Informa2ca I. 4 Algoritmi e Linguaggi di Programmazione. 11, 16 Aprile 2013

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1 Informa2ca I 4 Algoritmi e Linguaggi di Programmazione 11, 16 Aprile 2013 Corso di Laurea in Matema0ca e applicazioni Università di Camerino A.A. 2012/2013

2 Cos è un algoritmo? Un algoritmo è una procedura generale, finita, non ambigua ed eseguibile che lavora su da< d ingresso fornendo alcuni da< d uscita. procedura: una sequenza di passi computazionali o istruzioni generale: il metodo deve risolvere una classe di problemi e non un singolo problema (ad esempio deve essere in grado di calcolare l'area di tun i triangoli e non solo quella di un par<colare triangolo) finita: le istruzioni che la compongono ed il numero di volte che ogni azione deve essere eseguita devono essere fini< non ambigua: ogni istruzione deve essere definita in modo preciso ed univoco, senza alcuna ambiguità sul significato dell operazione eseguibile: deve esistere un agente di calcolo (umano o macchina) in grado di eseguire ogni istruzione in un tempo finito

3 Determinismo e non determinismo Algoritmo determinis2co: per ogni istruzione esiste, a parità di da< d'ingresso, un solo passo successivo; in pra<ca esiste uno e un solo possibile percorso (o path) dell algoritmo e quindi con gli stessi input produce gli stessi output Algoritmo non determinis2co: con<ene almeno un istruzione che ammete diversi passi successivi: può produrre output diversi con gli stessi input, compiendo diversi path di esecuzione. Es. Algoritmi probabilis0ci: per un istruzione, più passi successivi con associata una probabilità di essere scel< (es. lancio della moneta)

4 Storia E2mologia: Il termine algoritmo significa procedimento di calcolo Deriva dal termine la<no medievale algorismus, che a sua volta deriva dal nome del matema<co persiano Abu Jafar Mohammad ibn- Musa al- Khowarismi, vissuto nel IX (?) secolo, che pubblicò l opera Kitab Al- jabrwal Muquabala (L arte di numerare ed ordinare le par< in tuto) da cui deriva il nome algebra Abu Jafar Mohammad ibn- Musa al- Khowarismi

5 Storia Algoritmi in uso ancora oggi sono sta< studia< da matema<ci greci 2000 anni fa, es. Algoritmo di Euclide per il MCD La teoria degli algoritmi ha iniziato a stabilizzarsi agli inizi del XX secolo,mentre le tecniche di progetazione di algoritmi e di analisi di correbezza e di efficienza si sono evolute nella seconda metà del XX secolo grazie alla diffusione dei calcolatori eletronici Ovunque si impieghi un calcolatore occorrono algoritmi corren e efficien< che ne u<lizzino al massimo le potenzialità.

6 Macchina di Turing (MdT), accenno Modello teorico di calcolatore (umano o eletronico) Ispirazione: Impiegato diligente à svolge con cura gli ordini, niente più ObieNvo: studio della calcolabilità, ovvero capire quali algoritmi possono essere calcola< TESI DI CHURCH - TURING Un algoritmo è calcolabile se esiste una macchina di Turing in grado di calcolarlo. MdT: modello universale di calcolatore.

7 Macchina di Turing (MdT), accenno Dal punto di vista fisico: Nastro composto da un numero infinito di caselle, ognuna delle quali è in grado di memorizzare un solo simbolo di un prefissato alfabeto Tes2na, in grado di leggere e scrivere simboli sul nastro Unità di controllo, responsabile per lo spostamento della tes<na, con<ene il programma (insieme di istruzioni) e man<ene lo stato della macchina

8 Macchina di Turing (MdT), accenno Formalmente: Una MdT è una tupla (Q, A, δ, q 0 ), in cui: Q insieme finito di sta2, q 0 stato iniziale A alfabeto dei simboli (compresivo di simbolo bianco *) δ: Q x A à Q x A x {- 1, 0, 1} funzione di transizione Una transizione del <po (q,a) - > (q,a, m) ha la seguente seman<ca: Se sono nello stato q e sto leggendo a nella casella corrente, allora vado nello stato q, scrivo a al posto di a e mi sposto di m caselle Input di un algoritmo: simboli scrin nel nastro allo stato iniziale Arresto: una macchina M converge su un input w (M ê w) se si arriva a uno stato q e un simbolo a, t.c. δ(q,a) non è definita. Altrimen< diverge (Mé w) Output: I simboli rimas< sul nastro

9 Esempio (NOT con MdT) A = {0,1,*} INPUT: sequenza di n simboli {0,1} δ (q0, 0) - > (q0, 1, +1) (q0, 1) - > (q0, 0, +1) * q0

