EFFETTO DELLA DIMENSIONE FINITA SUL COEFFICIENTE DI ASSORBIMENTO ACUSTICO

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1 EFFETTO DELLA DIMENSIONE FINITA SUL COEFFICIENTE DI ASSORBIMENTO ACUSTICO Paolo Bonfiglio (1), Francesco Pompoli (2), Riccardo Lionti(3), Nicola Granzotto (4), Paolo Ruggeri (5) 1) MechLav, Tecnopolo dell'università di Ferrara, Ferrara, 2) MechLav, Tecnopolo dell'università di Ferrara, Ferrara, 3) Docente di Matematica e Fisica, Piazza Armerina, riccardolionti@gmail.com 4) Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Padova, Padova, nicola.granzotto@unipd.it 5) FisTec - Università IUAV di Venezia, pruggeri@iuav.it 1. Introduzione La previsione delle prestazioni acustiche di materiali fonoassorbenti oggi ha assunto un'importanza considerevole al fine di ridurre i tempi di riverberazione di ambienti chiusi (teatri, aule scolastiche, chiese, ecc...). Esistono diverse tecniche di simulazione, basate sull'ipotesi di acustica geometrica, che richiedono la conoscenza del coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa come parametro per la descrizione delle dissipazioni di energia sonora all'interno dell' ambiente in esame. Nella maggior parte delle applicazioni vengono utilizzati dei metodi di previsione analitici per il calcolo del coefficiente di assorbimento per campo diffuso a partire dall'impedenza superficiale del sistema fonoassorbente considerato localmente reagente; inoltre il metodo presuppone una dimensione laterale infinita del provino per cui si trascurano tutti gli effetti di dimensione finita e di bordo che causano una discontinuità di impedenza con conseguente incremento dell assorbimento del materiale che viene testato. Nel presente articolo verrà presentato un metodo di previsione basato sulla tecnica delle matrici di trasferimento attraverso strati omogenei ed isotropi con una correzione analitica che tiene conto della dimensione finita del sistema fonoassorbente investigato. La presente formulazione verrà prima validata mediante confronto con dati di letteratura e successivamente applicata al confronto con misure in camera riverberante a norma UNI EN ISO 354 [1] su diversi materiali fibrosi e porosi. 2. Fondamenti teorici 2.1 Il metodo delle matrici di trasferimento Il metodo delle matrici di trasferimento [2] è stato sviluppato per lo studio della propagazione del suono all interno di sistemi multistrato per un onda piana e consente di trasferire il campo acustico da una superficie all altra di uno strato di materiale considerando la propagazione nell aria presente nel mezzo poroso (trattato come fluido dissipativo equivalente) ed anche nella struttura elastica che costituisce lo scheletro del materiale. Attraverso il metodo delle matrici di trasferimento è inoltre possibile considerare 1

2 39 Convegno Nazionale AIA Roma 4-6 luglio 2012 la propagazione in lastre piane impervie attraverso una formulazione basata sulla teoria dell'elasticità lineare della propagazione di onde sonore in solidi omogenei ed isotropi. La tecnica qui descritta è un metodo del tutto generale e può essere utilizzata per studiare la propagazione del campo acustico attraverso sistemi multistrato anche al variare dell'angolo di incidenza nei vari strati; questo aspetto è fondamentale per una corretta simulazione del comportamento dei sistemi non localmente reagenti. Il valore del coefficiente di assorbimento in campo diffuso per un sistema di dimensione infinita viene calcolato mediante la seguente formula: (1), [-] dove è l'angolo di incidenza, Z s () è l'impedenza superficiale del sistema multistrato e 0 [kg/m 3 ] e c 0 [m/s] sono rispettivamente la densità dell'aria e la velocità del suono in aria. 2.2 Correzione per la dimensione finita del provino Il metodo della matrice di trasferimento assume un sistema piano di estensione infinita. In letteratura sono state proposte diverse formulazioni che tengono conto della dimensione finita del sistema fonoassorbente investigato, tutte basate sull'utilizzo di una impedenza di radiazione media qui indicata con Z R,avg [2,3]. In accordo a tale formulazione il coefficiente di assorbimento acustico per incidenza diffusa viene calcolato mediante la seguente espressione: (2),, [-] L'impedenza di radiazione si dimostra dipendere solo dalla geometria del pannello (che deve essere piana) e dall'angolo di incidenza; la formulazione proposta in [2] si è dimostrata troppo onerosa dal punto di vista computazionale. Tralasciando ogni dettaglio di natura teorica, qui viene proposta una nuova formulazione per l'impedenza di radiazione: (3),,,,, 2 2 essendo 2,, 2, 2, dove k 0 [rad/m] è il numero d'onda, e L x e L y le dimensioni laterali del sistema fonoassorbente espresse in [m]. Nell'integrale (3) gli estremi di integrazione dipendono dal valore della costante b. Inoltre si dimostra che il dominio di integrazione può essere suddiviso in tre sottodomini per ciascuno dei quali gli estremi di integrazione sono differenti. Per valori di b 1 i valori degli estremi di integrazione sono riportati in Tabella 1. L'integrale (3) è stato risolto mediante integrazione numerica utilizzando il metodo di Simpson Adattivo [4] e l'intera procedura è stata implementata nel software SATPredictor_MAA. I tempi di calcolo per il calcolo dell'assorbimento acustico per incidenza diffusa in un intervallo di frequenze tra 100 e 5000 Hz è di circa 50 minuti, nettamente inferiore rispetto all'analoga formulazione presentata in [2] che richiede circa 17 ore di calcolo su un PC con processore Intel Core i7 6 Gb di RAM. [rayls] 2

