albero binario di ricerca Algoritmi e strutture dati albero binario di ricerca/3 albero binario di ricerca/2

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1 albero binario di ricerca Algoritmi e strttre dati Alberi binari di ricerca (BST) albero binario che soddisfa la segente proprietà per ogni nodo, ttte le chiai nel so sottoalbero sinistro sono! della chiae associata al nodo e ttti le chiai nel so sottoalbero destro sono " di Algoritmi e strttre dati 2 albero binario di ricerca/2 albero binario di ricerca/ ok errato! Algoritmi e strttre dati 3 indicato spesso come BST (binary search tree) tilizzabile qando le chiai appartengono a n nierso totalmente ordinato ipotesi semplificatia di laoro: chiai strettamente minori nei sottoalberi sinistri e strettamente maggiori nei sotto alberi destri Algoritmi e strttre dati 4

2 rappresentazione dei nodi in molti casi pò essere la stessa sata negli alberi binari (classe BinaryNode) in alternatia, la si pò estendere per le ariabili membro possiamo sare lo specificatore di accesso priate o protected le consegenze sono differenti Algoritmi e strttre dati 5 rappresentazione collegata dei nodi pblic class BSTNode { /* Qi pò essere presente n campo info */ protected Comparable key; // interface Comparable richiede metodo compareto BSTNode left, right; // rappr. minima pblic BSTNode() { pblic BSTNode(Object el) { pblic BSTNode(Object el, BSTNode lt, BSTNode rt) { pblic oid isit() { key.isit(); pblic boolean isleaf() { Algoritmi e strttre dati 6 pblic interface Comparable pblic int compareto(object o) retrns a negatie integer, zero, or a positie integer as this object is less than, eqal to, or greater than the specified Object o The implementor mst ensre sgn(x.compareto(y)) == - sgn(y.compareto(x)) for all x and y. (This implies that x.compareto(y) mst thro an exception iff y.compareto(x) thros an exception.) The implementor mst also ensre that the relation is transitie: (x.compareto(y)>0 && y.compareto(z)>0) implies x.compareto(z)>0 Finally, the implementer mst ensre that x.compareto(y)==0 implies that sgn(x.compareto(z)) == sgn(y.compareto(z)), for all z Algoritmi e strttre dati 7 pblic interface Comparable/2 It is strongly recommended, bt not strictly reqired that (x.compareto(y)==0) == (x.eqals(y)). Generally speaking, any class that implements the Comparable interface and iolates this condition shold clearly indicate this fact. The recommended langage is "Note: this class has a natral ordering that is inconsistent ith eqals" Algoritmi e strttre dati 8

3 operazioni si BST pblic interface BST { oid clear(); boolean isempty(); BSTNode search(bstnode p, Comparable el); oid insert(bstnode node); boolean isintree(comparable el); int getsize(); oid inorder(bstnode p); oid preorder(bstnode p); oid postorder(bstnode p); oid breadthfirst(); int treeheight(bstnode radice); oid delete(comparable el); Algoritmi e strttre dati 9 altre operazioni si BST BSTNode minimm(bstnode ); BSTNode maximm(bstnode ); BSTNode sccessor(bstnode ); BSTNode predecessor(bstnode ); D.: qali sono gli elementi max. e min.? Algoritmi e strttre dati 10 elementi o nodi? il metodo che implementa l operazione search pò restitire elementi (Object) o nodi (BSTNode) Object iene rafforzato l incapslamento ariabili membro protected BSTNode operazioni s sottoalberi ariabili membro priate e metodi accessori/modificatori il dilemma ale anche per altri metodi ricerca in n BST BSTNode search(bstnode p, Comparable el) { hile (p!= nll) if (el.eqals(p.key)) retrn p; else if (el.compareto(p.key)<0) p = p.left; else p = p.right; retrn nll; /* Se non lo troa */ sccessor, delete Algoritmi (parametro e strttre dati formale), 11 Algoritmi e strttre dati 12

4 Versione ricorsia BSTNode search(bstnode p, Comparable el) { if(p == nll) retrn nll; if (el.compareto(p.key)<0) retrn search(p.left, el); else if (el.compareto(p.key)>0) retrn search(p.right,el); else retrn p;/* Troato!! */ Algoritmi e strttre dati 13 costo della ricerca in n BST BST di n nodi caso peggiore O(n) caso medio dipende dalla distribzione caso migliore O(1) (poco interessante) Algoritmi e strttre dati 14 costo della ricerca in n BST/2 analisi del caso medio nel caso di distribzione niforme delle chiai il alore atteso dell'altezza dell'albero è O(lg n) N.B. L'altezza di n albero binario di n nodi aria in {#lg 2 n$ + 1,, n n BST con chiai niformemente distribite ha n costo atteso di ricerca O(lg n) Algoritmi e strttre dati 15 IPL (internal path length): somma lngh. percorsi radice-nodo, per ttti i nodi lngh. media percorso radice-nodo: IPL/(#nodi) Algoritmi e strttre dati 16

