Soluzioni degli esercizi del Capitolo IV

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1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo IV 4 Siano n, m Z e sia d MCD(n, m) (i) Verificare che n, m { nt + ms, t, s Z } (ii) Verificare che n, m d (iii) Sia H un sottogruppo di (Z,+) Verificare che H n, con n Z Soluzione (i) L insieme H 0 : { nt + ms, t, s Z } è un sottogruppo di (Z,+) Infatti risulta: H 0 H 0 H 0 [essendo nt + ms (nt + ms )n(t t )+m(s s ) H 0 ] Se H Z e H n, m, allora H nt + ms, t, d Z e quindi H H 0 Si conclude che n, m H0 (ii) Sia d an + bm [identità dibézout] Allora dt atn + btm n, m, t Z Perciò d n, m Viceversa, posto n : dn,m: dm, allora nt + ms (n t + m s)d d e quindi n, m d (iii) Sia H un sottogruppo di (Z,+) Se H {0}, allora H 0 Sia H {0} Allora H N + e sia n : min(h N + ) Per ogni t H: t qn + r, con 0 r<n Allora r t qn H Per la minimalità di n, r 0 Ne segue che t hn e quindi t n Allora H n L inclusione opposta è ovvia 4 Sia G un gruppo finito e sia H un sottoinsieme non vuoto di G Verificare che H G H H H Soluzione ( ) È ovvio ( ) Basta verificare che H H H Poiché G n<, risulta che (h) n, h H Posto t : (h), ne segue che t< Da h t, segue che hh t Allora h h t H È quindi provato che H H Ne segue che H H H H H 43 Sia L {lg(n), n N, n } Si denoti con L il sottogruppo di (R, +) generato da L Verificare che L (Q +, ) [con Q + {q Q : q>0}] Soluzione Il sottogruppo L è formato dai numeri reali del tipo s r i lg(n i ), s 0, r i Z, n i N, n i > 0 i L applicazione lg stabilisce un isomorfismo tra i gruppi (R +, ) e(r, +) [infatti lg(ab) lg(a)lg(b), a, b > 0] Poiché (Q +, ) è un sottogruppo di (R +, ), lg(q + )è un sottogruppo di (R, +), isomorfo a(q +, ) Basta allora verificare che L lg(q + ) Infatti: - essendo L lg(q + ) allora L lg(q + ); - q n m Q+ (n, m > 0), si ha: lg(q) lg(n) lg(m) L Dunque lg(q + ) L 44 Per ogni n sia C n il gruppo delle radici n esime dell unità e sia C : C n Sia inoltre U { z C : N (z) } (numeri complessi di norma ) (i) Verificare che C è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo dei complessi (C, ) (ii) Verificare che C { z C : (z) < } (iii) Verificare che U è un sottogruppo di (C, ) (iv) Verificare che C è un sottogruppo di U Perché C U? n

2 5 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA Soluzione (i) Siano z,z C Esistono n,n N + tali che z n z n Allora: (z z ) n n z n n z n n (z n )n (z n )n n n Dunque z z C Ovviamente C C Se infine z C e z C n, allora z C n e quindi z C (ii) Sia z C Se z C n, allora (z) n e dunque (z) < Viceversa, se (z) < e (z) m, allora z C m e dunque z C (iii) Siano z,z U Dunque N (z )N (z ) Allora N (z z )N (z )N (z ) e dunque z z U Ovviamente U Infine N ( z ) N (z) e dunque z U (iv) Per ogni z C, z n ( n ) Dunque N (z n )N (z) n Poiché N (z) R +, da N (z) n segue N (z) [l unica radice reale e positiva di è ]: dunque z U Si noti che C ha cardinalità N [infatti è unione di un infinità numerabile di insiemi finiti], mentre U ha cardinalità R Dunque C <U 45 Nel gruppo S 4 sono assegnati i tre sottogruppi H (, ), H (3, 4), H 3 (, 4) (i) Verificare che H H è un sottogruppo di S 4 ed è un gruppo di Klein (ii) Verificare che H H 3 non è un sottogruppo di S 4 eche H H 3 S 3 (iii) Posto H H H H 3, verificare che H contiene tutti i 3-cicli di S 4 Cosa se ne deduce? Soluzione (i) Risulta: H H {(), (, ), (3, 4), (, )(3, 4)}, H H {(), (3, 4), (, ), (3, 4)(, )} Poiché H H H H, allora H H è un sottogruppo di S 4 Tale sottogruppo ha tre elementi di periodo e quindi è isomorfo ad un gruppo di Klein (ii) Risulta : H H 3 {(), (, ), (, 4), (, )(, 4) (,, 4)} Non si tratta di un sottogruppo di S 4 Infatti (,, 4) 3 non divide l ordine di H H 3 Ovviamente H H 3 (), (, ), (, 4) (, ), (, 4) Tale sottogruppo contiene, oltre a (), (, )e(, 4), anche le permutazioni (,, 4) (, )(, 4), (, 4, ) (,, 4), (, 4) (,, 4)(, ) Dunque H H 3 S({,, 4}) H H 3 e pertanto H H 3 S({,, 4}) S 3 (iii) Risulta: H H H H 3 (, ), (3, 4), (, 4) Il sottogruppo H contiene i 3-cicli: (, )(, 4) (,, 4) e quindi (, 4, ) (,, 4) ; (, 4)(3, 4) (, 3, 4) e quindi (, 4, 3) (, 3, 4) ; (,, 4)(, 4, 3)(,, 3) e quindi (, 3, ) (,, 3) ; (,, 3)(, 4, )(, 3, 4) e quindi (, 4, 3) (, 3, 4) Dunque H contiene tutti gli otto 3-cicli di S 4 È noto che il gruppo alterno A 4 è generato dai 3-cicli Dunque A 4 H Ma H contiene anche permutazioni dispari (ad esempio i suoi tre -cicli generatori) Dunque A 4 <H Si conclude che H S 4 46 In S sono assegnate le tre permutazioni a ( 3)(4 5), b (3), c ( ) 5 (i) Verificare che a, b C 6 (ii) Verificare che a, c D6 (iii) Verificare che b, c S3

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 53 Soluzione (i) Poiché (a) 3 6, risulta: a {, a,a,a 3,a 4,a 5 } Si ha: a (3), a 3 (45), a 4 (3), a 5 ( 3 )(4 5) Poichè b ( 3) a 4, allora a, b a C 6 (ii) Risulta: (a) 6, (c) ; inoltre c a e ca a 5 c Si conclude che a, c {, a,a,a 3,a 4,a 5, c, ac, a c, a 3 c, a 4 c, a 5 c} [con a 6 c, ca a 5 c] Tale gruppo è manifestamente isomorfo al gruppo diedrale D 6 ϕ, ρ ϕ 6 ρ,ρ ϕ ϕ 5 ρ Per ottenere un isomorfismo tra i due gruppi, basta definire f : a, c D 6 tale che f(a) ϕ, f(c) ρ [e poi estendere f agli altri elementi, in modo che sia un omomorfismo] (iii) Poiché (b) 3, (c) e poiché cb b c (, 3), allora b, c {, b,b, c, bc, b c} Si tratta di un gruppo non abeliano di ordine 6 Dunque b, c S 3 Un isomorfismo f : b, c S 3 è ottenuto ponendo f(b) (,, 3), f(c) (, ) [e poi estendendo f agli altri elementi, in modo che sia un omomorfismo] 47 Determinare le permutazioni di S 5 aventi struttura ciclica ( )( ) e quelle aventi struttura ciclica ( )( ) Soluzione Le permutazioni di tipo ( )( ) in S 5 sono in corrispondenza biunivoca con i 3-cicli di S 5 Infatti, posto X {,, 3, 4, 5}, ad ogni 3-ciclo (a, b, c) S 5, resta univocamente associata la permutazione (a, b, c)(d, e), con {d, e} X {a, b, c} I 3-cicli di S 5 sono ( 5 3) (3 )! 0 Pertanto le permutazioni di S5 con struttura ciclica ( )( ) sono 0, cioè: (,, 3)(4, 5), (,, 4)(3, 5), (,, 5)(3, 4), (, 3, 4)(, 5), (, 3, 5)(, 4), (, 4, 5)(, 3), (, 3, 4)(, 5), (, 3, 5)(, 4), (, 4, 5)(, 3), (3, 4, 5)(, ), (, 3, )(4, 5), (, 4, )(3, 5), (, 5, )(3, 4), (, 4, 3)(, 5), (, 5, 3)(, 4), (, 5, 4)(, 3), (, 4, 3)(, 5), (, 5, 3)(, 4), (, 5, 4)(, 3), (3, 5, 4)(, ) In S 4 le permutazioni aventi struttura ciclica ( )( ) sono 3, cioè (, )(3, 4), (, 3)(, 4) e (, 4)(, 3) In S 5 le permutazioni aventi struttura ciclica ( )( ) sono ottenute eliminando di volta in volta da X {,, 3, 4, 5} un elemento e scrivendo le tre permutazioni sui quattro elementi rimasti Sono quindi 5 3 5, cioè: (, )(3, 4), (, 3)(, 4), (, 4)(3, ), (, )(3, 5), (, 3)(, 5), (, 5)(, 3), (, )(4, 5), (, 4)(, 5), (, 5)(, 4), (, 3)(4, 5), (, 4)(3, 5), (, 5)(3, 4), (, 3)(4, 5), (, 4)(3, 5), (, 5)(3, 4) 48 (i) Calcolare il numero delle permutazioni in S 6 che sono prodotto di un 3-ciclo e di un -ciclo disgiunti (ii) Dedurre da (i) una formula che permetta di calcolare il numero delle permutazioni in S n che sono prodotto di un k-ciclo e di un h-ciclo disgiunti, con k>h (e ovviamente h + k n) Soluzione (i) Si scelga in S 6 un 3-ciclo (a, b, c), con a, b, c X : {,, 3, 4, 5, 6} Esso andrà poi moltiplicato per un -ciclo (d, e), con d, e X {a, b, c}; per la scelta di tale -ciclo si hanno ovviamente 3 possibilità

