Tecniche di Controllo

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1 Tecniche di Controllo. Progetti d esae Ing. Marcello Bonfè Dipartiento di Ingegneria Università di Ferrara ( [email protected])

2 Capitolo Pendolo con otore elettrico. Modellazione ateatica Si consideri il sistea elettroeccanico scheatizzato in Figura., costituito da un otore elettrico a corrente continua (DC Motor) al cui rotore è connessa rigidaente un asta, la cui assa M si può considerare concentrata in un baricentro posto a distanza L dall asse di rotazione del otore. Figura.: Schea del pendolo attuato con DC Motor Nell ipotesi che il otore elettrico sia caratterizzato da una inerzia trascurabile, cioè che l unica inerzia eccanica nel sistea sia dovuta alla assa dell asta (I = ML 2 ), allora il odello ateatico coplessivo si può ottenere sepliceente coponendo i noti odelli ateatici di base del otore a corrente continua e di un asta vincolata sottoposta all azione della gravità. Per il prio sottosistea, si possono richiaare le equazioni caratteristiche del circuito elettrico di aratura del otore e della generazione di coppia otrice τ: di Ri+ L E + k dq T = V τ = i (.) nelle quali V è la tensione applicata ai orsetti del otore, R e L E sono resistenza e induttanza del circuito elettrico, i è la corrente elettrica che scorre nel circuito stesso, q è la posizione angolare dell albero otore e è la costante di coppia del otore, quantitativaente identica (se entrabe -

3 sono espresse in unità di isura del sistea internazionale) alla costante che lega la tensione controelettrootrice e la velocità di rotazione del otore. Per la parte eccanica, invece, è sufficiente ricordare l equazione di bilancio delle coppie: ML 2 d2 q 2 + bdq + MgLsin q = τ (.2) nella quale g è la nota costante di accelerazione gravitazionale e b il coefficiente di attrito viscoso. Iponendo le seguenti scelte sulle variabili di stato, ingresso ed uscita: x = q, x 2 = q, x 3 = i, y = x e u = V, si ottiene il seguente odello nonlineare nello spazio degli stati, affine nel controllo e SISO: del tipo: dx dx 2 dx 3 = x 2 = g L sin x b ML 2 x 2 + ML 2 x 3 (.3) = R x 3 x 2 + u L E L E L E ẋ = f(x)+b(x)u y = h(x) con x =[x x 2 x 3 ] T =[q q i] T e f = [x 2 g L sin x b ML 2 x 2 + kt ML 2 x 3 R L E x 3 kt L E x 2 ] T b = [0 0 L E ] T h = x.2 Analisi dell equilibrio Gli stati di equilibrio del sistea possono essere caratterizzati in funzione della posizione angolare dell asta, per la quale è generalente di interesse definire un valore desiderato (set-point) x d. Si può infatti facilente verificare che la faiglia di punti che soddisfa la condizione di equilibrio del sistea è del tipo: [ ] T MgL x e = x d 0 sin x d vale a dire che una volta fissata la posizione desiderata dell asta, è deterinata di conseguenza la corrente elettrica necessaria per copensare l azione della gravità in quel punto. Inoltre, è iediato verificare che in tale punto di equilibrio la tensione richiesta in ingresso è: u e = RMgL sin x d In questa faiglia di punti di equilibrio, il calcolo della linearizzazione approssiata perette di ottenere le seguenti atrici (dipendenti solo da x d ): 0 0 g cos x A = d L b ML 2 ML 2 0 kt L e R L e -2