3 Roma 4-6 luglio Convegno Nazionale AIA Tabella 1 - Estremi di integrazione dell'integrale in (3) k min k max min max min max I sottodominio /2 0 II sottodominio 2 2 b atan{ ((k 2-4)/4b) } /2 0 III sottodominio 2 b 2 (b+1) atan{ ((k 2-4)/4b) } atan {2/ (k 2-4b)} 0 3. Risultati Nel presente paragrafo vengono riportati i confronti tra misure sperimentali su diversi provini, aventi dimensioni differenti, del coefficiente di assorbimento acustico per incidenza diffusa in accordo alla norma UNI EN ISO 354 [1]. In particolare saranno presentati (i) il confronto per un provino in resina melamminica avente dimensione laterale pari a 1.82 m, (ii) il confronto tra provini di fibra di poliestere di diverso spessore aventi dimensioni a norma (3 x 4 m 2 ), (iii) il confronto su pannelli in fibra di poliestere con medesimo spessore ma dimensioni variabili da 1.95 m 2 a 10.1 m 2. Nell'ultimo paragrafo verrà presentato un esempio puramente numerico relativo al calcolo del tempo di riverberazione in un ambiente perfettamente sabiniano. I confronti verranno effettuati anche in termini di scarto medio definito come: (4) [-] dove sper è il coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa misurato sperimentalmente, mod è il coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa calcolato mediante il modello di previsione e n b è pari al numero di bande in 1/3 di ottave utilizzate per le analisi. 3.1 Confronto per un pannello di melammina Le misure sperimentali sono state effettuate presso la camera riverberante dell'università di Sherbrooke con volume pari a 143 m 3. Il provino di melammina ha uno spessore pari a 7.63 cm ed una densità di 8.8 kg/m 3. Per il calcolo dell'impedenza superficiale Z S () in (1) e (2) è stato utilizzato il modello di Johnsol-Champoux-Allard [2] e applicata la tecnica delle matrici di trasferimento. I parametri geometrici e fisici della schiuma sono riportati in [2]. In Figura 1 viene riportato il confronto tra misure sperimentali e i risultati ottenuti mediante la tecnica della matrice di trasferimento con la correzione per la dimensione finita del provino. Nello stesso grafico viene riportata la curva del coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa per lo stesso materiale modellato come localmente reagente ed avente dimensione infinita r [ ] Misura sperimentale Non localmente reagente e correzione per la dimensione finita Localmente reagente Figura 1 Confronto tra misure sperimentali e modelli di previsione di r per uno strato di melammina di dimensioni (1.82 m x 1.82 m x m) 3

4 39 Convegno Nazionale AIA Roma 4-6 luglio 2012 L'analisi delle curve riportate in Figura 1 mette in evidenza come la modellazione di un materiale omogeneo come localmente reagente di dimensione infinita può portare ad errori non trascurabili nella previsione del coefficiente di assorbimento acustico per incidenza diffusa. Al contrario la formulazione proposta nel presente articolo fornisce risultati molto più affidabili in tutto il range in frequenza investigato. In termini di scarto medio il metodo proposto fornisce un = 7 contro il = 2 nel caso di materiale simulato come localmente reagente. 3.2 Confronto per pannelli in fibra di poliestere aventi spessori diversi Le misure sperimentali sono state effettuate presso il Laboratorio Modulo 1 (Torino) su tre pannelli in fibra di poliestere con dimensioni a norma (12 m 2 ) [1] aventi spessori pari a 25 mm, 50 mm e 100 mm e una densità di 30 kg/m 3. I confronti con i modelli di previsione sono riportati in Figura 2. Per la modellazione acustica della fibra di poliestere è stato utilizzato il modello semi-empirico Garai-Pompoli [5] con una resistività al flusso d'aria di 3000 Pa s/ m 2. Spessore 25 mm r [ ] Spessore 50 mm r [ ] Spessore 100 mm r [ ] Figura 2 Pannelli in fibra di poliestere (a) 25 mm, (b) 50 mm, (c) 100 mm Legenda: Misure sperimentali, Materiale modellato come non localmente reagente e correzione per la dimensione finita, Materiale modellato come localmente reagente Analogamente a quanto ottenuto nel paragrafo precedente si può osservare dalle curve in Figura 2 che in tutti i casi la formulazione proposta nella presente ricerca fornisce risultati affidabili del coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa. In termini di scarto medio la metodica proposta fornisce un = 2-4 in confronto a valori di = nel caso di materiale simulato come localmente reagente. 4