4 54 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA Come noto, i 3-cicli di S 6 possono essere scelti in ( 6 3) (3 )! 40 modi diversi Moltiplicando ognuno di essi per uno dei 3 possibili -cicli, si ottengono complessivamente permutazioni del tipo cercato (ii) I k-cicli di S n sono ( n k) (k )!, mentre gli h-cicli scelti in un gruppo Sn k (con n k h) sono ( n k h (h )! Complessivamente si hanno n n k ) k)( h (k )! (h )! permutazioni che sono prodotto di un k-ciclo per un h-ciclo disgiunti Tali permutazioni sono a due a due distinte in quanto k>h 49 Determinare tutte le strutture cicliche in S 6, le cui permutazioni abbiano periodo 8 Indicare di ciascuna la parità Soluzione Si ricorda che, se la permutazione σ S n è espressa come prodotto di cicli disgiunti γ γ γ t, allora (σ) mcm ( (γ ), (γ ),, (γ t ) ) Inoltre, perché i cicli γ i siano disgiunti, è t necessario che risulti (γ i ) n Si può infine assumere (visto che cicli disgiunti commutano) che i risulti (γ ) (γ ) (γ t ) Ciò premesso, sia σ S 6,σ γ γ γ t Deve essere t (γ i ) 6 e mcm ( (γ ), (γ ),, (γ t ) ) 8 i Perché sia verificata quest ultima condizione deve risultare: (γ )7, (γ )4 e σ può eventualmente possedere altri cicli il cui periodo sia divisore di 4 (ciò che non altera il mcm) Sono possibili i seguenti quattro casi (ciascuno dei quali rappresenta una distinta struttura ciclica): σ γ γ, σ γ γ γ 3, con (γ 3 )4, σ 3 γ γ γ 4, con (γ 4 ), σ 4 γ γ γ 5 γ 6, con (γ 5 ) (γ 6 ) Ricordato che ogni k-ciclo è prodotto di k trasposizioni, si ha: le permutazioni σ sono di classe dispari [esprimibili come un prodotto di 9 trasposizioni]; le permutazioni σ sono di classe pari [esprimibili come un prodotto di trasposizioni]; le permutazioni σ 3 sono di classe pari [prodotto di 0 trasposizioni]; infine, le permutazioni σ 4 sono di classe dispari [prodotto di trasposizioni]; 40 Sia A 4 il sottogruppo alterno di S 4 (i) Indicare gli elementi di A 4 (ii) Scelto in A 4 il 3-ciclo σ ( 3), determinare tutti i coniugati di σ in A 4 [Ovviamente σ σ in A 4 τ A 4 : τ στ σ ] Soluzione (i) A 4 è formata dalle dodici permutazioni di classe pari di S 4 Le strutture cicliche di S 4 di tipo pari sono ( ), ( )( )e( ) Le dodici permutazioni pari sono (), (, )(3, 4), (, 3)(, 4), (, 4)(, 3), (,, 3), (,, 4), (, 3, 4), (, 3, 4), (, 3, ), (, 4, ), (, 4, 3), (, 4, 3) Per ottenere la classe di coniugio [σ] A4 di σ (,, 3), bisogna calcolare τ στ, τ A 4 Si ha: ()(,, 3)() (,, 3), (, )(3, 4)(,, 3)(, )(3, 4) (, 4, ), (, 3)(, 4)(,, 3)(, 3)(, 4) (, 3, 4), (, 4)(, 3)(,, 3)(, 4)(, 3) (, 4, 3), (, 3, )(,, 3)(,, 3) (,, 3), (,, 3)(,, 3)(, 3, ) (,, 3), (, 4, )(,, 3)(,, 4) (, 4, 3), (,, 4)(,, 3)(, 4, ) (, 3, 4), (, 4, 3)(,, 3)(, 3, 4) (, 4, 3), (, 3, 4)(,, 3)(, 4, 3) (, 4, ), (, 4, 3)(,, 3)(, 3, 4) (, 3, 4), (, 3, 4)(,, 3)(, 4, 3) (, 4, )

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 55 Si conclude che [σ] A4 {(,, 3), (, 4, ), (, 3, 4), (, 4, 3)} [Si noti che la classe di coniugio di σ in S 4 è formata da tutti gli otto 3-cicli] 4 Sia T un triangolo isoscele non equilatero Indicati con, 3 i due vertici della base di T, verificare che Isom(T) (, 3) Soluzione Essendo T un triangolo, Isom(T) S 3 Si osserva subito che (, 3) è indotta dalla riflessione di asse la retta r bisettrice del vertice Dunque (, 3) Isom(T) Per concludere, basta verificare che (, ), (, 3), (,, 3), (, 3, ), Isom Isom(T) Ci limitiamo a verificare che (, ), (,, 3) Isom Isom(T) Se per assurdo (, ) Isom Isom(T), esisterebbe un isometria g Isom Isom(T) tale che g(), g(), g(3) 3 In particolare g trasforma il lato 3 nel lato g()g(3) 3 Ciò è assurdo in quanto un isometria conserva le distanze ed i lati in questione hanno lunghezze diverse [Analogamente si verifica che (, 3) Isom Isom(T)] Se per assurdo (,, 3) Isom Isom(T), esisterebbe un isometria h Isom Isom(T) tale che h(), h() 3, h(3) In particolare h trasforma il lato nel lato h()h() 3 Si conclude come nel caso precedente [Analogamente si verifica che (, 3, ) Isom Isom(T)] 4 Verificare che il gruppo ( U(Z 50 ), ) è ciclico e determinarne tutti i generatori Determinarne poi gli eventuali elementi di periodo 4 Soluzione Risulta: U(Z 50 ) ϕ(50) ϕ()ϕ(5) (5 5) 0 Si ha: U(Z 50 ){, 3, 7, 9,, 3, 7, 9,, 3, 7, 9, 3, 33, 37, 39, 4, 43, 47, 49} Calcoliamo (3) Poiché (3) 0, allora (3) {, 4, 5, 0, 0} Si ha: 3 9 ; ; ; Dunque (3) 0 e pertanto U(Z 50 )è ciclico, di ordine 0, con generatore 3 Osserviamo che U(Z 50 )haϕ(0) generatori Essendo ϕ(0) ϕ(4) ϕ(5) 8, U(Z 50 ) ha quindi 8 generatori Si tratta delle potenze 3 k, con MCD(k, 0) Dunque i generatori sono Si ha: 3, 3 3, 3 7, 3 9, 3, 3 3, 3 7, , , , , , , Gli elementi di periodo 4 sono ϕ(4) Vanno cercati tra i non generatori di U(Z 50 ) Il primo non generatore ( ) è 7 Si ha: 7 49, 7 4 Dunque (7) 4 L altro elemento di periodo 4 è 7 3 Si ha: [Esame 0/6/03] (i) Costruire il reticolo dei sottogruppi del gruppo (U(Z 5 ), ) degli elementi invertibili di Z 5

