Ottimizzazione. in unione corso con. Ottimizzazione Discreta e Complementi di R.O. Edoardo Amaldi. DEIB Politecnico di Milano

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1 Ottimizzazione in unione corso con Ottimizzazione Discreta e Complementi di R.O. Edoardo Amaldi DEIB Politecnico di Milano edoardo.amaldi@polimi.it Sito web: A.A Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

2 Capitolo 1: Introduzione L Ottimizzazione è una delle branche più attive della matematica applicata con un ampissimo spettro di rilevanti applicazioni. Obiettivo: Presentare i principali concetti e metodi di ottimizzazione discreta e continua non lineare, trattando anche aspetti modellistici ed applicativi. Molti sistemi/problemi non possono essere rappresentati/formulati/approssimati adeguatamente in termini di modelli lineari causa non linearità intrinseca. Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

3 Esempi di non linearità 1) Pianificazione della produzione Determinare i livelli di produzione in modo da massimizzare il profitto totale rispettando i vincoli (disponibilità) sulle risorse. - elasticità dei prezzi: profitto unitario decresce all aumentare della quantità prodotta perché la quantità che può essere venduta è inversamente proporzionale al prezzo di vendita - costi variabili: spesso dipendono dalla quantità prodotta (e.g. economie di scala) 2) Progetto di reti di telecomunicazione: il ritardo in rete cresce in modo non lineare con il volume totale di traffico 3) Vincolo di interezza su una variable, x Z, poiché si può esprimere come sin(πx) = 0. Non linearità molto particolare. Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

4 Esempi di problemi e modelli 1) Localizzazione e trasporto Caso mono-prodotto Servire da m depositi di capacità p i, dove i = 1...m, n clienti con coordinate (a j,b j ) e domanda r j, dove j = 1...n. Per ogni deposito i si conosce la zona A i R 2 in cui deve essere localizzato. Ipotesi: m i=1 p i n j=1 r j Decidere dove localizzare i depositi e come distribuire il prodotto in modo da minimizzare i costi di trasporto (proporzionali a distanza e quantità trasportata) rispettando la capacità dei depositi e la domanda dei clienti. Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

5 Variabili decisionali: (x i,y i ) coordinate del i-esimo deposito, 1 i m w ij quantita di prodotto da trasportare dal i-esimo deposito al j-esimo cliente, 1 i m e 1 j n distanza tra i-esimo deposito e j-esimo cliente, 1 i m e 1 j n d ij Modello: min s.v. m n i=1 j=1 w ijd ij n j=1 w ij p i m i=1 w ij r j d ij = (x i a j ) 2 +(y i b j ) 2 i j (x i,y i ) A i R 2 i w ij 0 d ij 0 i,j i,j i,j N.B.: le variabili d ij non sono necessarie Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

6 2) Regressione non lineare Ricavare un modello statistico da dati sperimentali {(t j,y j )} 1 j m Se si evince un andamento esponenziale e oscillatorio, modello: Φ(t,x) = x 1 +x 2 e (x3 t)2 +x 4 cos(t) dove x vettore dei parametri. Definendo i residui come ε j (x) = y j Φ(t j,x), si desidera identificare i parametri Minimi quadrati non lineari: min x R 4 m j=1 ε2 j (x) Criteri alternativi: min x R 4 m j=1 α j ε j (x) o min x R 4{maxα j ε j (x) }, con opportune costanti α j Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

7 3) Organizzazione dei turni In un reparto ospedaliero ogni infermiere lavora 5 giorni consecutivi seguiti da due giorni di riposo. Le esigenze di personale (numero minimo di infermieri) sono: giorno Lun Mar Mer Gio Ven Sab Dom r i Organizzare i turni settimanali in modo da minimizzare il numero di infermieri coinvolti rispettando le esigenze e i vincoli di servizio. Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

8 Variabili decisionali: x i = numero di infermieri che iniziano la settimana lavorativa l i-esimo giorno, con 1 i 7 Modello: min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 s.v. x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 r 1 (lu) x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 r 2 (ma) x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 r 3 (me) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 r 4 (gio) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 r 5 (ve) x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 r 6 (sa) x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 r 7 (do) x i Z + i Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

9 Problema generale di ottimizzazione min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S R n i vincoli algebrici ed insiemistici descrivono la regione delle soluzioni ammissibili X = S {x R n : g i (x) 0,1 i m} la funzione obiettivo f deve essere definita almeno su X, ovvero f : X R le funzioni dei vincoli devono essere definite almeno su S, ovvero g i : S R per i = 1,...,m Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

10 Basta considerare il caso di minimizzazione max{f(x) : x X} = min{ f(x) : x X} Senza perdita di generalità si può suppore che tutti i vincoli algebrici siano di disuguaglianza g(x) = 0 { g(x) 0 g(x) 0 Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

11 Risolvere un problema di minimizzazione equivale a determinare una soluzione globalmente ottima. Definizione i) x X è una soluzione ottima globale se f(x ) f(x) x X ii) x X è una soluzione ottima locale se ǫ > 0 tale che f(x) f(x) x X N ǫ (x) dove N ǫ (x) = {x X: x x ǫ} Per problemi difficili si mira a un minimo locale di buona qualità in tempo ragionevole. Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

12 Principali classi di problemi Terminologia: programmazione ottimizzazione f g i S tipo di problema lineare lineare S = R n Prog. Lineare lineare lineare S Z n Prog. Lineare Intera lineare lineare S Z n 1 R n 2 con n = n 1 +n 2 Prog. Lineare Mista Intera almeno una non lineare S R n Prog. Non Lineare (continua) almeno una non lineare S Z n 1 R n 2 con n = n 1 +n 2 Prog. Non Lineare Mista Intera Alcuni casi speciali interessanti: Programmazione quadratica: f(x) = x T Qx +c T x con vincoli lineari Programmazione convessa: f, le g i e S sono rispettivamente funzioni convesse e un insieme convesso Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

13 Alcuni settori di applicazione biologia computazionale (determinazione conformazione delle proteine,...) pianificazione e gestione di impianti (e.g., processi chimici, generazione di energia) in modo da ottimizzare prestazioni e garantire livelli di qualità controllo ottimo di sistemi (determinazione traiettorie di aeroplano, navetta, braccio di robot) dimensionamento e ottimizzazione di strutture (progetto ponti, profilo veicolo) elaborazione di immagini e segnali (ricostruzione immagini 2-D e 3-D) esplorazione di dati ( data mining ): classificazione, clustering, approssimazione finanza computazionale (pianificazione investimenti,...) gestione delle risorse ambientali e territoriali Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14

14 Alcuni settori di applicazione logistica (trasporti, localizzazione di impianti e servizi) medicina (pianificazione di trattamenti,...) pianificazione della produzione e gestione delle scorte pianificazione degli esperimenti (chimica, farmaceutica,...) progetto e gestione di reti elettriche, di telecomunicazioni o di altro tipo statistica (regressione lineare e non lineare, stima dei parametri di distribuzioni,...)... Edoardo Amaldi (PoliMI) Ottimizzazione A.A / 14