5 Roma 4-6 luglio Convegno Nazionale AIA 3.3 Pannello in fibra di poliestere avente dimensioni laterali variabili Nel presente paragrafo vengono riportati i confronti tra misure sperimentali effettuate presso la camera riverberante del Dipartimento di Fisica Tecnica dell'università degli studi di Padova e modello di previsione per pannelli in fibra di poliestere di spessore 38 mm e densità di 35 kg/m 3. All'interno della camera sono state effettuate misure a norma UNI EN ISO 354 su sei differenti dimensioni laterali dello stesso materiale. I confronti con i modelli di previsione sono riportati in Figura 3. Per la modellazione acustica della fibra di poliestere è stato utilizzato il modello semi-empirico Garai-Pompoli [5] con una resistività al flusso d'aria di 3400 Pa s/ m 2. Nella figura 3(b) viene riportato anche il grafico del coefficiente di assorbimento diffuso ottenuto modellando il materiale come localmente reagente e di dimensione infinita. r [ ] 10.1 m^2 8.2 m^2 6.4 m^2 5.5 m^2 4.3 m^2 1.9 m^2 Misura r [ ] 10.1 m^2 8.2 m^2 6.4 m^2 5.5 m^2 4.3 m^2 1.9 m^2 Localmente reagente Modello Figura 3 Pannelli in fibra di poliestere di dimensione laterale variabile Anche in qesto caso il metodo proposto rappresenta in maniera corretta l'andamento del coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa al variare della dimensione del provino esaminato. In termini di scarto medio la metodica proposta fornisce valori di compresi tra il 4 e 6 per tutti i pannelli testati. 3.4 Esempio di calcolo di riduzione del tempo di riverberazione in un ambiente perfettamente sabiniano In questo paragrafo si vuole mostrare tramite un modello completamente analitico l'effetto della corretta modellazione del coefficiente di assorbimento sul calcolo del tempo di riverberazione in ambiente perfettamente sabiniano. Si consideri un ambiente chiuso ideale di dimensioni pari a 5 x 4 x 3 m 3 (volume 60 m 3 e superficie 94 m 2 ) all'interno del quale viene posizionato un pannello in fibra di poliestere (4 x3 m 2 ) avente spessore e densità pari a 25 mm e 30 kg/m 3 rispettivamente. Inoltre è noto il tempo di riverberazione a camera vuota. Utilizzando la teoria di Sabine [6] si vuole calcolare il tempo di riverberazione in seguito all'inserimento del materiale in fibra di poliestere. 5

6 39 Convegno Nazionale AIA Roma 4-6 luglio 2012 Per quanto riguarda il coefficiente di assorbimento del materiale fonoassorbente verranno utilizzati i valori riportati in Figura 2(a) ottenuti sia con la metodica proposta (materiale non localmente reagente di dimensione finita) che con l'ipotesi di materiale localmente reagente di dimensione infinita. I tempi di riverberazione attesi insieme al tempo di riverberazione iniziale sono riportati in Figura 4, ove è possibile osservare come una errata modellazione delle proprietà di assorbimento dei sistemi fonoassorbenti può portare ad errori anche superiori al 30% per la stima della riduzione del tempo di riverberazione. Tempo di riverberazione [s] Tempo di riverberazione iniziale TR atteso (metodica proposta) TR atteso materiale localmente reagente Figura 4 Effetto del coefficiente di assorbimento sul calcolo del tempo di riverberazione in un ambiente sabiniano 4. Conclusioni e sviluppi futuri Nel presente articolo è stata proposta una nuova formulazione per il calcolo del coefficiente di assorbimento per incidenza diffusa di sistemi aventi dimensione finita mediante la tecnica delle matrici di trasferimento. In tutti i casi esaminati i confronti sono risultati soddisfacenti con scarti medi inferiori al 7 rispetto alle misure sperimentali. Tra gli sviluppi futuri della presente ricerca verrà investigata la possibilità di applicare la formulazione proposta a sistemi multistrato costituiti da membrane elastiche e pannelli forati. Inoltre la metodica verrà validata nel contesto di simulazioni acustiche di ambienti chiusi mediante modelli ray-tracing. 5. Bibliografia [1] UNI EN ISO 354: 2003, Acustica - Misura dell'assorbimento acustico in camera riverberante. [2] Allard J.F., Atalla N, Propagation of Sound in Porous Media: Modelling Sound Absorbing Materials, John Wiley & Sons, [3] Thomasson, S. I. (1980) On the absorption coefficient. Acustica 44, [4] Gander, W. and W. Gautschi, "Adaptive Quadrature Revisited," BIT, Vol. 40, 2000, pp [5] M.Garai, F.Pompoli, A simple empirical model of polyester fibre materials for acoustical applications, Applied Acoustics, 66 (2005) pp [6] Sabine W.C., Collected paper on acoustics, Cambridge, Harvard University Press Reprint Peninsula Publishing USA, Ringraziamenti Lavoro svolto nell'ambito del Laboratorio per la Meccanica avanzata (MECH-LAV) del Tecnopolo di Ferrara, realizzato con il contributo della Regione Emilia Romagna - Assessorato Attività Produttive, Sviluppo Economico, Piano Telematico, nell ambito dell Attività I.1.1.del POR-FESR