RICERCA OPERATIVA. 1. Introduzione

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1 RICERCA OPERATIVA 1. Introduzione

2 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 2 Docente Francesca Maggioni Ricercatrice (s.s.d. MAT/09 Ricerca Operativa) Dipartimento di Scienze aziendali, economiche e metodi quantitativi, Ufficio [email protected] Home page: Ricevimento: martedì ore 14:30-15:30

3 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 3 Organizzazione del corso Lezioni mercoledì: 8:30 10:30 (Laboratorio 9) venerdì: 16:30 18:30 (Aula 3) Modalità d esame Orale integrabile con la discussione di un mini-progetto Data d esame: 25/01/2016 ore 09:00 Materiali e avvisi

4 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 4 Organizzazione del corso Testi di riferimento: 1. M. Caramia, S. Giordani, F. Guerriero, R. Musmanno, D. Pacciarelli Ricerca Operativa, Isedi, ISBN: S. Martello, M.G. Speranza, Ricerca Operativa per l'economia e l'impresa, Società Editrice Esculapio 3. R. Tadei, F. Della Croce, Elementi di ricerca operativa, Società Editrice Esculapio, ISBN: Materiale aggiuntivo verrà fornito durante le lezioni.

5 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 5 Cos è la Ricerca Operativa Applicazione di metodi scientifici a problemi decisionali, in cui occorre gestire attività in modo da conseguire il miglior risultato. Problema decisionale reale operazioni Ricerca delle operazioni con metodo scientifico Soluzioni del problema reale Ricerca Operativa nota anche come Scienza della Gestione (Science of Better:

6 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 6 Cos è la Ricerca Operativa Obiettivo: fornire un supporto alla presa di decisioni. Permette di operare le scelte migliori per raggiungere un determinato obiettivo rispettando vincoli che sono imposti. Approccio scientifico: si occupa di formalizzare un problema in un modello matematico e calcolare una soluzione ottima o approssimata. Applicazioni: ambiti economico, finanziario, infrastrutturale, logistico, militare, nel trasporto, nelle tecnologie, in biologia e medicina.

7 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 7 Le origini della Ricerca Operativa Gran Bretagna (anni immediatamente precedenti la 2 Guerra Mondiale). Seconda metà anni 30, la ROYAL AIR FORCE cominciò ad interessarsi dei radar nella difesa antiaerea e si rese conto dell importanza di una distribuzione ottimale dei radar sul territorio. Viene formato un gruppo di militari e scienziati guidato da Patrick Blackett per la ricerca sugli aspetti operativi (Operational Research Section della RAF).

8 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 8 Le origini della Ricerca Operativa Le nuove metodologie vennero impiegati nei settori delle OPERAZIONI MILITARI (studio ottimale dei convogli di navi che trasportano rifornimenti da Stati Uniti-Europa, ottimizzazione delle formazioni di bombardieri che colpivano la Germania ) Al termine del conflitto mondiale gli scienziati convertirono alla vita civile le nuove metodologie (settore privato e pubblico, periodo boom post bellico). Nuova disciplina: OPERATIONAL RESEARCH (in inglese) OPERATIONS RESEARCH (in americano) 1961: viene costituita l Associazione Italiana di Ricerca Operativa (AIRO)

9 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 9 Il metodo scientifico A partire da Galileo: sperimentazione per comprendere leggi matematiche (modelli) Ciclo deduttivo del modello scientifico OSSERVAZIONE DEL SISTEMA SVILUPPO DI UN MODELLO SPERIMENTAZIONE PREDIZIONI CONFERMATE

10 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 10 Problemi di Ottimizzazione Esempi di problemi Pianificazione della produzione, schedulazione di processi Mix ottimo di produzione Determinazione dei turni del personale Determinazione dei percorsi ottimali Organizzazione dei flussi di dati in una rete di telecom Individuazione di sequenze genomiche Pianificazione e gestione operativa di reti di trasporto Problemi di investimento: allocazione di portafoglio etc

11 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 11 Esempi di problemi di ottimizzazione affrontati con strumenti della Ricerca Operativa Tratti dalla lista dei lavori finalisti del premio Franz Edelman che la comunità RO assegna alle applicazioni di maggiore rilevanza.

12 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 12 Gli scopi della Ricerca Operativa E spesso facile generare soluzioni ammissibili E spesso facile proporre soluzioni ragionevoli Ma Come certificare che una soluzione proposta è la migliore in assoluto (ottima)? Come valutare la stabilità della soluzione proposta in funzione di dati variabili? Uso di strumenti matematici e algoritmici: RICERCA OPERATIVA.