4 0 B = 0 Si noti inoltre che l approssiazione lineare del sistea dipende solaente da x d e non dalle altre variabili di stato..3 Feedback Linearization Si può diostrare con alcuni passaggi che il sistea ha grado relativo pari a 3, pertanto la feedback linearization ingresso-uscita porta anche ad una linearizzazione copleta ingresso-stato. Ponendo coe nuove variabili di stato: z =[z z 2 z 2 ] T =[x x d x 2 g sin x bx 2 L ML 2 + x 3 ML 2 ]T e coe uscita y = z il sistea è riconducibile ad una fora canonica la cui ultia riga è: nella quale: f = g cos(x ) x 2 L b L e ż 3 =... y = f (x)+b (x)u ( g sin x L bx2 L 2 M L 2 M ) kt x3 + L 2 M + ) kt x2 ( L e Rx3 L e L 2 M b = ML 2 (.4) L e che può essere trasforata in... y = v traite la legge di controllo u = b (v f ), cioè: L 2 ML e (v + u = o anche in fora più copatta: g cos(x) x2 L ( ) ( + b g sin x L bx 2 L 2 + x 3 M L 2 M L 2 M kt x 2 L 2 M ) Le Rx 3 Le ) u = v L2 ML e bg sin x L e + x 2 b2 L e x 2 L L 2 + glm cos x L e x 2 + Rx 3 + bl e x 3 M L 2 M Si noti che iporre una condizione di regie y = 0, che corrisponde anche a portare nell origine il vettore di stato z, equivale a portare il sistea originario nella condizione di equilibrio iposta dal set-point x d..4 COMPITI DI PROGETTO. Controllo LQ: realizzare siulazioni in abiente Matlab/Siulink del sistea considerato con controllo di tipo LQ, progettato per l approssiazione lineare definita da x d e con atrice di penalizzazione dello stato Q (3 3), scalare di penalizzazione dell ingresso R e atrice di penalizzazione stato-ingresso N (3 ) a piacere. Verificare inoltre l effetto di variazioni di tali atrici sulle prestazioni del controllore. N.B.: si ricordi che essendo u e 0 nel punto di equilibrio, lo schea di controllo da ipleentare è quello della slide 6 nelle Note Applicative presentate a lezione. -3

5 2. Controllo con Feedback Linearization: ipleentare la legge di controllo linearizzante descritta alla sezione.3 e sfruttare l ingresso fittizio v per realizzare un ulteriore anello di controllo per la regolazione in y = 0, utilizzando un seplice controllore lineare oppure un controllore Sliding Mode. N.B.: si ricordi che... y = v, pertanto una superficie di sliding idonea può essere: S =ÿ +2λẏ + λ 2 y in base alla quale la legge di controllo per l ingresso fittizio v sarà del tipo (il terine di feedforward... y d non si considera in quanto identicaente nullo): v = 2λÿ λ 2 ẏ Ksign(s) 3. Controllo con Reti Neurali: una volta ottenute buone prestazioni per aleno uno dei due controllori richiesti ai punti precedenti, effettuare il training di una Rete Neurale con il etodo del Supervised Learning, acquisendo dati di training con uno dei due odelli ottenuti in precedenza, al quale sia applicata una variazione rando (di entità percentuale tale da non rendere il sistea instabile) sul set-point. Verificare l effetto di odifiche al nuero di neuroni della rete o ai dati di training sulle prestazioni del controllore. N.B.: è suggeribile utilizzare coe ingressi della rete sia i valori di set-point degli stati (aleno x d, ricordando che x 3d è funzione del prio) che quelli attuali. Totale ingressi della rete: aleno 4 (aleno set-point + 3 stati isurati). 4. Controllo con Logica Fuzzy: una possibile strategia di progetto per un controllore Fuzzy, potrebbe essere quella del Fuzzy Gain Scheduling, che prevede di sfruttare tecniche di progetto per controllori lineari (es. LQ) per ottenere i paraetri di alcuni regolatori validi per rispettive approssiazioni lineari con diversi valori di x d (ed eventualente x 3d ). Questi paraetri possono essere cobinati in un sistea Fuzzy di tipo Sugeno, con regole del tipo: IF x is x d,i THEN u = K i (x d x)+u d,i N.B.: si noti che nel Fuzzy Logic Toolbox di Matlab, i sistei Sugeno hanno funzioni di output del tipo: out = a in + b in2 + + c Pertanto, per ipleentare i vari regolatori lineari, sarà necessario che il sistea Fuzzy abbia coe ingressi tutti gli eleenti di x d edix e che i paraetri a,b... siano deterinati correttaente in base agli eleenti delle varie atrici K i (es. se il prio ingresso in viene associato a x d, il paraetro a dovrà essere K i,,cioè il prio eleento della atrice, entre se in viene associato a x, a dovrà essere K i,. La costante c sarà invece sepre pari a u d,i ). 5. ESPERIMENTI COMPARATIVI: verificare le prestazioni e la robustezza di tutti i sistei di controllo progettati, rispetto a variazioni (considerate separataente): di ± 0. V (disturbo additivo) sulla tensione di ingresso u di ± 0 % del set-point di ± 5 % della assa. Tali variazioni possono essere applicate coe gradini durante la siulazione, oppure odificando i valori iniziali della siulazione, purchè sia riportato nella relazione finale un grafico coparativo che evidenzi la differenza di coportaento tra la condizione noinale e quella perturbata. -4

