5afortesi apre con un codice decimale di 3 cifre due dispari scelte tra {l; 3; 5; 7; 9} e una p:>scdè]. ùa {O:4; 6; 8}. Qual è il numero massimo di tentativi per aprire la cassaforte:> [3C 1521 t)'..:::;ostrare con un ragionamento combinatorio che vale l'uguaglianza: sto i U3. '.!:'_ =.3.::::0 di 52 carte, calcolare quante coppie si possono formare estraendo: a. ~ ca::e contemporaneamente; -:e successivamente. [a. 1326; b.265_ C:;:;.?:-.:"i0:~0\iene etichettato con una sequenza di barre sottili, medie e spesse. Quanti prodotti po:=; e.5--.ereeiichettati se si hanno a disposizione 4 barre sottili, 3 spesse e 5 medie:> [2772 ' ::-:.:::::.?i cii -+ lettere diverse si possono formare con II lettere dell'alfabeto? --~ sc'~"" ~...odi possibili di servire 4 pietanze? [14364 [2- ~.d:::.-.,' :=;ipossono formare con la parola TAMARA e quanti di essi hanno le tre A disposte [120; 2- -e é. gilitine a 3 bambini, in quanti modi è possibile farlo? [2 6 :::.:~oc::.::e. calcolare quante coppie si possono formare estraendo: a. :::':::TIée5'.1.::::es:,-::'-J.::::.e::le :=;erlare immissione della prima; b. = C3.r"'..e "'-!:::::e:s.,,~ -3..=.e~tecon reimmissione della prima [a. 1560; b. 1600

2 = 5-1~ 161 Date 12 rette di cui 5 parallele e le altre incidenti 2 a 2, determinare il numero dei punti di intersezione. [ Quanti numerj di telefono di sette cifre cominciano con 5124? Tra questi calcolare: a. quanti terminano con cifre diverse; b. quanti hanno le ultime tre cifre diverse da 1,3,5; c. quanti terminano con 9. [1000; a. 720; b.343;c. 100J 163 Un'urna contiene palline numerate da 1 a 25. Si estraggono successivamente 3 palline, senza rimettere le palline estratte nell'urna a. Quante sono le possibili teme ordinate di numeri che si ottengono? b. Quante eli queste sono formate da numeri pari? c. Quante teme sono formate dalle prime due palline con numeri pari e dalla terza con un numero dispari? [a ; b. 1320; c. 1716J 164 Un insieme A contlene n elementi. Quanto vale 11 sapendo che ilnumero dei sottoinsiemi di 8 elementi di A è uguale al numero dei sottoinsiemi di 10 elementi? [18] 165 Stabilire in quanti modi si possono sistemare 4 oggetti in 6 scatole nei seguenti casi a. gli oggetli sono distinguibili fra loro e in ogni scatola deve essere posto, al massimo, un oggetto; b. gli oggetti sono distinguibili fra loro e in ogni scatola si possono mettere anche più oggetti; c. gli oggetti sono indistinguibili fra loro e in ogni scatola deve essere posto, al massimo, un oggetto; d. gli oggetti sono indistinguibili fra loro e in ogni scatola si possono mettere anche più oggetti [a. 360; b. 1296;c. 15; d. 126] 166 Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A = {l: 5: 3: 8P 167 Quanti numeri di due cifre si possono formare con gli. elementi dell'insieme A = {I; 5; 3; 8P [l6j 168 In quanti modi 3 diverse persone possono sedersi sulle 3 poltrone di una fila di un palco a teatro? [6J 168 Un barman ha a disposizione 4 liquori base; quanti cocktail può ottenere mescolandone 3 alla volta? [4J 170 Sia A = {'V, 0} Quante sequenze di 3 simboli si possono formare scegliendo gli elementi in Aì [8] 171 Quanti sono gli anagrammi della parola AFA? [3J 172 In quanti modi diversi quattro persone possono occupare quattro di cinque posti numerati? [120] 173 Sia A = {l; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a. Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con i numeri dell'lnsieme A? b. Quanti di questi numeri sono dispari? c. Quanti numeri terminano con 9? d. Quanti numeri sono maggiori di 7007 [a. 504; b. 280; c. 56; d. 168J