12 Esempio (NOT con MdT) A = {0,1,*} INPUT: sequenza di n simboli {0,1} δ (q0, 0) - > (q0, 1, +1) (q0, 1) - > (q0, 0, +1) δ(q0,*) non è definita La macchina si arresta sull input 010 e ha prodobo come output * q0

13 Esempio (successore on MdT) A = {0,1,*} INPUT: sequenza di n simboli {0,1} δ (q0, 0) - > (q0, 0, +1) (q0, 1) - > (q0, 1, +1) (q0, *) - > (q1, *, - 1) (q1, 0) - > (q3, 1, +1) (q1, 1) - > (q2, 0, - 1) (q2, 0) - > (q3, 1, 0) (q2, 1) - > (q2, 0, - 1) (q2, *) - > (q3, 1, 0) Verifichiamo con input = e con 11111

14 Come valu<amo un algoritmo? CORRETTEZZA (Risolve correbamente il problema?): un algoritmo si dice correto se, per ogni istanza di input, si ferma con l output correto/desiderato EFFICIENZA (Risolve il problema in maniera efficiente?): deve cioè fare un buon uso delle risorse a disposizione. (tempo o memoria). à analisi degli algoritmi e teoria della complessità Alcuni problemi non possono essere risol< in maniera efficiente Esempio: Knapsack problem (problema NP- completo) INPUT: uno zaino che sopporta un peso W e N oggen, ognuno dei quali caraterizzato da un peso w i e un valore c i. OUTPUT: una scelta degli oggen che massimizza il valore scegliere senza superare il peso sostenibile dallo zaino W.

15 Esempio: RiceTe come algoritmi Una riceta può essere vista come un algoritmo in cui: INPUT: ingredien< e utensili da cucina OUTPUT: il piato cucinato Algoritmo: CoBura spaghe_ Input: SpagheN, sale, pentola, fornello Output: SpagheN con Algoritmo: 1. MeTere l acqua nella pentola 2. MeTere la pentola sul fuoco 3. ATendere l ebollizione 4. BuTare gli spaghen 5. BuTare il sale 6. ATendere il tempo di cotura 7. Scolare gli spaghen

16 Esempio: Calcolo del MCD INPUT: Due naturali a e b OUTPUT: Il massimo comun divisore d di a e b Algoritmo banale: 1. Assegnare a d il minimo tra a e b 2. Se d divide sia a e b, allora res<tuisco d 3. Altrimen< decremento d. Passo 2. Algoritmo di Euclide: 1. Assegnare a a 0 ß a e a b 0 ß b (supponendo b a) 2. Assegnare a i ß 1 3. a i ß b i- 1 e b i ß a n- 1 mod b n Se b i = 0, allora res<tuisco a i. 5. Altrimen< incremento i, i ß i + 1. Passo 3. a i = q i b i + b i+1

17 CorreTezza dell algoritmo di Euclide 1. Esiste N t.c. b N = 0? Sì esiste. InfaN risulta b n+1 < b n per ogni n (essendo il resto della divisione tra a n e b n ), quindi la successione dei b n è stretamente decrescente, e quindi esiste un N tale che b N = Per tale N, a N è MCD(a,b)? Sì, dimostriamo in due passi. a) a N divide a e b? Sì, perchè a N =b N- 1 a N- 1 = q N- 1 b N- 1 (infan l ul<mo resto è 0). Inoltre a N a N- 2 = q N- 2 b N- 2 + b N- 1, perchè divide sia b N- 1 (=a N ) che q N- 2 b N- 2 (a N a N- 1 =b N- 2 ). Così proseguendo si ha che a N divide tun i res< successivi fino ad a e b. b) a N è il massimo tra i divisori? Sì, dimostriamo che il massimo comun divisore d di a e b divide anche a N (e quindi a N =d è l MCD). a e b possono essere scrin come a = md e b = nd, con m e n naturali. Allora d divide anche il primo resto a 2 =b 1 =a q 0 b = md q 0 nd = (m q 0 n)d. Analogalmente d divide anche a 3 =b 2 =a 1 - q 1 b 1 = b q 1 a 2 (perchè divide sia b che a 2 ), e così via. Quindi d a N, il che implica che d a N. Ma d è il massimo tra i divisori, quindi d a N. à d=a N, a N è l MCD.