6 .5 PARAMETRI NUMERICI DA UTILIZZARE Dato il nuero di atricola dello studente con sei cifre , fissare i paraetri del odello coe segue (oltre a g = /s 2 ): Massa del pendolo: M =0. Kg (se = 0, fissare M =0.4 Kg) Lunghezza del pendolo: L = (se 5 e/o 6 sono = 0, sostituirla/e con la/e cifra/e iediataente precedente/i) Coefficiente di attrito viscoso: b = M/000 N s Resistenza elettrica del otore DC: R = 5 Ω(se 5 = 0 fissare R =5Ω) Induttanza del otore DC: L e =0.0 2 H(se e/o 2 sono = 0, sostituirla/e con la/e cifra/e iediataente successiva/e) Costante di coppia del otore DC: k t = MgL 6 N/A(se 6 = 0, sostituirla con 3) Indipendenteente da questi paraetri invece, fissare: Condizioni iniziali: x 0 =[x 0 x 20 x 30 ] T =[ π 4 0 MgL k t sin π 4 ]T Set-point: x d =[x d x 2d x 3d ] T =[ π 2 0 MgL k t sin π 2 ]T -5

7 Capitolo 2 Aerostato ad aria calda 2. Modellazione ateatica Si consideri l aerostato ad aria calda (counente detto ongolfiera ) ostrato in Figura 2.. Coe noto, questo tipo di velivoli può essere anovrato variando l altitudine, agendo sulla potenza erogata dal riscaldatore all interno della struttura gonfiabile, in odo da cercare e sfruttare correnti d aria orientate nelle direzioni di interesse per la navigazione. Input = Heat Power Output = Altitude Figura 2.: Aerostato ad aria calda (ongolfiera) Considerando unicaente le variazioni di altitudine (dinaica verticale), il odello ateatico del sistea può essere ricavato considerando che esso è costituito da una parte terica, che deterina il riscaldaento dell aria contenuta della ongolfiera, ed una parte eccanica, nella quale la spinta di galleggiaento deterina le variazioni di quota. Il sottosistea terico è descrivibile per analogia con i circuiti elettrici di tipo resistenzacondensatore, associando le differenze di teperatura ad una tensione e il flusso di calore trasesso per conduzione ad una corrente elettrica. Con queste analogie, l aria contenuta all interno dell aerostato si coporta coe un condensatore, caratterizzato da una capacità terica proporzionale al volue, alla densità dell aria ed al suo calore specifico, entre la conduzione di calore tra l aria interna al pallone e quella esterna è caratterizzata da una certa resistenza terica. La parte terica del odello è pertanto riconducibile al circuito di Figura 2.2: 2-

8 b C p p 2 T r t T a Figura 2.2: Circuito elettrico equivalente alla dinaica terica dell aerostato nel quale b indica la potenza in ingresso, erogata dal bruciatore, p la potenza accuulata dall aerostato, p 2 la potenza condotta verso l aria esterna, T r e T a rispettivaente la teperatura interna alla ongolfiera e quella esterna, entre θ t e C sono la resistenza terica offerta dalla superficie del pallone e la capacità terica di quest ultio. Le equazioni che caratterizzano il circuito sono: d(t r T a ) b = p + p 2 = p C T r T a = θ t p 2 (2.) Definendo V il volue totale del pallone, ρ a la densità dell aria alla teperatura T a, c a il calore specifico dell aria e supponendo che tutte queste grandezze siano costanti, si possono espriere, sulla base di note forule valide per gas ideali, le equazioni che deterinano la capacità terica e la densità dell aria riscaldata: C = Vρ a c a ρ r T r = ρ a T a Infine, ricordando che la spinta di galleggiaento del pallone è deterinata dalla differenza di densità tra l aria riscaldata e quella esterna (per il principio di Archiede): F spinta = V (ρ a ρ r )g nella quale g è la nota costante di accelerazione gravitazionale, è possibile definire l equazione caratteristica della dinaica verticale dell aerostato traite il bilancio delle forze (indicando con f il coefficiente di attrito viscoso che caratterizza la resistenza aerodinaica): d2 h 2 + f dh + g = F spinta (2.2) Iponendo le seguenti scelte sulle variabili di stato, ingresso ed uscita: x = T r, x 2 = h, x 3 = ḣ, y = x 2 e u = b, si ottiene il seguente odello nonlineare nello spazio degli stati, affine nel controllo e SISO: dx dx 2 dx 3 = Cθ t (T a x )+ C u = x 3 (2.3) = Vρ ( a g T ) a f x x 3 g 2-2