13 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 13 Costruzione del modello Cosa bisogna decidere? VARIABILI DECISIONALI (INCOGNITE) Qual è l obiettivo? FUNZIONE OBIETTIVO Come sono caratterizzate le soluzioni ammissibili? VINCOLI DEL PROBLEMA (RELAZIONI TRA INCOGNITE) Modelli matematici: funzione obiettivo e vincoli sono espressi come relazioni matematiche tra le variabili decisionali

14 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 14 Esempio: pianificazione della produzione Un impresa produce due tipi di televisori A e B. La capacità della linea di produzione A è di 60 pezzi/giorno e quella della linea B 50 pezzi/giorno. Un televisore di tipo A richiede 1 ora di manodopera, quello di tipo B richiede 2 ore. E a disposizione un massimo di 120 ore di manodopera/giorno da utilizzare per la produzione di A e B. Il profitto di A è di 20, quello di B di 30. Qual è la produzione giornaliera che massimizza il profitto?

15 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 15 Formulazione del modello dette A e B le produzioni giornaliere di televisori A e B max = à 50 à , 0 à

16 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 16 Rappresentazione dei vincoli e funzione obiettivo per il problema di pianificazione della produzione

17 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 17 Pianificazione della produzione Il problema illustrato è un tipico esempio di modello di PROGRAMMAZIONE LINEARE che consiste in: una funzione obiettivo rappresentata da un espressione lineare delle incognite del problema da massimizzare (o minimizzare); Un sistema di vincoli. La figura precedente rappresenta geometricamente la regione di ammissibilità del problema ed è costituto da un insieme di disequazioni lineari, che le incognite del problema devono rispettare.

18 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 18 Modelli di Programmazione Lineare Il metodo grafico funziona grazie a: linearità della funzione obiettivo linearità dei vincoli Sotto queste ipotesi (come vedremo meglio in seguito), una soluzione si trova su un vertice della regione ammissibile: l ultimo toccato traslando le rette isoprofitto nella direzione del gradiente Si parla in questi casi di MODELLI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE (PL). Con più variabili vedremo in seguito come risolvere il problema.

19 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 19 Problema di allocazione ottima di risorse a varie attività. La WYNDOR GLASS CO. realizza finestre e porte in 3 stabilimenti. Stabilimento 1: produzione di telai in alluminio e articoli in metallo; Stabilimento 2: produzione di telai in legno; Stabilimento 3: produzione di vetro e assemblaggio dei prodotti.

20 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 20 Problema di allocazione ottima di risorse a varie attività. Si decide di realizzare 2 nuovi prodotti: Prodotto 1: porta in vetro con intelaiatura in alluminio Prodotto 2: finestra con intelaiatura in legno Prodotto 1: richiede le risorse produttive degli Stabilimenti 1 e 3. Prodotto 2: necessita degli Stabilimenti 2 e 3. Determinare il tasso di produzione di ciascuno dei 2 prodotti per massimizzare il profitto totale, con i vincoli imposti dalle capacità produttive dei 3 stabilimenti.

21 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 21 Formulazione del problema della Wyndor

22 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 22 Formulazione matematica del problema della Wyndor Per formulare il modello di PL si definiscono: x 1 = n. lotti di Prodotto 1 realizzati alla settimana; x 2 = n. lotti di Prodotto 2 realizzati alla settimana; Z = profitto settimanale totale della produzione dei 2 prodotti. Il problema consiste nella scelta dei valori di x 1 e x 2 in modo da max Z = 3x 1 + 5x 2 x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0

23 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 23 Risoluzione grafica del problema della Wyndor Problema con 2 variabili decisionali risoluzione grafica. Costruzione di un grafico bidimensionale con x 1 e x 2 come assi cartesiani. Primo passo: individuare l insieme di tutte le coppie (x 1,x 2 ) ammissibili tenuto conto dei vincoli. Si tracciano le rette che delimitano la regione dei valori permessi da ciascun vincolo. x 1 0 e x 2 0 limitano la regione al I quadrante del piano cartesiano. x 1 4 (x 1,x 2 ) deve essere alla sinistra della retta x 1 = 4.

