Politecnico di Torino. Ricerca Operativa RICERCA OPERATIVA

Transcript

1 RICERCA OPERATIVA R. Tadei 1

2 Indice 1. Programmazione Lineare 2. Simplesso 2.1 Metodo del simplesso 2.2 Metodo del simplesso revisionato 3. Teoria della dualità 4. Metodi duali del simplesso 4.1 Simplesso duale 4.2 Simplesso primale duale 5. Analisi di sensibilità 6. Problemi di allocazione 6.1 Problema del trasporto 6.2 Problema dell assegnamento R. Tadei 2

3 Indice (cont.) 7. Flussi su reti 7.1 Alcuni concetti sui grafi 7.2 Problema del flusso di costo minimo 7.3 Problema del cammino minimo 7.4 Problema del flusso massimo 8. Programmazione intera 8.1 Metodo delle sezioni (Gomory) 8.2 Metodo del Branch & Bound 8.3 Metodo di Balas (Programmazione binaria) 9. Programmazione Dinamica R. Tadei 3

4 0. INTRODUZIONE R. Tadei 4

5 definizione data dall O.R.S.A. : (Operations Research Society of America) "È il procedimento della scienza moderna di fronte ai complessi problemi di scelta che sorgono nella direzione dei grandi sistemi. L'atteggiamento distintivo è di sviluppare un modello scientifico del sistema con il quale predire e confrontare politiche e azioni". Aspetti fondamentali COSTRUZIONE DI UN MODELLO LOGICO-MATEMATICO DEL PROBLEMA (SIMULARE LE CONSEGUENZE DI DIFFERENTI DECISIONI) R. Tadei 5

6 Modo di operare della R. O. 1. Formulazione del problema 2. Costruzione del modello 3. Derivazione di una soluzione 4. Verifica del modello e valutazione della soluzione 5. Attuazione e aggiornamento della soluzione L ordine di inizio delle varie fasi in genere è questo, lo stesso non si può dire, invece, per quanto riguarda la conclusione. R. Tadei 6

7 1. Formulazione del problema Spesso il committente non riesce ad individuare con chiarezza il problema, occorre quindi, a partire dai "sintomi", individuarlo e formularlo per poterlo sottoporre alla ricerca. 2. Costruzione del modello Il modello matematico dei problemi di scelta prende la forma : U = f ( x i, y i ) dove U è il valore delle prestazioni del sistema essere massimizzata o minimizzata x i sono le variabili che possono essere controllate che deve y i sono le variabili (e costanti) che non sono controllate ma che influiscono su U Inoltre ci sono spesso alcuni vincoli nella manipolazione delle variabili controllate. R. Tadei 7

8 Dopo aver raccolto i dati utili per stabilire i valori delle y i occorre quindi : 1) Scegliere le variabili di controllo e il loro tipo 2) Formulare la funzione obiettivo (es. reali, intere o binarie) 3) Formulare i vincoli ricordando che il problema risulterà poi quello di : determinare i valori delle variabili di controllo che rendono ottima (minima o massima) la funzione obiettivo, sotto le condizioni espresse dai vincoli. Per semplificare la soluzione del problema è molto importante scegliere le variabili appropriate e le corrette relazioni tra di esse. R. Tadei 8

9 3. Derivazione di una soluzione a. Metodi di ottimo b. Metodi sub-ottimali IL FINE DI UNO STUDIO DI R. O. NON È DI DETERMINARE UNA SOLUZIONE OTTIMALE AD OGNI COSTO, MA QUELLO DI INDIVIDUARE UNA SOLUZIONE SODDISFACENTE, TENUTO CONTO DELLA SUA ECONOMICITÀ 4. Verifica del modello e valutazione della soluzione I valori ottimali migliorano il funzionamento del sistema soltanto se il modello è una buona rappresentazione del sistema, quindi occorre verificare l'aderenza del modello alla realtà e valutare la soluzione. Questo andrebbe fatto continuamente nello sviluppo delle fasi precedenti. R. Tadei 9

10 E di estrema importanza l'analisi e l'interpretazione della soluzione e la sua presentazione al decisore. 5. Attuazione e aggiornamento della soluzione Se la soluzione viene attuata si fa l'ultima prova e valutazione della ricerca; è in questa fase che l'operatore di RO ha la migliore occasione di imparare. Se la decisione deve essere effetuata più volte e i valori delle variabili non controllate e/o la struttura del sistema cambia da una volta all'altra (caso molto frequente) allora occorre aggiornare la soluzione. R. Tadei 10

11 Riviste Mathematical Programming Management Science Operations Research Operations Research Letters European Journal of Operational Research Computers & Operations Research Journal of Operational Research Society Naval Research Logistics R. Tadei 11

12 Premessa Durante la seconda guerra mondiale la tecnologia si sviluppò troppo rapidamente per essere assorbita dalla tattica e dalla strategia militare. I militari inglesi chiesero allora l'aiuto di alcuni scienziati per determinare la strategia di difesa aerea e di adozione del radar, durante l'attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna. Il loro successo produsse nuove richieste da parte degli alleati e il loro lavoro divenne noto nel Regno Unito come ricerca operativa. Questi scienziati erano però troppo impegnati dai problemi di allora per potersi dedicare ad una consapevole analisi della metodologia, così i primi testi di ricerca operativa fecero la loro comparsa soltanto negli anni 50, quando la disciplina fu riconosciuta come materia degna di essere insegnata nelle università. In Italia si incominciò a occuparsene dalla fine degli anni 50 (AIRO 1961). R. Tadei 12