9 del tipo: con x =[x x 2 x 3 ] T =[T r h ḣ ]T e ẋ = f(x)+b(x)u y = h(x) Vρ f = [ Cθ t (T a x ) x a g 3 b = [ C 0 0] T ( ) Ta x f x 3 g ] T h = x Analisi dell equilibrio Si può facilente verificare che gli stati di equilibrio del sistea non dipendono dalla particolare quota alla quale si vuole far volare l aerostato. Iponendo che questa quota sia costante (x3 = 0, condizione necessaria per l equilibrio) si deterina univocaente la teperatura T r necessaria per antenere la ongolfiera iobile e, di conseguenza, il calore che il bruciatore deve erogare per bilanciare esattaente la dispersione terica verso l aria circostante. Foralente, la faiglia di punti che soddisfa la condizione di equilibrio è: con: [ ] T T a x e = x 2d 0 /V ρ a u e = x e T a θ t = T a (V ρ a ) θ t Si noti che per questa faiglia di punti di equilibrio l unico paraetro che si può effettivaente considerare variabile in odo significativo, in funzione delle condizioni operative del velivolo, è la teperatura abiente T a. Il calcolo della linearizzazione approssiata perette di ottenere le seguenti atrici: A = 2.3 Feedback Linearization Cθ t g(v ρ a ) 2 Vρ a T a 0 f C B = 0 0 Si può diostrare con alcuni passaggi che il sistea ha grado relativo pari a 3, pertanto la feedback linearization ingresso-uscita porta anche ad una linearizzazione copleta ingresso-stato. Ponendo coe nuove variabili di stato: z =[z z 2 z 2 ] T =[x 2 x 2d x 3 g fx 3 + gv ( ) Ta x ρ a ] T 2-3

10 e coe uscita y = z il sistea è riconducibile ad una fora canonica la cui ultia riga è: nella quale: ż 3 =... y = f (x)+b (x)u f = gv T a ( T a Cθ t x 2 x Cθ t ) ρ a f ( ( g fx3 + gv ) ) Ta x ρ a (2.4) b = gv T a ρ a (2.5) Cx 2 che può essere trasforata in... y = v traite la legge di controllo u = b (v f ), cioè: ( ) Cx 2 Ta gv Ta ( Cθ x f v t Cθ t ) ρ a x 2 + g fx 3 + gv Ta ( x ) ρa u = o anche in fora più copatta: gv T a ρ a u = v Cx 2 gv T a ρ a Cfx + Cfx 2 T a T a θ t + x Cfx 2 θ t 2 x 3 Cf2 x VT a ρ a gv T a ρ a Si noti che iporre una condizione di regie y = 0, che corrisponde anche a portare nell origine il vettore di stato z, equivale a portare il sistea originario nella condizione di equilibrio iposta dal set-point x d. 2.4 COMPITI DI PROGETTO. Controllo LQ: realizzare siulazioni in abiente Matlab/Siulink del sistea considerato con controllo di tipo LQ, progettato per l approssiazione lineare definita da T a e con atrice di penalizzazione dello stato Q (3 3), scalare di penalizzazione dell ingresso R e atrice di penalizzazione stato-ingresso N (3 ) a piacere. Verificare inoltre l effetto di variazioni di tali atrici sulle prestazioni del controllore. N.B.: si ricordi che essendo u e 0 nel punto di equilibrio, lo schea di controllo da ipleentare è quello della slide 6 nelle Note Applicative presentate a lezione. 2. Controllo con Feedback Linearization: ipleentare la legge di controllo linearizzante descritta alla sezione 2.3 e sfruttare l ingresso fittizio v per realizzare un ulteriore anello di controllo per la regolazione in y = 0, utilizzando un seplice controllore lineare oppure un controllore Sliding Mode. N.B.: si ricordi che... y = v, pertanto una superficie di sliding idonea può essere: S =ÿ +2λẏ + λ 2 y in base alla quale la legge di controllo per l ingresso fittizio v sarà del tipo (il terine di feedforward... y d non si considera in quanto identicaente nullo): v = 2λÿ λ 2 ẏ Ksign(s) 2-4