24 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 24 Risoluzione grafica Il vincolo 2x 2 12 implica che la retta x 2 = 6 fa parte della frontiera della regione permessa. Il vincolo 3x 1 + 2x 2 18 richiede di disegnare i punti (x 1,x 2 ) del piano in modo che la retta 3x 1 + 2x 2 = 18 completi la frontiera. La regione risultante, costituita dai valori permessi per le coppie (x 1,x 2 ), è chiamata REGIONE AMMISSIBILE

25 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 25 Risoluzione grafica Passo finale: scegliere i punti della regione ammissibile che massimizzano il valore della funzione Z = 3x 1 + 5x 2 Disegno di una famiglia di rette parallele comprendenti almeno un punto della regione ammissibile. Scelta della retta corrispondente al maggiore valore di Z. Soluzione ottimale

26 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 26 Modello di allocazione ottima Parole chiave: RISORSE E ATTIVITÀ Applicazione tipica di programmazione lineare: allocazione ottima delle risorse alle varie attività. La quantità delle risorse disponibili è limitata. Determinare l allocazione ottima delle risorse alle varie attività richiede di scegliere i livelli delle attività per ottenere il miglior valore possibile della misura globale di rendimento.

27 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 27 Simbologia Z = valore della misura globale di rendimento. x j = livello di attività j (j = 1, 2,..., n). c j = variazione del valore di Z per incremento unitario del livello di attività j (profitto/costo unitario). b i = quantità di risorsa i disponibile per le varie attività (i = 1, 2,..., m). a ij = quantità della risorsa i consumata da una unità di attività j. Le variabili x 1, x 2,..., x n sono denominate variabili decisionali. I valori di c j, b i e a ij (i = 1, 2,... m, j = 1, 2,... n) sono delle costanti in input al modello (parametri del modello).

28 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 28 Simbologia

29 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 29 Forma estesa del modello Modello matematico per il problema generale dell allocazione delle risorse alle attività Scelta dei valori delle variabili x 1, x 2,..., x n in modo da FORMA STANDARD max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n con i vincoli a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 :: a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m e x 1 0, x 2 0,..., x n 0 Vincoli di non negatività funzione obiettivo Vincoli funzionali

30 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 30 Le forme (problema di minimo) Forma estesa notazione indiciale min ( )= =, =1,, 0, =1,, Forma compatta min ( )= = 0 Rappresentazione Ricorsiva min : =, 0 Forma estesa min ( ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n con i vincoli a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 :: a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m e x 1 0, x 2 0,..., x n 0

31 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 31 Soluzioni di un modello Una soluzione ammissibile è una soluzione (x 1, x 2,..., x n ) che soddisfa tutti i vincoli =, 0. Una soluzione non ammissibile è una soluzione che viola almeno un vincolo. La REGIONE AMMISSIBILE è l insieme di tutti le soluzioni ammissibili: = : =, 0

32 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 32 Problema di allocazione risorse Sono dati n incarichi di lavoro che debbono essere assegnati a n persone. Per ogni possibile assegnamento di un incarico ad una persona, si conosce il tempo presumibilmente necessario alla persona per svolgere l incarico. Determinare quale incarico deve essere assegnato ad ogni persona in modo da minimizzare il tempo complessivamente richiesto. Esempio: iiincarico persona Soluzione: persona 1 incarico 1, persona 2 incarico 2. Tempo totale = 45

33 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 33 Problema di allocazione risorse Se n=3 non si può applicare lo stesso metodo, esistono 3!=6 soluzioni possibili Enumeriamo tutte le 3!=6 soluzioni possibili: 1. (1,1) (2,2) (3,3) tempo totale = = (1,1) (2,3) (3,2) tempo totale = = (1,2) (2,1) (3,3) tempo totale = = (1,2) (2,3) (3,2) tempo totale = = (1,3) (2,2) (3,1) tempo totale = =120 Soluzione ottima 6. (1,3) (2,1) (3,2) tempo totale = =180

34 mercoledì 16 settembre 2015 Ricerca Operativa - F. Maggioni 34 Problema di allocazione risorse Estendendo il ragionamento si potrebbe pensare di poter risolvere il problema per qualunque n, mediante un semplice algoritmo che enumeri tutte le possibili n! soluzioni possibili e scelta la migliore. Pur teoricamente corretto, l algoritmo non si può utilizzare in pratica: Esempio: n=20, supponiamo che per generare e valutare una permutazione occorrono 10 operazioni. Poichè n!=2.4 * 10 18, ad un processore che esegua 3 * 10 9 operazioni al secondo occorrono circa 8 * 10 9 =250 anni La velocità degli attuali supercomputer si misura in petaflop= operazioni al secondo. Ad esempio il Cray XT jaguar potrebbe risolvere il problema con n=20 in circa 8 ore ma richiederebbe 200 anni per il caso n=24 e 84 miliardi di anni per n=30.