13 Problemi tattici e problemi strategici La ricerca operativa ha lo scopo di fornire una sistematica e razionale soluzione dei problemi fondamentali connessi con il controllo dei sistemi. La ricerca operativa è applicata ad una grande varietà di problemi la maggior parte dei quali di natura tattica piuttosto che strategica. La distinzione tra problemi tattici e strategici non è fortemente marcata perché si basa sulle seguenti tra caratteristiche fortemente qualitative. R. Tadei 13

14 Problemi tattici e strategici Problemi tattici Problemi strategici Estensione Portata l effetto della sua soluzione è di breve durata e l adozione di una soluzione può essere facilmente modificata l effetto della sua soluzione coinvolge una parte poco vasta dell organizzazione. Finalità considera i risultati ottimi (finalità del problema) come dati o assegnati l effetto della sua soluzione è di lunga durata e l adozione di una soluzione non può essere facilmente modificata l effetto della sua soluzione coinvolge una parte molto vasta dell organizzazione. considera come parte del problema la determinazione di quali risultati ottimi si vogliono ottenere R. Tadei 14

15 Problemi canonici I problemi tattici tendono a raggrupparsi in pochi tipi ben definiti che chiameremo problemi canonici. La determinazione dei problemi canonici non viene fatta in base al significato che assumono le grandezze in gioco, ma al modo in cui sono legate. I problemi canonici e le tecniche matematiche impiegate per risolverli non hanno una corrispondenza biunivoca, tuttavia la maggior parte delle tecniche sono associate soprattutto a particolari problemi canonici (es. Simulazione delle code, Programmazione Lineare per l'allocazione). I problemi tattici possono quindi essere classificati oltre che secondo le loro caratteristiche gestionali anche secondo il tipo di matematica richiesta per la loro soluzione. Per sua natura la classificazione in problemi canonici è mutabile ed i limiti tra un problema e l'altro sono spesso poco marcati. Ecco alcuni problemi canonici (1968 Ackoff/Sasieni - Fundamentals of OR). R. Tadei 15

16 Problema : Tecniche matematiche tipiche della : Allocazione Scorte Sostituzione Code Minimizzare il costo (o massimizzare il guadagno) dell'attribuzione di risorse scarse per permettere che ogni lavoro sia eseguito nel modo più efficiente possibile. Minimizzare il costo di gestione di scorte di risorse utilizzabili. Pianificare la sostituzione (o manutenzione) di attrezzature che si deteriorano con il tempo o che, se sostituite con altre più moderne, possono aumentare i rendimenti. Programmazione Lineare Teoria delle scorte Programmare gli arrivi e/o dimensionare Teoria delle code, un sistema in cui vengono Simulazione svolti dei servizi a cui vogliono accedere alcuni clienti che possono formare una linea di attesa o coda se arrivano troppo frequentemente. R. Tadei 16

17 Problema : Tecniche matematiche tipiche della : Sequenza Coordinamento Scelta di itinerari Scegliere la disciplina del servizio e/o l'ordine di servizio in un sistema a code, dati i tempi di inizio e terminazione richiesti per ogni servizio, le attrezzature necessarie per ogni servizio, in quale ordine e la durata di operazione. Determinare quanto impegno deve essere dedicato allo svolgimento di ciascuna attività e quando viene programmata dato un grafo che rappresenta le precedenze tra le varie attività di uno stesso progetto Individuare un cammino attraverso un grafo che minimizzi (o massimizzi) una funzione delle proprietà degli archi del cammino Scheduling Scheduling (Percorso critico) Teoria dei grafi R. Tadei 17

18 Problema : Tecniche matematiche tipiche della : Concorrenza Ricerca Determinare delle decisioni quando il risultato viene influenzato dalla combinazione di decisioni prese anche da altri. (Alcune variabili sono controllate da altri i cui interessi possono essere in netto contrasto con gli obiettivi del primo decisore, c'è cioè concorrenza) Reperire delle informazioni relative al sistema, perchè si sa quale tattica si dovrebbe adottare avendole. Al contrario degli altri problemi invece di partire dalle informazioni per determinare una tattica, è necessario reperire le informazioni perchè la loro conoscenza permette di attuare una tattica predefinita Teoria dei giochi Inferenza statistica Teoria degli errori R. Tadei 18

19 Tipici problemi di allocazione sono il problema dei trasporti ed il problema dell'assegnamento, mentre tipici problemi di scelta di itinerari sono TSP, Flusso di costo minimo, Percorso minimo, Flusso massimo. I modelli canonici sono i più ampi che si possano di solito risolvere in una volta sola, tuttavia per risolvere un problema reale occorre spesso scomporlo in sottoproblemi che rientrano in quelli canonici. La Programmazione Dinamica effettua una scomposizione di un grosso problema in sottoproblemi ognuno dei quali comporta soltanto poche variabili. Al contrario delle altre tecniche matematiche che sono soprattutto associate a un particolare problema canonico, la Programmazione Dinamica è legata a molti problemi come l'allocazione, le scorte e la sostituzione. R. Tadei 19

20 ARGOMENTI TRATTATI NEI CAPITOLI I capitoli 1-5 forniscono teoria, modelli e algoritmi per la programmazione lineare. Il capitolo 6 presenta alcune tecniche di soluzione per problemi canonici di allocazione Il capitolo 7 presenta alcune tecniche di soluzione per problemi canonici di scelta di itinerari e di coordinamento Il capitolo 8 affronta teoria, modelli e algoritmi per la programmazione lineare intera. Il capitolo 9 affronta alcune tecniche matematiche relative alla programmazione dinamica. R. Tadei 20