3 19. -~--~- _ ~---- ~- - -~~ Quanti anagrammi si possono formare con la parola PRELlBATO? Quanti di questi anagrammi finiscono con ATO? [362880: 720J 175 Quanti temi si possono formare con i 90 numeri del Lotto? Quante quaterneì [ : ] 176 A un concorso per due posti di impiegato, rispettivamente negli uffici del magazzino e del personale di un'azienda, partecipano 15 concorrenti. In quanti modi possibili tra i concorrenti vi possono essere due vincitori? [210] 177 Determinare quanti. colori si possono ottenere combinando in tutti i modi possibili i sette colori dell'iride [127] 178 l geni (cioè i portatori di caratteri ereditari) compaiono in coppia in ogni cellula di un individuo. Nel caso più semplice ogni gene può presentarsi sotto due forme distinte (dette allelo che indichiamo con Al e A 2 Possiamo auora rappresentare questi Lre tipi. diversi di geni (detti genotipi) come Quanti genotipi fornisce un gene con tre alleli? [6] 179 Sei amici, tre uomini e tre donne, si recano a teatro dove hanno prenotato una fila di 6 posti consecutivi. Se si vogliono sedere alternandosi uomini e donne, quante sono le possibili sistemazioni? [72] 180 In quanti modi un gruppo di sette persone si può disporre: a. in sette sedie allineate? b. intorno a un tavolo circolare? [a : b. 720] 181 In quami modi diversi quattro ragazzi e tre ragazze possono occupare una fila di sette posti supponendo che i ragazzi stiano tutti insieme (occupino posti vicini) e le ragazze stiano tutte insieme (occupino posti \icini)ì 1288] 182 Un'agenzia turistica organizza viaggi che prevedono la visita a 3 fra 10 prestabilite città. Calcolare a. in quanti diversi modi un turista può scegliere le quattro città; b. in quanti diversi modi l'agenzia può fissare gli itinerari. la. 210: b ] 183 (x+ 3)! - 6(x+ 1)1 = 6(x+ 2)1 [4J 184 D(x+ 1, 3)+D(x+2, 3)= 105(x+ 1) [7] [4] 187 D(x, 4) + D(x, 3) 2': D(x+ 1, 3) [x 2': 5, \ E' r ] [91

4 Esercizi di approfondimento Esercizi uerso l Esame di Stato Un uomo ha il Lempo di giocare cinque volte alla roulette Egli vince o perde un euro per volta. L'uomo comincia a giocare con due euro e si fermerà prima di aver giocato cinque volte se perderà tutti i suoi soldi o se vincerà tre euro (cioè quando avrà in tutto cinque euro). Trovare il numero dl modi in cui il gioco può risolversi. [20] 2 Ci. sono 6 strade che collegano la città A alla città B e 4 strade tra B e la Cillà C a. In quanti modi si può andare da A a C passando da B7 b. In quanti modi si può andare e tornare da A a C passando da Bì c. In quanti modi si può andare da A a C e ritornare ad A senza usare la stessa strada più di una volta ì [a. 24: b. 576; c. 360J 3 Una grigua è formala da un quadrato ABCD Indichiamo con E, F, G, H rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, AD e con S ilcentro del quadrato. Uniamo S con i punti medi dei lati Una formica parte da A, si muove lungo la griglia, facendo un tratto per volta e si ferma quando per continuare deve toccare uno stesso punto più di una volta Trovare il numero di modi in CUlpuò percorrere la griglia se prima va da A a H fl0 1 4 Ogni anno in una Università si sceglie una delegazione di 4 studenti che partecipa alnncontto annuaie dell'associazione NaZiOnale Studenti Universitari. Quest'anno gli studenti eleqqibili sono L. a. In quanti modi può essere formata la delegazione? b. In quanti modi può essere formata la delegazione se due degli studenti eleggibili non vogliono partecipare insieme all'incontro 7 c. In quanti modi può essere [armata la delegazione se due degli studenti eleggibili partecipano solo se possono farlo insieme? [a. 495; b. 450; c. 255] 5 (Problema assegnato alla Maturità nei Licei della Comunità Europea) Un apparecchio è costituito da sei riquadri numerati e da un pulsante A. Premendo il pulsante A, si illuminano, a caso, quattro di questi riquadri. Considerate la quaterna costituita dalle quattro cifre illuminate, lette da sinistra verso destra a. quante sono le quaterne che si possono ottenere con il procedimento indicato? b. di queste qualeme, quante sono quelle che hanno 6 come ultima cifra ì [a. 15: b. 10] Dalle maturità passate 6 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione ordinaria, Problema 4) Dimostrare l'identità (n)=(n-l)+(n-l). h h h-l 7 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione suppletiva, Quesito 3) Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti: ~ ( ;~) = [20] GG