6 56 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA (ii) Verificato che tale gruppo possiede tre sottogruppi di ordine, costruire i tre quozienti relativi a tali sottogruppi e verificare se sono tra loro o meno isomorfi In caso affermativo descrivere esplicitamente un isomorfismo Soluzione (i) Risulta: U(Z 5 ) {,, 4, 7, 8,, 3, 4 } I suoi sottogruppi ciclici propri sono: { } { } { },, 4, 8 8, 4, 4, 7, 7, 4, 3 3, { } { }, e 4, 4 Inoltre, essendo 44, il gruppo U(Z 5 ) ammette il sottogruppo (non ciclico e quindi) di Klein K {, 4,, 4 } (ii) I tre quozienti sono U(Z 5 ) / { } 4 {, 4}, 4 {, 8}, 7 4 {7, 3}, 4 {, 4} ; 4 U(Z 5 ) / { },, 4, 8 ; U(Z 5 ) / { } 4, 4, 4 4, Il primo è un gruppo di Klein [in quanto ha tre elementi di periodo ]; gli altri due sono ciclici, generati ad esempio dalla classe di Un isomorfismo ϕ : U(Z 5 ) / U(Z 5 ) / è ad esempio il seguente: 4 4, 4, 4 4 4, [Esame /7/03] (i) Nel gruppo S 5 determinare, se possibile, un sottogruppo isomorfo a ciascuno dei seguenti gruppi: Z 5, K Z Z (gruppo di Klein), S 3, Z 7, Z 6 (ii) Elencare le possibili strutture cicliche ed i relativi ordini degli elementi di S 5 (iii) Determinare una permutazione τ S 5 tale che risulti: σ τσ τ dove σ,σ Soluzione (i) Per ogni 5-ciclo (abcde) S 5, il sottogruppo (abcde) è ciclico di ordine 5 e quindi è isomorfo a Z 5 Scelte due permutazioni disgiunte (ab), (cd) S 5, l insieme { } (), (ab), (cd), (ab)(cd) è un gruppo di Klein Scelti un -ciclo (ab) e un 3-ciclo (abc), il sottogruppo (ab), (abc) { (), (ab), (ac), (bc), (abc), (acb) } è isomorfo a S 3 Non esiste in S 5 7 un elemento di periodo [in quanto 7 non divide S 5 5!] Dunque S 5 non ammette sottogruppi isomorfi a Z 7 Scelta infine la permutazione (abc)(de) S 5 [prodotto di cicli disgiunti], tale permutazione ha periodo 6 e dunque genera il gruppo (abc)(de), isomorfo a Z 6 (ii) Le strutture cicliche di S 5 sono le seguenti: ( ), ( ), ( ), ( )( ), ( ), ( )( ), ( ) e le corrispondenti permutazioni hanno rispettivamente periodo 5, 4, 3, 6,,, (iii) Risulta: σ ( 4 3)( 5), σ ( 5)( 4 3) Si può scegliere τ ( ) e risulta 3 4 5

7 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 57 τσ τ ( )( 5)( 4 3)( ) ( 4 3)( 5) σ 45 [Esame //04] Si consideri il gruppo di permutazioni S 9 (i) Determinare la struttura ciclica delle permutazioni σ S 9 di ordine 6 e classe dispari (ii) Determinare una permutazione τ S 9 tale che σ τ σ τ, con σ, σ (iii) Verificare se esistono quattro sottogruppi H,H,H 3,H 4 di S 9, che siano isomorfi rispettivamente ai seguenti gruppi: S 7, Z,D 5, Z 5 Soluzione (i) Una volta scritte tutte le possibili strutture cicliche di S 9, quelle di ordine 6 sono quelle in cui il mcm delle lunghezze dei cicli è 6 Si ottengono quindi le seguenti strutture cicliche: (6, 3), (6), (3, 3, ), (3,,, ), (3, ), (3,, ), (6, ) [ad esempio, (6, 3) corrisponde alla struttura ciclica ( )( ), ecc] Di tali strutture cicliche, soltanto le ultime due sono pari [la paritàè ottenuta sommando le lunghezze di ogni ciclo, diminuito di ] Le strutture cicliche di classe dispari e di ordine 6 sono dunque le prime cinque della lista precedente (ii) Si scelga, ad esempio, τ ( ), ovvero τ ( )( ) (iii) Si ponga ad esempio H {σ S 9 : σ(8) 8 e σ(9) 9} Non esiste alcun sottogruppo H Z, perché in S 9 non ci sono elementi di periodo Per ottenere un sottogruppo H 3 D5, basta associare ai vertici di un pentagono regolare le cifre,, 3, 4, 5 e rappresentare tramite permutazioni dei vertici i movimenti rigidi del pentagono Risulta: H 3 (345), ( 5)(3 4) Poiché Z 5 Z 3 Z 5, un sottogruppo H 4 Z 5 è ad esempio il gruppo ciclico ( 3)( ) 46 (i) Sia G un gruppo finito e sia m un divisore positivo dell ordine di G Se esiste un unico sottogruppo H di G di ordine m, verificare che H G (ii) Sia (G, ) un gruppo e siano H, K due suoi sottogruppi normali Verificare che se H K {}, i sottogruppi H, K commutano elemento per elemento, cioè risulta hk kh, h H, k K Soluzione (i) Sia x G e sia γ x l automorfismo interno di G corrispondente ad x L immagine γ x (H) xhx è un sottogruppo di G, avente ordine m (come H) Dall ipotesi, γ x (H) H, cioè xhx H, da cui xh Hx Si conclude che H G (ii) Si consideri l elemento h k hk G (detto commutatore di h, k) Basterà dimostrare che h k hk (e da ciò si deduce subito che hk kh) { { h (k hk) k hk k Hk H (perché H G), Si ha: h k hk Inoltre (h k h) k h k h h Kh K (perché K G) Si conclude che { H H H h k hk K K K e dunque h k hk H K {} 47 Sia (G, ) un gruppo e siano H, K due suoi sottogruppi permutabili elemento per elemento (i) Verificare che se H K {}, allora HK H K (ii) Verificare che se H, K sono finiti ed hanno ordini relativamente primi, allora H K {} e quindi HK H K Soluzione (i) È ben noto che HK è un sottogruppo di G È definita l applicazione ϕ : H K HK tale che ϕ((h, k)) hk, h H, k K Verifichiamo che ϕ è un omomorfismo di gruppi Risulta, (h, k), (h,k ) H K:

8 58 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA ϕ ( (h, k)(h,k ) ) ϕ ( (hh,kk ) ) hh kk hk h k ϕ((h, k)) ϕ((h,k )) L applicazione ϕ è ovviamente suriettiva Verifichiamo che è anche iniettiva Se infatti hk h k, allora h h k k H K {} Dunque h h,k k e pertanto h h,k k Abbiamo così dimostrato che ϕ è un isomorfismo tra HK e H K (ii) Sia H r, K s, con (r, s) Ogni elemento h H, h, ha per periodo un divisore di r e dunque (h) s Pertanto h K È così provato che H K {} L ultima affermazione segue da (i) Nota Si può facilmente verificare che, se H, K sono normali in G e H K {}, allora H, K sono permutabili elemento per elemento Se infatti h H, k K, posto x : hkh k basta verificare che x Infatti, essendo H, K normali in G: x h(kh k ) H (khk ) H H H Dunque x H K {} (hkh )k (hkh ) K K K K 48 (i) Sia G G G t il prodotto diretto di t gruppi (t ) Per ogni i,,t, sia g i G i un elemento di periodo finito Verificare che ( (g,g,,g t ) ) mcm ( (g ),, (g t ) ) (ii) Facendo ricorso alla formula precedente, calcolare il periodo di 33 Z 40 (iii) Se G,G, G t sono gruppi ciclici finiti, di ordini a due a due coprimi e se g,g, g t ne sono rispettivi generatori, verificare che G G G t è ciclico e (g,g, g t )neè un generatore Soluzione (i) Per semplificare le notazioni denotiamo con lo stesso simbolo l operazione di ogni gruppo G i e con l elemento neutro di G i ; allora (,, ) è elemento di neutro di G G G t Si ponga: n : ( (g,g,,g t ) ), n i : (g i ), m : mcm n,, n t Bisogna verificare che n m e m n Poiché n i m m, gi Dunque ( (g,g,, g t ) )m ( m m ) g,, g t (,, ) Ne segue che n m Viceversa, da ( (g,g,, g t ) ) n, segue che (,, ) ( (g,g,, g t ) )n ( n n ) g,,g t Allora n i n, i,, t, e dunque m n (per definizione di mcm) (ii) Essendo , il teorema cinese del resto induce l isomorfismo di gruppi additivi ϕ : Z 40 Z 3 Z 4 Z 5 Z 7 tale che ϕ(x) x 3, x 4, x 5, x 7 In particolare, ϕ(33) (0,, 3, 5) Z 3 Z 4 Z 5 Z 7 Risulta: (0) (in Z 3 ); () 4 (in Z 4 ); (3) 5 (in Z 5 ); (5) 7 (in Z 7 ) Quindi (33) mcm(, 4, 5, 7) [Nota Più rapidamente, (33) MCD(33,40) ] t (iii) G G G t ha ordine n i Da (i), ( (g,g,,g t ) ) mcm t n,,n t n i (essendo i i n, n t a due a due coprimi) Quindi G G G t è ciclico, con generatore (g,g, g t ) 49 Verificare che se (G, ) è un gruppo finito tale che per ogni divisore positivo d di G ammette al più un solo sottogruppo di ordine d, allora G è ciclico Soluzione Sia x G un elemento di periodo massimo in G Scelto arbitrariamente y G, sia (y) m Sono possibili due casi: m (x) oppure m (x) Proveremo nel primo caso che y x e verificheremo che nel secondo caso si ottiene un assurdo Ne consegue che G x