18 Algoritmo di Euclide in azione a = 1071 b = 462 Passo a i = q i b i + b i+1 a i e b i = q b 1 a 0 = 1071, b 0 =

19 Algoritmo di Euclide in azione a = 1071 b = 462 Passo a i = q i b i + b i+1 a i e b i = q b 1 a 0 = 1071, b 0 = = q b 2 a 1 = 462, b 1 =

20 Algoritmo di Euclide in azione a = 1071 b = 462 Passo a i = q i b i + b i+1 a i e b i = q b 1 a 0 = 1071, b 0 = = q b 2 a 1 = 462, b 1 = = q b 2 a 2 = 147, b 2 =

21 Algoritmo di Euclide in azione a = 1071 b = 462 Passo a i = q i b i + b i+1 a i e b i = q b 1 a 0 = 1071, b 0 = = q b 2 a 1 = 462, b 1 = = q b 3 a 2 = 147, b 2 = 21 3 a 3 = 21, b 3 = 0 MCD(1071,462) = 21 Informa<ca I 3 Algoritmi A.A. 2012/2013

22 Codifica tramite flowchart I diagrammi di flusso (flowcharts) sono una notazione grafica per la codifica degli algoritmi Blocchi di inizio e fine algoritmo Input / Output Blocco di input/output Istruzione Blocco di istruzione Blocco condizionale (valuta una condizione, abilitando il percorso T (true) o F (false)

23 SpagheN flowchart

24 The friendship algorithm Jim Parsons aka Sheldon Cooper

25 Flowchart per l algoritmo di Euclide

26 Algoritmi e programmi Gli algoritmi vengono descrin tramite programmi, che si avvalgono di istruzioni e costrun dei linguaggi di programmazione per essere esegui< da calcolatori eletronici I programmi sono formulazioni concrete di algoritmi astra_ che si basano su par<colari rappresentazioni dei da<, e u<lizzano operazioni di manipolazione dei da<, messe a disposizione da uno specifico linguaggio di programmazione Le proprietà degli algoritmi sono talmente fondamentali, generali e robuste, da essere indipenden< dalle carateris<che di specifici linguaggi di programmazione o di par<colari calcolatori eletronici

27 Quale linguaggio? Linguaggi ad alto livello, vicini al programmatore, i più adan per codificare algoritmi astran Pseudocodice (didanco, generico) Java C, C++ Fortran PHP Javascript...

28 Variabili Una variabile iden<fica una porzione di memoria (generalmente RAM) des<nata a contenere dei da<, che possono essere modifica2 nel corso dell'esecuzione di un programma Ha associato un nome simbolico (nome della variabile) e univoco che permete di accedere al contenuto della variabile. Il nome è una sequenza di carateri alfanumerici, che inizia con un caratere alfabe<co Diversa dalle variabili in matema<ca, non necessariamente fa parte di un equazione o formula var x; Dichiarazione di una variabile con nome x

29 Costan< Una costante iden<fica una porzione di memoria des<nata a contenere dei da<, che non possono essere modifica< nel corso dell'esecuzione di un programma Ha associato anch essa un nome simbolico const x = 10; Dichiarazione di una costante con nome x e valore 10

30 Tipi di dato elementari Variabili e costan< hanno associato un 2po di dato, che determina l insieme dei valori che una variabile può rappresentare le operazioni supportate sui da< Esempi: String (sequenza di carateri) var s1 = Hello ; const s2 = World ; Boolean (true, false) var t = true; const f = false; Number (numerico) const x = 10; var y = 5.23;

31 StruTure da< Il conceto di algoritmo è inscindibile da quello di dato: per risolvere un problema computazionale, occorre organizzare ed elaborare da< Un algoritmo può essere visto come un manipolatore di da2: a fronte di da< in ingresso che descrivono il problema producono da< in uscita come risultato del problema E fondamentale che i da< siano ben organizza< e strubura2 in modo che il calcolatore li possa elaborare efficientemente

32 StruTure da< La strubura da2 è un en2tà usata per organizzare un insieme di da2, insieme agli algoritmi per manipolare tali da2. L efficienza di tali algoritmi dipende dalla par<colare strutura da< Sono costruite a par<re dai <pi di dato elementari StruTura da< astrata (SDA): è una specifica della strutura e delle operazioni. Può avere diverse implementazioni. Cosa vogliamo? StruTura da< (concreta) (SD): è una strutura da< implementata (realizzata) concretamente in un linguaggio di prg. Come lo implemen<amo?

33 StruTure da< - Esempi StruTura Da<: Liste Pile Code Heaps Grafi... Algoritmi Inserimento Cancellazione Ricerca Ordinamento...