5 analisi del caso medio/2 chiai 1,,n presenti in n BST di n nodi (senza perdita di generalità) P n (i ): percorso medio in BST di n nodi aente chiae i in radice P n : percorso medio in BST di n nodi se k(radice) = i allora sottoalbero sx ha i 1 chiai sottoalbero dx ha (Pi! 1+ 1)( i! 1) + (Pn! i + 1)( n! i ) P n ( i ) = n n " P ( i ) i 1 n Pn = = =... = O(lgn) n inserimento in n BST noo nodo iene inserito come foglia fase 1: cerca il nodo genitore fase 2: inserisci come figlio di n i chiai Algoritmi e strttre dati 17 Algoritmi e strttre dati 18 inserimento in n BST/2 pblic oid insert(comparable el) { BSTNode p = root, pre = nll; hile (p!= nll) { pre = p; if (p.key.compareto(el)<0) p = p.right; else p = p.left; if (root == nll) // albero oto; root = ne BSTNode(el); else if (pre.key.compareto(el)<0) pre.right = ne BSTNode(el); else pre.left = ne BSTNode(el); fase 1 Algoritmi e strttre dati 19 fase 2 inserimento in n BST/3 la fase 1 termina qando si ragginge n nodo del BST prio del figlio in ci arebbe ato senso continare la ricerca non necessariamente na foglia la fase 2 si limita a collegare na noa foglia Algoritmi e strttre dati 20 83

6 inserimento in n BST/4 caso peggiore costo fase 1: O(n ) costo fase 2: O(1) costo totale: O(n ) caso medio (distrib. nif.) costo fase 1: O(lg n ) costo fase 2: O(1) costo totale: O(lg n ) 83 Algoritmi e strttre dati 21 costo dell'inserimento in n BST ogni inserimento introdce na noa foglia il costo è (proporzionale a) la lnghezza del ramo radice-foglia nel caso peggiore O(n ) Algoritmi e strttre dati 22 cancellazione da n BST cancellazione da n BST/2 tre casi 1. cancellazione di na foglia 2. cancellazione di n nodo con n solo figlio 3. cancellazione di n nodo con de figli Algoritmi e strttre dati 23 cancellazione di na foglia basta indiidare il nodo genitore e mettere a nll la ariabile membro opportna (left o right) indiidare il genitore significa sostanzialmente effettare na ricerca (come nella fase 1 dell'inserimento) n approccio alternatio è basato slla tramatra dell'albero (i nodi contengono altri riferimenti, ad es., al genitore) Algoritmi e strttre dati 24

7 cancellazione da n BST/3 cancellazione da n BST/4 cancellazione di cancellazione di n nodo con n solo figlio indiidare genitore di se è radice diiene la noa radice se esiste, sostitire al collegamento (, ) il collegamento (, ) Algoritmi e strttre dati 25 Algoritmi e strttre dati 26 cancellazione da n BST/4 cancellazione da n BST/5 cancellazione di Algoritmi e strttre dati 27 cancellazione di n nodo con de figli (ci si ricondce ad no dei casi precedenti cancellazione per copiatra) indiidare predecessore (o sccessore) di (secondo il alore della chiae) non pò aere de figli, altrimenti non sarebbe predecessore (sccessore) copiare la chiae di al posto di qella di cancellare nodo è foglia o ha n solo figlio Algoritmi e strttre dati 28

8 copia chiae cancellazione per copiatra cancella Cancellazione per copiatra/2 pblic oid deletebycopying(comparable el) { BSTNode node, p = root, pre = nll; hile (p!= nll &&!p.key.eqals(el)) { pre = p; if (p.key.compareto(el)<0) p = p.right; else p = p.left; node = p; /* Cerca il nodo */ /* Contina alla prossima slide... */ Algoritmi e strttre dati 29 Algoritmi e strttre dati 30 Cancellazione per copiatra/3 /* Dalla slide precedente... */ if (p!= nll && p.key.eqals(el)) { if (node.right == nll) node = node.left; else if (node.left == nll) node = node.right; /* Casi semplici: il nodo ha n solo figlio */ /* Contina... */ Algoritmi e strttre dati 31 Cancellazione per copiatra/4 /* Dalla slide precedente... */ else { /* De figli... */ BSTNode tmp = node.left; BSTNode preios = node; hile (tmp.right!= nll) { preios = tmp; tmp = tmp.right; node.key = tmp.key; /* Copia anche info se presente */ if (preios == node) preios.left = tmp.left; else preios.right = tmp.left; /* Contina... */ Algoritmi e strttre dati 32

9 Cancellazione per copiatra/5 /* Dalla slide precedente... */ if (p == root) /* Troa padre noo nodo */ root = node; else if (pre.left == p) pre.left = node; else pre.right = node; else if (root!= nll) System.ot.println( Elemento assente ); else System.ot.println( Albero oto"); Algoritmi e strttre dati 33 costo della cancellazione in n BST la cancellazione di n nodo interno richiede l'indiidazione del nodo da cancellare nonché del so predecessore (o sccessore) nel caso peggiore entrambi i costi sono lineari: O(n ) + O(n ) = O(n ) da cancellare predecessore Algoritmi e strttre dati 34 n/2 n/2 Cancellazione per fsione x : nodo da cancellare x: nodo predecessore di x Domande Si implementi il metodo di isita in ordine simmetrico Cosa prodce la isita simmetrica se le chiai sono stringhe? Perché per implementare le basi di dati si sano alberi e non array? Algoritmi e strttre dati 35 Algoritmi e strttre dati 36