9 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 59 (a) Sia m (x) Esiste in x (perché è ciclico) un unico sottogruppo di ordine m D altra parte y m e quindi (per l ipotesi di unicità di sottogruppi di ordine m), y x Allora y x (b) Per ottenere l assurdo richiesto, faremo uso dei tre seguenti risultati: (i) Un sottogruppo unico del suo ordine in un gruppo finito G è normale in G (cfr Eserc 46(i)) (ii) Se H, K sono due sottogruppi normali in G, con H K {}, allora sono permutabili elemento per elemento e quindi H K HK (cfr Eserc 47) (iii) Se G,G sono gruppi ciclici finiti, con ordini coprimi, allora G G è ciclico, generato da una coppia di generatori dei due gruppi (cfr Eserc 48) r Si ponga: m p r t p s s e (x) p t p s s, con r i,t i 0 Poiché m (x), almeno un esponente r i è maggiore del corrispondente esponente t i ; assumiamo quindi r >t Si considerino i due elementi di G: x x p t, y / y p r y p r r p s s e se ne calcoli il periodo: t (x ) ) p t ( (x),p t p s s, (y ) MCD MCD (y) ( (y),p r p s r s ) p r Siccome MCD ( (x ), (y ) ), allora x y {} Da (i), i sottogruppi x, y (unici del rispettivo ordine) sono normali in G Dunque sono permutabili Da (ii) segue che x y x y In particolare (x,y ) corrisponde (in tale isomorfismo) a x y Infine, da (iii) x y è ciclico con generatore (x,y ) Ne segue che ( x y (x,y ) ) x y (x ) (y ) r t Ma (x ) (y )p p t t p s s >p t p s s (x) Dunque x y ha un periodo superiore a quello di x: ciòè assurdo per la scelta fatta inizialmente 40 (i) Verificare che D 6 / ϕ S 3 3 (ii) Esplicitare un isomorfismo tra tali gruppi Soluzione (i) Osserviamo che ϕ 3 D 6 Basta verificare che i sei laterali sinistri di ϕ 3 coincidono con i rispettivi laterali destri Infatti: ϕ ϕ 3 {ϕ, ϕ 4 } ϕ 3 ϕ; ϕ ϕ 3 {ϕ,ϕ 5 } ϕ 3 ϕ ; ρ ϕ 3 {ρ, ϕ 3 ρ} ϕ 3 ρ; (ϕ ρ) ϕ 3 {ϕ ρ, ϕ 4 ρ} ϕ 3 (ϕ ρ); (ϕ ρ) ϕ 3 {ϕ ρ, ϕ 5 ρ} ϕ 3 (ϕ ρ) Il gruppo quoziente D 6 / ϕ ha cardinalità 6 Si tratta quindi di un gruppo isomorfo a C 3 6 oa S 3 Esaminiamo i periodi dei suoi elementi Si ha: (ϕ ϕ 3 ) 3 [infatti ϕ ϕ 3 ϕ ϕ 3, ϕ 3 ϕ 3 ϕ 3 ] Ne segue che anche (ϕ ϕ 3 ) 3 Inoltre si verifica che (ρ ϕ 3 ) ((ϕ ρ) ϕ 3 ) ((ϕ ρ) ϕ 3 ) Ne segue che D 6 / ϕ 3 S 3 (ii) Osservato che ϕ, ρ sono generatori di D 6 e che (, ), (,, 3) sono generatori di S 3, si ponga: f : D 6 S 3 tale che f(ϕ) (,, 3), f(ρ) (, ), e si estenda f agli altri elementi di D 6,inmodochef sia un omomorfismo Dunque: f(ϕ )(, 3, ), f(ϕ 3 ) (), f(ϕ 4 )(,, 3), f(ϕ 5 )(, 3, ), f(ϕ ρ) (,, 3)(, ) (, 3), f(ϕ ρ) (, 3, )(, )(, 3), f(ϕ 3 ρ) ()(, ) (, ), f(ϕ 4 ρ) (,, 3)(, )(, 3), f(ϕ 5 ρ) (, 3, )(, )(, 3) Allora Im(f) S 3 e Ker(f) ϕ 3 Quindi D 6 / ϕ S Sia V {,a,b,c} il gruppo di Klein e sia C 4 il gruppo delle radici complesse quarte dell unità Determinare l insieme Hom(V,C 4 ) ed indicarne gli eventuali isomorfismi Soluzione Per definizione, C 4 i {,i,, i} Poiché i due gruppi V,C 4 nessuno degli omomorfismi da determinare potrà essere biiettivo non sono isomorfi,

10 60 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA Se f : V C 4 è un omomorfismo, allora f() Inoltre, poiché (f(x)) (x), allora f(x) ±i [in ( quanto 4 non) divide ] Dunque f(a), f(b), f(c) {±} ed a priori si hanno 8 possibili terne f(a), f(b), f(c) : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Verificheremo che solo le prime quattro terne corrispondono ad altrettanti omomorfismi da V a C 4 La terna (,, ) corrisponde all omomorfismo banale 0 : V C 4 La terna (,, ) corrisponde all applicazione f : V C 4 tale che: f(a),f(b), f(c) f è un omomorfismo Infatti: { { { f(ab) f(c) f(ac) f(b) f(bc) f(a) f(a)f(b) ( ), f(a)f(c) ( ), f(b)f(c) ( ) [Non occorrono altre verifiche perché i gruppi sono abeliani] In modo analogo si verifica che anche le terne (,, ), (,, ) corrispondono ad altri due omomorfismi Ora verifichiamo che le rimanenti quattro terne definiscono applicazioni che non sono omomorfismi Infatti: se (,, ) corrisponde all applicazione g, g(ab) g(c), mentre g(a)g(b) ; se (,, ) corrisponde all applicazione h, h(ac) h(b), mentre h(a)h(c) ; se (,, ) corrisponde all applicazione m, m(bc) m(a), mentre m(b)m(c) ; se (,, ) corrisponde all applicazione n, n(ab) n(c), mentre n(a)n(b) 4 Sia Q il gruppo (delle unità) dei quaternioni (i) Verificare che è un sottogruppo normale di Q (ii) Verificare che Q / V [gruppo di Klein] Soluzione (i) Si ha: Q i, j, k i j k, ij ji k, jk kj i, ki ik j {,,i, i, j, j, k, k} Verifichiamo che i quattro laterali sinistri di {±} coincidono con i corrispondenti laterali destri Infatti: i {±i} i, j {±j} j, k {±k} k Dunque Q (ii) Q / ha ordine 4 Risulta: Q / {, i, j, k } e (i ) [infatti i i i ] Analogamente, (j ) (k ) Poiché Q / ha tre elementi di periodo, è un gruppo di Klein 43 Determinare il quoziente del gruppo moltiplicativo dei razionali non nulli (Q, ) modulo il sottogruppo (C, ) Soluzione Si consideri il sottogruppo (Q >0, ) di(q, ) e l applicazione f : Q Q >0 tale che f(q) q, q Q Si ha, q,q Q : f(q q ) q q q q f(q )f(q ), e dunque f è un omomorfismo f è ovviamente suriettiva Infine Ker(f) {q Q : q } {±} C Dal teorema fondamentale di omomorfismo, Q /C (Q >0, )