34 Espressioni Un'espressione è un costruto che combina valori, costan<, variabili, u<lizzando operatori e funzioni. Le espressioni servono per rappresentare calcoli a livello simbolico, e vengono valutate producendo a loro volta valori Le espressioni sono valutate secondo regole di precedenza e di associazione. L'ordine di precedenza tra operatori stabilito dal linguaggio può essere alterato mediante parentesi. Es. a + b 3 / a*(b%5) (a == blabla )!(b1 && b2)

35 Statement Uno statement il più piccolo elemento eseguibile di un programma, un istruzione. Si compone di espressioni, organizzate secondo una sintassi specifica (che con<ene espressioni, keywords, altri statement) La fine di uno statement è marcata da un ; Es. var x = 1; return x; {var z=y; x=x+z;} if(z!=x) z=x; else y=z;

36 Statement semplici Assegnamento: assegna a una variabile un espressione Es. x = y + 5; x = (y>=5)&&(z.substr(0,5)== Hello ); z = Hello World! ; Return statement: in una funzione, permete di res<tuire in output un espressione Es. return x; return x!=y;

37 Statement semplici Chiamata a funzione: si u<lizza per eseguire una funzione (metodo, rou<ne, sotoprogramma). Una funzione è caraterizzata da un nome simbolico, zero o più argomen2 di input, opzionalmente un argomento in output, res<tuito al chiamante atraverso il return statement, un blocco di statement che con<ene il codice della funzione (il corpo della funzione) var xtimesy = mul(x,y); function mul (arg0, arg1) {...codice... return arg0*argn; }

38 Statement semplici Chiamata a funzione: si u<lizza per eseguire una funzione (metodo, rou<ne, sotoprogramma). Una funzione è caraterizzata da un nome simbolico, zero o più argomen2 di input, opzionalmente un argomento in output, res<tuito al chiamante atraverso il return statement, un blocco di statement che con<ene il codice della funzione (il corpo della funzione) Nome Funzione var xtimesy = mul(x,y); function mul (arg0, arg1) {...codice... return arg0*arg1; } Chiamata a funzione Argomen2 in input Return statement

39 Statement compos< Uno statement composto, è uno statement che con<ene a sua volta altri statement Blocco di statement: con<ene zero o più statement racchiusi da { (begin block) e } (end block). Se composto da un singolo statement le parentesi graffe si possono ometere. Control flow statement: costrun che regolano il flusso di esecuzione del programma, ovvero se, quando, in quale ordine e quante volte le istruzioni del programma vanno eseguite

40 Control flow statement If Sintassi if (cond) block1 else block2 cond è un espressione booleana (ovvero si valuta in true o false) se cond è vera, si esegue il blocco di statement block1, altrimen< (else) si esegue block2 se non necessario, l else si può ometere

41 Control flow statement If Esempio var a = 3; var max = 2; var min = 1; if (a>max){ max = a; } else if(a<min){ min = a; } // a=3, max=3, min=1

42 Control flow statement Switch Sintassi switch (n){ case a: block1; break; case b: block2; break;... default: blockn; } n è un espressione che viene valutata inizialmente se il valore di n è a, allora eseguo il block1; se è uguale a b, eseguo il block2;...; nel caso in cui non è uguale a nessuno dei preceden< eseguo il blocco di default, blockn. l istruzione break serve per uscire dalla strutura di controllo

43 Control flow statement Switch Esempio switch (n){ case 0: isbinary = true; break; case 1: isbinary = true; break; default: isbinary = false; } In questo caso se n è 0 o 1, la variable booleana isbinary è messa a true. Altrimen<, è messa a false. L istruzione break non va dimen<cata, altrimen< non si esce dallo switch e il blocco default viene eseguito comunque, anche quando uno dei cases è incontrato

44 Control flow statement While Sintassi while (cond) block cond è un espressione booleana finchè cond è vera, si esegue il blocco di statement block. A fine blocco si rivaluta la condizione.

45 Control flow statement While Esempio var a = 3; while (a > 0){ a--; //equivalente a a=a-1 } // alla fine, a=0

46 Control flow statement Do- While Sintassi do block while (cond) è come il while con la differenza che block viene eseguito prima di valutare cond

47 Control flow statement For Sintassi for (stmt1; cond; stmt2) block cond è un espressione booleana è come il while, con la differenza che prima dell entrata nel ciclo si esegue stmt1, e alla fine del blocco prima di rivalutare cond si esegue stmt2.

48 If - Esempio Creare una funzione che res2tuisce il minimo tra due argomen2 function min(a, b){ if(a<b) return a; else return b; } oppure function min(a, b){ if(a<b) return a; return b; }

49 While - Esempio Creare una funzione MCD che res2tuisce il massimo comun divisore (Euclide) tra due argomen2, e chiamarla con i valori 132 e 36. function MCD(a, b){ while(b!=0){ var r = a%b; a=b; b=r; } return a; }

50 For - Esempio Creare una funzione che prende in input 3 interi e che stampa (funzione print) tu_ gli interi tra a e b che sono mul2pli di c function multipli(a,b,c){ for(var i=a; i<=b; i++) if(i%c==0) print(i); }