5 8 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione ordinaria, Quesito 1) Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre ì [306] 9 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione ordinaria, Quesito 9) Considerare una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90. [109736] 10 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione ordinaria, Quesito 6) Come si definisce nl (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? legame con i coefficienti binomiali? Perché? Quale è il suo 11 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione suppletiva, Quesito 9) Le parti letterali dei termini dello sviluppo del binomio (a + b)lo, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, sono rispettivamente: alo, a9b, a8b2, a'b3, a6b+, a5b5, a+b6, a'bi, alb8, ab9, bio Elencare i loro coefficienti e giustificare in modo esauriente la risposta. 12 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione suppletiva, Quesito lo) Una classe è formata da 27 alunni 15 femmine e 12 maschi. Si deve costituire una delegazione di 5 alunni, di cui 3 femmine e 2 maschi. Quante sono le possibili delegazioni? [30030] 13 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione suppletiva, Quesito 5) Dimostrare che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b)" è uguale a 2" per ogni 11 E N. 14 (Esame di Stato Liceo Scientifico, sessione suppletiva, Quesito lo) Cinque ragazzi sono contrassegnati con i numeri da 1 a 5. Altrettante sedie, disposte attorno a un tavolo. sono contrassegnate con gli stessi numeri. La sedia «1», posta a capo tavola, è riservata al ragazzo «h, che è il caposquadra, mentre gli altri ragazzi si dispongono sulle sedie rimanenti in maniera del tutto casuale. Calcolare in quanti modi i ragazzi si possono mettere seduti attorno al tavolo [24] 15 (Esame di Stato Liceo Scientifico, Risoh-ere la disequa::ione: sessione suppletiva, Quesito lo) [x 2': 25, x E N] Esercizi (la gara 16 (Gare a squadre di Cesenatico, 2006) Il collezionista Il professor Primon fa una strana collezione di manufatti di matemagia oscura. Si tratta di tetraedri regolari che hanno facce tutte colorate di un solo colore (diverso per ogni faccia), e i colori vengono scelti da una gamma di 20 colori diversi. Il professor Primon possiede già un elemento di questa collezione e ne compra un altro, poi toma a casa, lo capovolge, lo ruota sulla base, e si accorge che in realtà è un doppione. Quanti pezzi conta in totale la collezione? (Due pezzi, ottenibili l'uno dall'altro mediante rotazioni, sono da considerarsi lo stesso) [9690]

6 17 (Giochi di Archimede, biennio) Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre in cui compare una e una sola volta la cifra 5 ed essa è la cifra più grande presente nel numero? a 225 LQ.J 400 Cf 525!il 600 [c] l B CI Disfida Online, 2008) La codifica Un sistema di codifica (per la verità assai patocco) cambia casualmente ogni lettera con la precedente (nell'alfabeto circolare) oppure con la successiva, con l'accortezza però di non produrre mai due lettere uguali in ogni parola codificata. Secondo queste regole, quante codifiche possibili esistono della parola DISFIDA? [16] 19 (Gare a squadre di Cesenatico, semifinale A) Il forziere fantasma Non è semplice aprire lo scrigno che custodisce il cuore di Davy Jensen il prode Will Turing dispone già della chiave, ma ora è in crisi, perché ha scoperto che lo scrigno ha ben 4 serrature (una per lato) Per fortuna la chiave in suo possesso va bene per tutte le serrature, ma, per sbloccare il meccanismo che apre lo scrigno, bisogna [ar fare due giri a ogni serratura, in un ordine preciso che Will non conosce; sa solo che la prima serratura a essere girata deve essere uguale all'ultima Per quante volte Will dovrà, al massimo, provare a sbloccare il meccanismo per essere sicuro di aprire lo scrigno? [360] 20 (VI Disfida Online, 2010) Il baule di Malocchio Ilbaule dell'amor Alastor «Malocchio» Moody, oltre che sette serrature, possiede anche un codice di sicurezza a sette cifre Ogni cifra può essere 0,1,2,3; inoltre, dato che Malocchio è superstizioso, sicuramente ha scelto un codice in cui compaia un numero dispari di zeri. Quanti sono i possibili codici? [8128] 21 CI Disfida Online, 2008) La scacchiera Una torre si muove su una scacchiera 8 X 8 nel solito modo (orizzontale e verticale) e deve andare dalla casella in basso a sinistra a quella in alto a destra seguendo un percorso minimo ed effetluando esattamente quattro cambi di direzione. Quanti percorsi diversi può eseguire? l180] 22 (Gare a squadre di Cesenatico, finale) Per una mano in più A causa dei continui duelli, la probabilità che un 7[-rata perda una mano in un combattimento è estremamente elevata Per questo motivo, nella comunità dei 7[-rati la base eh numerazlone decimale è sostituita dalla numerazione in base 5. Ragetti, il mozzo dall'occhio di legno, sta facendo il seguente gioco scrive su un foglio tutti i numeri che, in base cinque, si scrivono utilizzando una e una sola volta tutte le cifre da zero a quauro (lo zero può essere anche in posizione iniziale) Infine, calcola la media di tutti i numeri che ha scritto. Che numero ha ottenuto, in base IO? [1562] 23 (AIME,2011) I vertici di un ennagono regolare elevano essere contrassegnati con le cifre da 1 a 9 in modo cile somma dei numeri su tre qualsiasi vertici consecutivi sia multipla di 3. Due configura::ion sono considerate indistinguibili se una può essere ottenuta dall'altra ruotando rennago-- - Determinare il numero di. configurazioni accettabili distinguibili