11 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 6 44 Determinare in S 4 due sottogruppi propri H,H tali che: - {()} H H S 4 / / - i tre gruppi quoziente S 4,H H,H H sono abeliani Nota Si dice che tale proprietà rende S 4 un gruppo risolubile Soluzione Si ponga H A 4 (gruppo alterno) Poiché (S 4 : A 4 ), allora A 4 S 4 Inoltre S 4 /A 4 C è abeliano Il gruppo alterno A 4 è formato [oltre che dall unità ()] dagli otto 3-cicli (3), (3), (4), (4), (34), (43), (34), (43) e dalle tre coppie di -cicli disgiunti ()(34), (3)(4), (4)(3) Si verifica facilmente che queste ultime tre permutazioni formano, con l unità (), un gruppo di Klein V Verificheremo ora che V A 4 Infatti, i tre laterali sinistri modulo V sono V {(), ()(34), (3)(4), (4)(3)}; (3)V {(3), (34), (43), (4)}; (3)V {(3), (43), (34), (4)} Si verifica subito che V (3) (3)V Ne segue che anche V (3) (3)V Dunque V A 4 Per concludere che H V è il secondo sottogruppo cercato, basta osservare che / A4 V 3 e dunque A 4 /V C 3 è abeliano 45 Determinare l unico omomorfismo non banale dal gruppo (C 4, ) [delle radici quarte dell unità] al gruppo (Z 6, +) Indicare nucleo ed immagine di tale omomorfismo Soluzione (C 4, ) e(z 4, +) sono gruppi isomorfi Un isomorfismo f : C 4 Z 4 è il seguente: f() 0, f(i), f( ), f( i) 3 Risulta: Hom(Z 4,Z 6 ){k : Z 4 Z 6, k Z 6 tale che (k) MCD(4, 6) } In Z 6 gli unici elementi il cui periodo divida sono 0, 3 L unico omomorfismo non banale da (C 4, ) a(z 6, +) è quindi g 3 f Risulta: g() 0, g(i) (3 )( ) 3, g( ) (3 )( ) 0, g( i) (3 )( 3) 3 Pertanto Im(g) 3 e Ker(g) 46 Determinare l insieme Hom(C 6,C ) l immagine ed il nucleo Di ciascuno dei 6 omomorfismi ottenuti indicare Soluzione Sia C 6 ζ, con ζ cos π 6 + i sin π 6 e sia C η, con η cos π π + i sin È noto che C 6 Z 6, tramite (ad esempio) un isomorfismo f : C 6 Z 6 tale che ζ k k (con k 0,, 5) mentre C Z, tramite (ad esempio) un isomorfismo g : C Z tale che η h h (con h 0,, ) Si ha quindi Hom(C 6,C ) Hom(Z 6,Z ){k : Z 6 Z, : (k) MCD(6, ) 6} Calcolati i periodi degli elementi di Z, si osserva che (k) 6 (k),, 3, 6 k {0,, 4, 6, 8, 0} {h, h 0,, 5} I sei omomorfismi di Hom(C 6,C ) sono quindi, h 0,, 5: ϕ h : g (h ) f : C 6 Z 6 Z C

12 6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA tale che ζ k k hk η hk (con k 0,, 5) [in particolare ϕ h (ζ) η h ] Esaminiamo in dettaglio i sei omomorfismi: ϕ 0 : C 6 C tale che ζ ha Ker(ϕ 0 )C 6,Im(ϕ 0 ) (omomorfismo banale); ϕ : C 6 C tale che ζ η ha Ker(ϕ ), Im(ϕ ) η C 6 ; ϕ : C 6 C tale che ζ η 4 ha Ker(ϕ ) ζ 3 C,Im(ϕ ) η 4 C 3 ; ϕ 3 : C 6 C tale che ζ η 6 ha Ker(ϕ 3 ) ζ C 3,Im(ϕ 3 ) η 6 C ; ϕ 4 : C 6 C tale che ζ η 8 ha Ker(ϕ 4 ) ζ 3 C,Im(ϕ 4 ) η 4 C 3 ; ϕ 5 : C 6 C tale che ζ η 0 ha Ker(ϕ 5 ), Im(ϕ 5 ) η C 6 47 Determinare gli endomorfismi di (C 5, ) [gruppo delle radici quinte dell unità] che non sono automorfismi Soluzione Si tratta di determinare End(C 5 ) Aut Aut(C 5 ) Poiché C 5 Z 5, allora Aut(C 5 ) Aut(Z 5 ) U(Z 5 ){,, 3, 4}, End(C 5 ) End(Z 5 ){k : Z 5 Z 5, k Z 5 } L unico endomorfismo di Z 5 che non è un automorfismo è quindi l omomorfismo banale 0 Ad esso corrisponde l omorfismo banale di C 5, cioè l applicazione [con ζ cos π 5 + i sin π 5 ] :C 5 C 5 tale che (ζ k ), k,, 4, 48 Determinare gli insiemi Hom(S 3,Z 3 ) e Hom(Z 3,S 3 ) Soluzione Sia f Hom Hom(S 3,Z 3 ) Per ogni -ciclo (a, b) S 3, risulta che (f((a, b))) Tenuto conto che in Z 3, () () 3, allora f((a, b)) 0 Ne segue (essendo f un omomorfismo) che f((,, 3)) f((, )(, 3)) f((, )) + f((, 3)) 0+00, f((, 3, )) f((, 3)(, )) f((, 3)) + f((, )) 0+00 Dunque f 0 (omomorfismo banale) Ne segue che Hom(S 3,Z 3 )è formato dal solo omomorfismo banale Sia ora f Hom Hom(Z 3,S 3 ) Essendo Z 3, f è completamente individuata da f() Inoltre (f()) () 3 Dunque f() (,, 3) Ne segue che Hom(Z 3,S 3 ) è formato dai tre omomorfismi: f 0 : Z 3 S 3, tale che f 0 () (), f 0 () (), f 0 (0) (); f : Z 3 S 3, tale che f () (,, 3), f () (, 3, ), f (0) (); f : Z 3 S 3, tale che f () (, 3, ), f () (,, 3), f (0) () 49 (i) Verificare che il gruppo moltiplicativo U(Z 5 ) [degli elementi invertibili di Z 5 ]èun gruppo abeliano non ciclico di ordine 8 (ii) Determinare un isomorfismo tra U(Z 5 ) ed il prodotto diretto Z Z 4 Soluzione (i) Si ha: U(Z 5 ){k Z 5 : k<5, MCD(k, 5) } {,, 4, 7, 8,, 3, 4} [si noti che ϕ(5) ϕ(3) ϕ(5) 4 8] Valutiamo i periodi degli elementi di U(Z 5 ): () ; () 4 [ ; 4 6 ]; (4) [4 ]; (7) 4 [ ; ];

13 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 63 (8) 4 [ ; ]; () [ 4 ]; (3) 4 [3 4 ; ]; (4) [4 ] Si nota subito che U(Z 5 ) non è ciclico [non ha elementi di periodo 8] Invece U(Z 5 )è abeliano [in quanto Z 5 è un anello commutativo] (ii) Assumiamo nota la struttura del prodotto diretto Z Z 4 Osserviamo che gli elementi di U(Z 5 )ediz Z 4 hanno gli stessi periodi [tre elementi di periodo e quattro di periodo 4] Per ottenere un isomorfismo bisogna far corrispondere elementi di ugual periodo In Z Z 4 si ha: ((0, 0)), ((0, ))4, ((0, )), ((0, 3)) 4, ((, 0)), ((, ))4, ((, )), ((, 3)) 4 Inoltre Z Z 4 ha due sottogruppi ciclici di ordine 4: (0, ) e (, ), che si intersecano in (0, ) Invece U(Z 5 ) ha i due ciclici {,, 4, 8} e 7 {, 7, 4, 3}, che si intersecano in 4 Un isomorfismo cercato f : U(Z 5 ) Z Z 4 trasforma quindi 4in(0, ) [f(4) (0, )] Poniamo: f() (0, ), f(7) (, ) Allora: f(8) f( 3 )3(0, )(0, 3), f(3) f(7 3 )3(, )(, 3), f(4) f( 7) f() + f(7)(0, )+(, ) (, ) f è per costruzione un omomorfismo ed è biiettiva ottenuto componendo un omo- 430 Considerati i gruppi (Z, +) e (Z 8, +): (i) Determinare tutti gli omomorfismi da Z 8 a Z (ii) Determinare tutti gli omomorfismi da Z a Z 8 (iii) Verificare che esiste un unico endomorfismo non banale di Z morfismo da Z a Z 8 con uno da Z 8 a Z Soluzione Denoteremo con k la classe resto di un intero k modulo 8 e con k la classe resto di un intero k modulo (i) Risulta: Hom(Z,Z 8 ) {k : Z Z 8 tali che (k) } MCD(, 8) 6 [dove k denota la moltiplicazione per k, così definita: k ( t) kt, t Z ] Gli elementi di Z 8 aventi per periodo un divisore di 6 sono 0, 3, 6, 9,, 5 In corrispondenza esistono i sei omomorfismi da Z a Z 8 (ii) Risulta: 3h : Z Z 8, h 0,,, 3, 4, 5 Hom(Z 8,Z ){ h : Z 8 Z tali che ( h) } MCD(, 8) 6 Gli elementi di Z aventi per periodo un divisore di 6 sono 0,, 4, 6, 8, 0 In corrispondenza esistono i sei omomorfismi da Z 8 a Z h : Z 8 Z, h 0,,, 3, 4, 5 (iii) Gli endomorfismi di Z che si fattorizzano tramite Z 8 sono, h, k 0,,, 3, 4, 5: h 3k : Z Z 8 Z tale che t 3kt ( 6hkt) ( 6hk) t Se hk è pari, 6hk 0 e dunque l endomorfismo ottenuto è quello banale Se invece hk è dispari, 6hk 6 e dunque l unico endomorfismo non banale ottenuto è 6 : Z Z tale che 6 ( t) 6t, t Z

