OTTIMIZZAZIONE in unione con COMPLEMENTI DI RICERCA OPERATIVA OTTIMIZZAZIONE DISCRETA

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1 Corsi di Laurea in Ingegneria Matematica, Informatica, dell Automazione e Telecomunicazioni OTTIMIZZAZIONE in unione con COMPLEMENTI DI RICERCA OPERATIVA OTTIMIZZAZIONE DISCRETA Edoardo Amaldi DEI - Politecnico di Milano amaldi@elet.polimi.it Sito web:

2 Capitolo 1: Introduzione Obiettivo: presentare i principali concetti e metodi di ottimizzazione continua non lineare e discreta, trattando anche aspetti di modellazione ed applicativi. Molti sistemi/problemi non possono essere rappresentati/formulati/approssimati adeguatamente in termini di modelli lineari causa non linearità intrinseca. Esempi: - Pianificazione della produzione: il profitto unitario di un bene decresce all aumentare della quantità prodotta perché la quantità di prodotto che può essere venduta è inversamente proporzionale al prezzo di vendita; il costo unitario di produzione non è costante a causa delle economie di scala - Progetto di reti di telecomunicazione: il ritardo in rete cresce in modo non lineare in funzione del volume totale di traffico... - Anche il vincolo di interezza su una variable, x Z, non è lineare poiché si può esprimere come sin(πx) = 0. Ma si tratta di un tipo molto particolare di non linearità. 1

3 Esempi di modelli 1) Localizzazione e trasporto Un impresa di distribuzione deve servire da m depositi di capacità p i, i = 1... m, n clienti di cui si conoscono le coordinate (a j, b j ), j = 1... n, e la richiesta di prodotto r j. Consideriamo il caso mono-prodotto e supponiamo che la somma totale delle disponibilità non sia inferiore alla somma delle richieste, ovvero m i=1 p i n j=1 r j. Inoltre supponiamo di conoscere per ogni deposito i una zona A i in cui deve essere localizzato. Formulare in termini matematici il problema di decidere dove localizzare i depositi e come distribuire il prodotto in modo da minimizzare i costi di trasporto (proporzionali alla distanza tra cliente-deposito e alla quantità trasportata) rispettando le capacità dei depositi e le richieste dei clienti. 2

4 Variabili decisionali: (x i, y i ) coordinate del i-esimo deposito, 1 i m w ij quantita di prodotto da trasportare dal i-esimo deposito al j-esimo cliente, 1 i m e 1 j n distanza tra i-esimo deposito e j-esimo cliente, 1 i m e 1 j n d ij Modello: min s.v. m i=1 n j=1 w ijd ij m i=1 w ij r j n j=1 w ij p i d ij = (x i a j ) 2 + (y i b j ) 2 j i i, j (x i, y i ) A i R 2 i w ij 0 i, j NB: le variabili d ij non sono indispensabili; si possono utilizzare altre funzioni di distanza 3

5 2) Regressione non lineare Supponiamo di avere raccolto dei dati {(t j, y j )} 1 j m sperimentali e di volere effettuare una regressione non lineare per ricavarne un modello statistico. Dal contesto dell esperimento e dall andamento dei dati si evince, ad esempio, un possibile comportamento esponenziale e oscillatorio. Si considera quindi il modello: dove x è il vettore dei parametri. Φ(t, x) = x 1 + x 2 e (x 3 t) 2 + x 4 cos(t) Definendo i residui come ε j (x) = y j Φ(t j, x), si possono applicare vari criteri per identificare i parametri: Minimi quadrati (non lineari): min x R 4 m j=1 ε2 j (x) Criteri alternativi: min x R 4 m j=1 α j ε j (x) con opportune costanti α j min x R 4{max α j ε j (x) } con opportune costanti α j (minimizzazione del massimo residuo) 4

6 3) Organizzazione dei turni In un reparto ospedaliero ogni infermiere lavora 5 giorni consecutivi seguiti da due giorni di riposo. Le esigenze di personale (numero minimo di infermieri) sono: giorno Lun Mar Mer Gio Ven Sab Dom richiesta Formulare il problema di organizzare i turni settimanali in modo da minimizzare il numero di infermieri coinvolti rispenttando le esigenze e i vincoli di servizio. 5

7 4) Pianificazione della produzione Un impresa che produce un tipo di modem deve pianificare la produzione per i prossimi quattro mesi. Capacità linea di produzione: 2500 unità al mese Costo unitario: 7 euro Quando l impianto viene avviato deve produrre un lotto minimo di almeno 80 unità. Costo di magazzino: 1 euro al mese per modem All inizio del periodo di pianificazione il magazzino contiene 70 unità, alla fine del periodo devono rimanere 300 unità. Le vendite previste per i prossimi 4 mesi: mese domanda Formulare il problema di determinare un piano di produzione che soddisfi la domanda e minimizzi i costi. 6

8 Problema generale di ottimizzazione min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S R n i vincoli algebrici ed insiemistici descrivono la regione delle soluzioni ammissibili X = S {x R n : g i (x) 0, 1 i m} la funzione obiettivo deve essere definita almeno su X, ovvero f : X R le funzioni dei vincoli devono essere definite almeno su S, ovvero g i : S R per i = 1,..., m 7

9 Basta considerare il caso di minimizzazione max{f(x) : x X} = min{ f(x) : x X} Senza perdita di generalità si può suppore che tutti i vincoli algebrici siano di disuguaglianza g(x) = 0 { g(x) 0 g(x) 0 Risolvere un problema di ottimizzazione equivale a determinare una soluzione ottima i) x X è una soluzione ottima (globale) se f(x ) f(x) x X ii) x X è una soluzione ottima locale se ɛ > 0 tale che f(x) f(x) x X N ɛ (x) dove N ɛ (x) = {x X : x x ɛ} 8

10 Principali classi di problemi f g i S tipo di problema lineare lineare S = R n Programmazione Lineare lineare lineare S Z n Programmazione Lineare Intera almeno una non lineare S R n Programmazione Non Lineare Alcuni casi speciali interessanti: Programmazione quadratica: f(x) = x T Qx + c T x con vincoli lineari Programmazione convessa: f, le g i e S sono rispettivamente funzioni convesse e un insieme convesso 9

11 Alcuni settori di applicazione biologia computazionale (determinazione conformazione delle proteine,... ) controllo di impianti (processi chimici) in modo da ottimizzare prestazioni e garantire livelli di qualità controllo ottimo di sistemi (determinazione traiettorie di aeroplano, navetta, braccio di robot) dimensionamento e ottimizzazione di strutture (progetto ponti, profilo veicolo) elaborazione di immagini e segnali (ricostruzione immagini 2-D e 3-D) esplorazione di dati ( data mining ): classificazione, clustering, approssimazione finanza computazionale (pianificazione investimenti,... ) gestione delle risorse ambientali e territoriali logistica (trasporti, localizzazione di impianti e servizi) medicina (pianificazione di trattamenti,...) 10

12 pianificazione della produzione e gestione delle scorte pianificazione degli esperimenti (chimica, farmaceutica,... ) progetto di reti di telecomunicazioni (o di altro tipo) statistica (regressione lineare e non lineare, stima di parametri di distribuzioni,... )... 11