11 3. Controllo con Reti Neurali: una volta ottenute buone prestazioni per aleno uno dei due controllori richiesti ai punti precedenti, effettuare il training di una Rete Neurale con il etodo del Supervised Learning, acquisendo dati di training con uno dei due odelli ottenuti in precedenza, al quale siano applicate delle variazioni rando (di entità percentuale tale da non rendere il sistea instabile) sia sul set-point x 2d che sulla teperatura abiente T a. Verificare l effetto di odifiche al nuero di neuroni della rete o ai dati di training sulle prestazioni del controllore. N.B.: è suggeribile utilizzare coe ingressi della rete il set-point, gli stati isurati e la teperatura abiente T a. Totale ingressi della rete: 5 (, set-point, +, T a, + 3 stati isurati). 4. Controllo con Logica Fuzzy: una possibile strategia di progetto per un controllore Fuzzy, potrebbe essere quella del Fuzzy Gain Scheduling, che prevede di sfruttare tecniche di progetto per controllori lineari (es. LQ) per ottenere i paraetri di alcuni regolatori validi per rispettive approssiazioni lineari con diversi valori di T a (T a,, T a,2, ecc.). Tali valori T a,i corrisponderanno poi ai valori centrali delle funzioni ebership per la fuzzificazione dell ingresso del regolatore Fuzzy, il quale potrà cobinare i controllori lineari grazie all approccio Sugeno, con regole del tipo: IF T a is T a,i THEN u = K i (x d x)+u d,i N.B.: si noti che nel Fuzzy Logic Toolbox di Matlab, i sistei Sugeno hanno funzioni di output del tipo: out = a in + b in2 + + c Pertanto, per ipleentare i vari regolatori lineari, sarà necessario che il sistea Fuzzy abbia coe ingressi tutti gli eleenti di x d edix e che i paraetri a,b... siano deterinati correttaente in base agli eleenti delle varie atrici K i (es. se il prio ingresso in viene associato a x d, il paraetro a dovrà essere K i,,cioè il prio eleento della atrice, entre se in viene associato a x, a dovrà essere K i,. La costante c sarà invece sepre pari a u d,i ). 5. ESPERIMENTI COMPARATIVI: verificare le prestazioni e la robustezza di tutti i sistei di controllo progettati, rispetto a variazioni (considerate separataente): di ± o C della teperatura abiente T a di ± 0 % del set-point di ± 5 % della assa M. Tali variazioni possono essere applicate coe gradini durante la siulazione, oppure odificando i valori iniziali della siulazione, purchè sia riportato nella relazione finale un grafico coparativo che evidenzi la differenza di coportaento tra la condizione noinale e quella perturbata. 2.5 PARAMETRI NUMERICI DA UTILIZZARE Dato il nuero di atricola dello studente con sei cifre , fissare i paraetri del odello coe segue (oltre a g = /s 2 ): Massa dell aerostato: = 2 Kg (se e/o 2 sono = 0, sostituirla/e con la/e cifra/e iediataente successiva/e) Volue dell aerostato: V =2 6 3 (se 6 = 0 sostituirla con 5) Capacità terica del pallone: C = Vρ a c a J/ o C, con ρ a =.2928 kg/ 3 e c a = 008 J/ o Ckg. Resistenza terica tra aerostato e abiente: θ t = 5 /50 o C/W (se 5 = 0 sostituirla con 4) Coefficiente di attrito viscoso aerodinaico: f = 5, 6 Ns/(se 5 e/o 6 sono = 0, sostituirla/e con la/e cifra/e iediataente precedente/i) 2-5

12 Indipendenteente da questi paraetri invece, fissare: Teperatura abiente 20 o C (293.5 o K) Condizioni iniziali: Set-point: x 0 =[x 0 x 20 x 30 ] T =[ /V ρ a 00 0] T x d =[x d x 2d x 3d ] T =[ /V ρ a 20 0] T 2-6