14 64 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA 43 Indicato con SL n (R) il gruppo delle matrici quadrate di ordine n aventi determinante, verificare che: (i) SL n (R) GL n (R) (ii) GL n (R) / SL n (R, ) (R) Soluzione (i) Basta verificare che, A GL n (R), risulta: A SL n (R) SL n (R) A Sia B SL n (R) [det(b) ] Allora AB AB(A A)(ABA )A Si ha: det(aba ) det(a) det(a) e dunque B : ABA SL n (R) Allora AB B A SL n (R) A (ii) Sia det : GL n (R) R tale che A det(a) Si ha: det(a A )det(a )det(a ) e dunque r 0 det è un omomorfismo Ovviamente det è suriettivo [infatti r det, r R ] Infine Ker(det) {A GL n (R) : det(a) } SL n (R) Si conclude, dal teorema fondamentale di omomorfismo, che GL n (R) / SL n (R, ) (R) 43 (i) Calcolare il centro Z(S 3 )dis 3 e dedurne il gruppo degli automorfismi interni di S 3 (ii) Determinare i gruppi Aut(S 3 )eaut Aut(S 3 ) / I(S 3 ) Soluzione (i) Il centro Z(S 3 )è il sottogruppo delle permutazioni di S 3 che commutano con ogni permutazione di S 3 Ovviamente () Z(S 3 ) Poiché (, )(,, 3) (,, 3)(, ), (, 3)(, 3) (, 3)(, 3), allora (, ), (, 3), (, 3), (,, 3) Z(S 3 ) Ne segue che Z(S 3 ){()} Poiché I(S 3 ) S 3 /Z(S, 3 ) segue che I(S 3 ) S 3 (ii) f Aut Aut(S 3 ), si ha f((, ) {(, ), (, 3), (, 3)} e f((,, 3) {(,, 3), (, 3, )} Poiché S 3 (, ), (,, 3), f è completamente individuato da f((, )), f((,, 3)) Dunque Aut(S 3 ) haalpiù sei elementi D altra parte Aut(S 3 ) possiede sei automorfismi interni Dunque Aut(S 3 )I(S 3 ) S 3 e Aut(S 3 ) / {} I(S 3 ) Nota Ad esempio, l automorfismo interno γ γ (3) è il seguente: γ((, )) (,, 3)(, )(, 3, ) (, 3), γ((, 3)) (,, 3)(, 3)(, 3, ) (, 3), γ((, 3)) (,, 3)(, 3)(, 3, ) (, ), γ((,, 3)) (,, 3)(,, 3)(, 3, ) (,, 3), γ((, 3, )) (,, 3)(, 3, )(, 3, ) (, 3, ) 433 Sia D 4 il gruppo diedrale del quadrato (i) Determinare il centro Z(D 4 ) (ii) Verificare che il gruppo I(D 4 ) degli automorfismi interni di D 4 è isomorfo al gruppo di Klein (iii) Determinare i quattro automorfismi interni di D 4, esplicitandone le immagini di un sistema di generatori di D 4 (iv) Verificare che D 4 ammette automorfismi non interni Soluzione (i) Risulta: D 4 ϕ, ρ 4 ϕ ρ ; ρ ϕ ϕ 3 ρ {, ϕ,ϕ,ϕ 3,ρ,ϕ ρ, ϕ ρ, ϕ 3 ρ} Si osservi che ρ, ϕ Z(D 4 ) [infatti ϕ ρ ρ ϕ]; ϕ 3 Z(D 4 ) [infatti ϕ 3 ρ ρ ϕ 3 ];

15 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 65 ϕ ρ Z(D 4 ) [infatti ϕ (ϕ ρ) (ϕ ρ) ϕ]; ϕ ρ Z(D 4 ) [infatti ϕ (ϕ ρ) (ϕ ρ) ϕ]; ϕ 3 ρ Z(D 4 ) [infatti ϕ (ϕ 3 ρ) (ϕ 3 ρ) ϕ] Invece ϕ Z(D 4 ) Infatti: ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ 3 ϕ 3 ϕ, ϕ ρ ρ ϕ, ϕ (ϕ ρ) (ϕ ρ) ϕ, ϕ (ϕ ρ) (ϕ ρ) ϕ, ϕ (ϕ 3 ρ) (ϕ 3 ρ) ϕ Si conclude che Z(D 4 ) ϕ (gruppo ciclico di ordine ) (ii) Risulta: I(D 4 ) D 4 / Z(D 4 ) D 4 / ϕ { ϕ, ϕ ϕ, ϕ ρ, ϕ (ϕ ρ) } Risulta: ( ϕ ϕ )( ϕ ϕ ) ϕ ϕ ϕ ; ( ϕ ρ )( ϕ ρ ) ϕ ρ ϕ ; ( ϕ (ϕ ρ) )( ϕ (ϕ ρ) ) ϕ (ϕ ρ) ϕ Dunque i tre elementi ϕ di I(D 4 ) hanno periodo Pertanto I(D 4 )è un gruppo di Klein V (iii) I quattro automorfismi interni di D 4 sono: γ, γ ϕ, γ ρ, γ ϕ ρ Calcoliamone le immagini su ϕ, ρ [generatori di D 4 ] Si ha: (ϕ) ϕ, (ρ) ρ; γ ϕ (ϕ) ϕ ϕ ϕ 3 ϕ, γ ϕ (ρ) ϕ ρ ϕ 3 ϕ ρ; γ ρ (ϕ) ρ ϕ ρ ϕ 3, γ ρ (ρ) ρ ρ ρ ρ; γ ϕ ρ(ϕ) (ϕ ρ) ϕ (ϕ ρ) ϕ 3, γ ϕ ρ(ρ) (ϕ ρ) ρ ϕ ρ (iv) Sia f Aut Aut(D 4 ) Tenuto conto che (f(ϕ)) 4, allora f(ϕ) {ϕ, ϕ 3 } In ogni caso, f(ϕ )ϕ Tenuto poi conto che (f(ρ)), allora f(ρ) {ρ, ϕ ρ, ϕ ρ, ϕ 3 ρ} Si noti infine che gli automorfismi di D 4 sono al più otto e di essi quattro sono interni Consideriamo l applicazione f : D 4 D 4 tale che f(ϕ) ϕ, f(ρ) ϕ ρ, ed estendiamola a D 4 usando le regole di omomorfismo Si ha: f(ϕ )ϕ,f(ϕ 3 )ϕ 3,f(ϕ 4 )f(), f(ρ )f(), f(ϕ ρ) f(ϕ) f(ρ) ϕ ρ, f(ϕ ρ) f(ϕ ) f(ρ) ϕ 3 ρ, f(ϕ 3 ρ) f(ϕ 3 ) f(ρ) ρ Inoltre f è compatibile con la relazione ρ ϕ ϕ 3 ρ Infatti: f(ρ ϕ) f(ρ) f(ϕ) ρ f(ϕ 3 ρ) Si conclude che f Aut Aut(D 4 ) I(D 4 ) Nota Si può facilmente verificare che (f) 4 e, dal teorema di Lagrange, che Aut Aut(D 4 ) 8 I tre ulteriori automorfismi di D 4 sono f 3,g,h, dove g, h sono definiti (sui generatori) in questo modo: g(ϕ) ϕ 3,g(ρ) ϕ ρ; h(ϕ) ϕ 3,h(ρ) ρ Dall esame dei periodi degli automorfismi ottenuti, si conclude che Aut(D 4 ) D [Esonero 3/6/03] Indichiamo con T l insieme delle matrici triangolari superiori in GL (Q) Sia A 0 T e sia H il sottogruppo di GL (Q) generato da A 0 (i) Verificare che T è un sottogruppo di GL (Q) (ii) Verificare che T non è normale in GL (Q) [Suggerimento: indicata con B la matrice trasposta di A 0, verificare che BA 0 TB] (iii) Descrivere gli elementi di H (iv) Verificare se H è un sottogruppo normale di T Soluzione (i) Per ogni A a b,a 0 c a b 0 c T, si ha:

16 66 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA A(A ) e dunque T è un sottogruppo di GL (Q) ( a b b a a c 0 c 0 c ) ( a a ab +ba a c 0 c c ) T (ii) È sufficiente verificare che ad esempio BT TB Scelta in T proprio la matrice A 0, basta quindi verificare che BA 0 TB x y x y Per assurdo, esista T tale che BA 0 z 0 B Allora 0 z x y 0 x + y y BA 0 0 z z z Ne segue che z : assurdo (iii) Risulta: H { A 0 A0 t, t Z } Poiché ( A 0,A 0 ), allora A 0 t t, t Z Si noti che H (Z,+) (gruppo ciclico infinito) Ovviamente H è un sottogruppo di T [essendo un sottogruppo di GL (Q) ed un sottoinsieme di T ] a b (iv) Basta verificare se, T, risulta: 0 c a b a b H H, 0 c 0 c cioè se, t Z, esiste x x(t) Z tale che a b t x a b, 0 c 0 c a at+ b a b+ cx ovvero tale che Tali matrici coincidono at cx 0 c 0 c Scelti ad esempio a,c,t 3, non esiste x Z tale che 3 x Dunque H non è normale in T 435 { } a b Sia T, a, b, c R, ac 0 0 c l insieme delle matrici triangolari superiori in GL (R) In T si considerino i due sottoinsiemi { } { } a 0 b H, a, b R, H 0 b, b R, b 0 (i) Verificare che T è un sottogruppo non normale di GL (R) (ii) Verificare che H è un sottogruppo non normale di T (iii) Verificare che H è un sottogruppo normale di T Soluzione (i) [Cfr Esercizio 30(i),(ii)] (ii) Verifichiamo che H GL (R) [e quindi H T, essendo H T ] a 0 a 0 Infatti, per ogni A,A 0 b H 0 b, si ha: ( a 0 A A 0 b a 0 0 b ) 0 a a 0 b b H Scelta in T la matrice A, basterà verificare che AH H A [per concludere che H 0 non è normale in T ] Scelta ad esempio in T la matrice B, allora AB Se ( 0 )( ) 0 x 0 x x x per assurdo AB H A, H 0 y tale che AB Dunque 0 y 0 y x x e quindi in particolare, x : assurdo 0 0 y

17 (iii) Verifichiamo che H T Per ogni B b + b H ; inoltre I H e B H T SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 67 b ) ( b, B b H, si ha B B H Dunque H GL (R) e quindi a b Per verificare che H T, bisogna verificare che per ogni A T (ac 0), risulta 0 c AH H A k a b k a ak + b Per ogni B H, risulta AB Bisogna ( 0 )( c 0 ) ( 0 ) c x x a b a b+ cx verificare che esiste H tale che AB Confrontando 0 c 0 c le matrici ottenute, segue che b + cx ak + b, da cui x ak c [si noti che c 0, perché ac 0] Segue che AB H A, cioè AH H A 436 [Esame 0/6/03] Sia (G, ) un gruppo e sia g 0 G Si ponga: C(g 0 ): { } g G : g 0 g gg 0 [C(g 0 )è detto centralizzante di g 0 ] (i) Verificare che C(g 0 )è un sottogruppo di G (ii) Verificare che C(g 0 ) contiene il sottogruppo g 0 generato da g 0 (iii) Considerato il gruppo diedrale del quadrato D 4 ϕ, ρ: ϕ 4 ρ,ρ ϕ ϕ 3 ρ, determinare i sottogruppi C(ϕ) e C(ρ) Soluzione (i) Risulta: C(g 0 ) Infatti g 0 g 0 g, g C(g 0 ) gg C(g 0 ) Infatti (gg )g 0 g(g g 0 )g(g 0 g )(gg 0 )g (g 0 g)g g 0 (gg ) g C(g 0 ) g C(g 0 ) Infatti, moltiplicando a destra e a sinistra l uguaglianza gg 0 g 0 g per g, si ha: g (gg 0 )g g (g 0 g)g, da cui (g g)(g 0 g )(g g 0 )(gg ), cioè g 0 g g g 0 (ii) Per ogni h Z, g 0 h C(g 0 ) Dunque g 0 C(g 0 ) Infatti g h 0 g 0 g h+ 0 g 0 g h 0 (iii) Ovviamente C(ϕ) ϕ {,ϕ,ϕ,ϕ 3} Inoltre ρ C(ϕ) [infatti ϕ ρ ρ ϕ] Ne segue che C(ϕ) <D 4 e quindi, per ragioni di ordine, C(ϕ) ϕ Si osservi che ϕ C(ρ) [infatti ϕ ρ ρ ϕ ] Inoltre ovviamente ρ C(ρ) mentre ϕ C(ρ) Ne segue che C(ρ) {,ρ,ϕ,ϕ ρ} Poiché C(ρ) <D 4, allora C(ρ) {,ρ,ϕ,ϕ ρ} (gruppo di Klein) 437 [Esame /7/03] Siano G e G due gruppi isomorfi e sia f 0 : G G un isomorfismo (i) Verificare che i gruppi di automorfismi Aut(G) eaut Aut(G ) sono isomorfi, esplicitando un isomorfismo tra essi (ii) Indicato con Isom(G, G ) l insieme degli isomorfismi da G a G, determinare una biiezione tra Isom(G, G )eaut Aut(G) (iii) Verificare che Aut(Z 9 ) e Aut(Z 7 ) sono gruppi isomorfi Quanti isomorfismi esistono tra tali gruppi? Soluzione (i) Sia ϕ : Aut(G) Aut Aut(G ) l applicazione così definita: ϕ(f) f 0 f f 0, f Aut(G)

18 68 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA Si noti che f 0 f f 0 è un automorfismo in quanto composizione di isomorfismi; il suo inverso è l applicazione ψ : Aut(G ) Aut Aut(G) tale che ψ(f )f 0 f f 0, f Aut Aut(G ) Verifichiamo che ϕ è un omomorfismo di gruppi Risulta, f,f Aut Aut(G) : ϕ(f f )f 0 (f f ) f 0 f 0 (f f 0 f 0 f ) f 0 (f 0 f f 0 ) (f 0 f f 0 )ϕ(f) ϕ(f ) (ii) Sia Φ : Aut(G) Isom Isom(G, G ) l applicazione così definita: Φ(f) f 0 f, f Aut Aut(G) Φè un applicazione biiettiva, con inversa Ψ:Isom Isom(G, G ) Aut Aut(G) tale che Ψ(h) f 0 h, h Isom Isom(G, G ) (iii) Risulta: Aut(Z 9 ) U 9 {,, 4, 5, 7, 8 }, Aut(Z 7 ) U 7 {,, 3, 4, 5, 6 } In U 9 : 4 ; 3 8 Dunque () 6 e quindi U 9 C 6 (ciclico di ordine 6) In U 7 : 3 ; Dunque (3) 6 e quindi anche U 7 C 6 È quindi dimostrato che Aut(Z 9 ) C 6 Aut(Z 7 ) Da (ii), gli insiemi Isom(Aut Aut(Z 9 ), Aut(Z 7 )) e Aut(Aut Aut(Z 9 )) sono in corrspondenza biunivoca Inoltre, da (i), Aut(Aut Aut(Z 9 )) Aut(C 6 ) Aut(Z 6 ) U 6 C Ne segue che gli isomorfismi tra Aut(Z 9 )eaut Aut(Z 7 ) sono due 438 [Esame 3/9/03] Sono assegnati i gruppi G U(Z ) [gruppo degli elementi invertibili dell anello Z ]eg A 4 [sottogruppo alterno del gruppo delle permutazioni S 4 ] (i) Indicare gli elementi dei due gruppi e dire perché G non è isomorfo a G (ii) Determinare i divisori d di G per i quali esistono sottogruppi S di G e S di G tali che S S d e S S (iii) Verificare se esistono sottogruppi H di G e H di G tali che G / H H Soluzione (i) Risulta: G U(Z ) { a Z : (a, ) } {,, 4, 5, 8, 0,, 3, 6, 7, 9, 0 }, { } (), (3), (3), (4), (4), (34), (43), G A 4 (34), (43), ()(34), (3)(4), (4)(3) I due gruppi hanno lo stesso ordine, ma U(Z )è commutativo, mentre A 4 non lo è Dunque non sono isomorfi (ii) I divisori positivi di sono:,, 3, 4, 6, Per d, basta scegliere i due sottogruppi banali {} e {()} I divisori d 6, vanno esclusi perché A 4 non ha sottogruppi di ordine 6 e G G Per ottenere gruppi isomorfi di ordini d, 3, basta determinare nei due gruppi elementi di periodo e 3 In U(Z ) ad esempio 0 ha periodo mentre 4 ha periodo 3; in A 4 ad esempio ()(34) ha periodo mentre (3) ha periodo 3 Dunque 0 ()(34) e 4 (3) Resta da esaminare il divisore d 4 A 4 ha un unico sottogruppo di ordine 4, isomorfo al gruppo di Klein: è il gruppo K { (), ()(34), (3)(4), (4)(3) } Si verifica subito che in U(Z ) l insieme H {, 0, 8, 3 } è anch esso un gruppo di Klein H e K sono dunque sottogruppi isomorfi (iii) Considerato in U(Z ) il sottogruppo H sopra definito, si osserva subito che il gruppo quoziente U(Z ) / H ha ordine 3 e dunque è necessariamente isomorfo al sottogruppo (3) di A 4

19 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV [Esame 3/9/03] Nell insieme Z 8 si considerino i tre sottoinsiemi S {0, 5, 3}, S {0, 6, }, S 3 {0, 7, } e le tre corrispondenti relazioni ρ i (i,, 3) così definite: aρ i b a b S i, a, b Z 8 (i) Dire se tali relazioni sono riflessive, simmetriche e transitive (ii) Se ρ i è una relazione di equivalenza, si determinino un intervallo di naturali I k {0,,, k } ed un applicazione suriettiva ϕ : Z 8 I k tale che ρ i sia la relazione di equivalenza associata alla funzione ϕ Si costruisca infine la biiezione ϕ tra Z 8 e I /ρ k indotta da ϕ i Soluzione (i) I tre sottoinsiemi S i contengono 0 e l opposto di ogni loro elemento Ne segue, i,, 3: aρ i a, a Z 8 [infatti a a 0 S i ]; aρ i b bρ i a, a, b Z 8 [infatti a b S i b a S i ]; Le tre relazioni sono riflessive e simmetriche Si osservi che S è un sottogruppo di (Z 8, +) [mentre S e S 3 non lo sono] Ne segue che ρ è anche transitiva Infatti, se aρ b e bρ c, allora a b, b c S e dunque a c (a b)+(b c) S, cioè aρ c Invece ρ e ρ 3 non sono transitive Infatti ρ 6, 6 ρ ma ρ ; 5 ρ 3 8, 8 ρ 3 ma 5 ρ 3 (ii) La relazione d equivalenza ρ è la relazione d equivalenza associata al sottogruppo (normale) 6 di (Z 8, +) Risulta quindi: Z 8 /ρ { 6 S, + 6, + 6, 3+ 6, 4+ 6, 5+ 6 } Si consideri l intervallo I 6 {0,,, 3, 4, 5} e l applicazione ϕ : Z 8 I 6 tale che ϕ(a) r, se a 6q + r, 0 r<6, a Z 8 ϕ è ovviamente suriettiva ed è ben definita [se a a, ϕ(a )ϕ(a) r] Risulta: aρ ϕ b ϕ(a) ϕ(b) a b (mod 6) a b 6 aρ b Dunque ρ ϕ ρ e ϕ è un applicazione cercata La biiezione ϕ : Z 8 I /ρ 6 è così definita: ϕ ( t + 6 ) ϕ(t) t, t 0,, Utilizzando il secondo teorema di isomorfismo, verificare che in (Z, +) risulta 3 / 6 / [ Z ] Esplicitare un siffatto isomorfismo Soluzione Si considerino in (Z, +) i due seguenti sottogruppi: H {0,, 4, 6, 8, 0}, K 3 {0, 3, 6, 9} Entrambi sono ovviamente normali Il secondo teorema di isomorfismo afferma che: (H + K)/ H K/H K [si noti che, in struttura additiva, il prodotto HK coincide con H + K] Si ha: H K 3 6, H + K + 3 Z Allora: 3 / 6 / Denotiamo con Φ tale isomorfismo Esso è indotto dall epimorfismo ϕ : 3 Z / tale che 3t 3t +, [con 0 t 3], cioè

20 70 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA 0, , 6 6+, Allora Φ opera in questo modo: 0+ 6, Sia (G, ) un gruppo non ciclico e di ordine 9 (i) Indicati con a, b due elementi di G di periodo 3 e non legati tra loro da alcuna relazione algebrica, verificare che G a, b ; scrivere tutti gli elementi di G e verificare che G è commutativo (ii) Determinare un isomorfismo tra G ed il prodotto diretto Z 3 Z 3 (iii) Classificare (a meno di isomorfismi) tutti i gruppi di ordine 9 Soluzione (i) Essendo G non ciclico, dal teorema di Lagrange segue che (x) 3, x G, x Siano a, b due elementi di G, di periodo 3 e non legati tra loro da alcuna relazione algebrica Allora G contiene i seguenti elementi, a,a,b,b, ab, a b, ab,a b, ba, ba,b a, b a Si verifica facilmente che i primi nove elementi sono a due a due distinti Ad esempio a b è diverso dagli otto elementi che lo precedono in quanto: - a b a a a b a b ; - a b a ab a b; - a b a b ; - a b b a b b a; - a b b a ; - a b ab ab b a ; - a b a b b ; - a b ab a Verifichiamo ora che ba ab Certo ba,a,a,b,b Se per assurdo fosse ba a b, allora, essendo (ab) 3: (ab) 3 a(ba)(ba)b aa b bab b ab, da cui: b b 3 ab b ab a : assurdo Analogamente, se fosse ba ab : (ab) 3 a(ba)(ba)b aab bab a ab b: assurdo Infine, se fosse ba a b : (ab) 3 a(ba)(ba)b aa b bab ab: assurdo Si conclude che necessariamente ba ab Da tale uguaglianza segue: ba ba a ab a aba a b; b a bba bab ab b ab ; b a bbaa ba ba ab ba ab a aab a b (ii) Il prodotto diretto Z 3 Z 3 è formato dai nove elementi (0, 0), (, 0), (, 0), (0, ), (, ), (, ), (0, ), (, ), (, ) L operazione è la somma (componennte per componente) Basta definire f : G Z 3 Z 3 tale che: f(a) (, 0), f(b) (0, ) e quindi si ottiene: f() (0, 0), f(a )(, 0), f(b )(0, ), f(ab) (, ), f(a b)(, ), f(ab )(, ), f(a b )(, ) (iii) Da (i) e(ii) segue che un gruppo di ordine 9 o è ciclico (isomorfo a Z 9 ) ovvero è isomorfo a Z 3 Z 3 In ogni caso è abeliano 44 [Proposto dallo studente VCapraro] Sia (G, ) un gruppo abeliano finito (i) Se G {, a,, a n } verificare che ( n a i ) i (ii) Dedurre da (i) che, se (K, +, ) è un campo finito e K {0,, a,, a n }, risulta

21 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DEL CAPITOLO IV 7 + n a i 0, i n a i ± (iii) Sia K un campo finito Sia F K[X], con F Sia A K[X] / Verificare che (F ) F è irriducibile in K[X] ( α ) Soluzione (i) Denotiamo con a i l inverso di a i Essendo G abeliano, si possono permutare gli elementi del prodotto ( n a i ), in modo da accostare a ciascun elemento a i il proprio inverso a i i Dunque ( n a i ) a a a n a n i (ii) (K, +) è un gruppo finito commutativo Da (i) segue che ( + n a i ) 0 e dunque + n a i 0 i Anche (K, ) è un gruppo finito commutativo Da (i) segue che ( n a i ) e dunque n a i ± i i (iii) ( ) A è un campo finito Da (ii) segue che ( α ) α A ( ) Sia ( α ) Essendo A un anello cu finito, dall ipotesi segue che A è integro Ne α A segue che A è un campo, cioè che F è irriducibile in K[X] 443 Posto X {,, 3, 4, 5, 6}, determinare nel gruppo S 6 S(X) il sottogruppo H delle permutazioni che fissano i due sottoinsiemi {, } e {3, 4} di X Scrivere esplicitamente gli elementi di H e descrivere tale gruppo Soluzione Le permutazioni cercate sono tutte e sole quelle che contengono uno dei seguenti quattro prodotti di cicli: ()(34), ()(3)(4), ()()(34), ()()(3)(4) Ognuna di esse fissa anche il sottoinsieme {5, 6} Dunque i quattro prodotti di cicli sopra considerati si completano con (56) o (5)(6) Si ottengono quindi le seguenti otto permutazioni ()(34)(56), ()(34)(5)(6), ()(3)(4)(56), ()(3)(4)(5)(6), ()()(34)(56), ()()(34)(5)(6), ()()(3)(4)(56), ()()(3)(4)(5)(6) Pertanto (eliminando gli -cicli): H { ()(34)(56), ()(34), ()(56), (), (34)(56), (34), (56), () } Si tratta di un gruppo con otto elementi Sette di essi hanno periodo [in quanto prodotti di -cicli disgiunti] Pertanto H Z Z Z Si osserva subito che H (), (34), (56) 444 Siano (G, ), (G, ) due gruppi e sia f : G G un omomorfismo di gruppi Verificare che se H G, allora f (H ) G ed il gruppo quoziente G / è isomorfo ad un f (H ) sottogruppo di G / H Soluzione Poiché H G,è definito il gruppo quoziente G / e la proiezione π : G G / è H H un omomorfismo Ne segue che l applicazione ϕ : π f : G G /, tale che ϕ(x) f(x)h, x G, H è un omomorfismo di gruppi, il cui nucleo è i α A i

22 7 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA Ker(ϕ) {x G : f(x)h H } {x G : f(x) H } f (H ) Ne segue che, in quanto nucleo di un omomorfismo, f (H ) G Dal teorema fondamentale di omomorfismo, applicato a ϕ, segue che l omomorfismo ϕ : G / Ker(ϕ) G / H è iniettivo Dunque G / è isomorfo ad un sottogruppo di G / f (H ) H