Programmazione Funzionale

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1 Introduzione alla programmazione in un Programmazione Funzionale linguaggio funzionale Objective Caml di alto livello: un programma è una funzione; di tipo dichiarativo: il programmatore specifica che cosa calcola la funzione, piuttosto che come. Materiale didattico M. Cialdea Mayer, C. Limongelli. Introduzione alla Programmazione Funzionale. Esculapio. The Objective Caml system. Documentation and User s Guide. Introduzione alla logica proposizionale. Dispense (per lo sviluppo di un applicazione). Software necessario: Compilatore di OCaml Eventualmente XEmacs: un editor configurabile (se si utilizza Windows) 1

2 Objective Caml Linguaggio della famiglia ML sviluppato e distribuito dall INRIA (Francia) dal 1984 Disponibile sul sito nelle versioni per Linux, Windows, MacOS. Supporta diversi stili di programmazione: funzionale, imperativo, a oggetti. Istallazione di OCaml e programmazione in ambiente Emacs: Appendice C del libro, o su lambda/ocaml/emacs/leggimi In alternativa all uso di XEmacs: Camelia, un ambiente di sviluppo per OCaml (Mac e Windows). Entro 3 giorni: OCaml funzionante 2

3 Paradigmi di programmazione Esistono diverse tipologie di linguaggi di programmazione Sotto ogni linguaggio c è un modello di calcolo, che determina le operazioni eseguibili una classe di linguaggi uno stile di programmazione ( paradigma di programmazione) Modelli astratti e modelli rappresentati dall hardware 3

4 Esempio PROBLEMA: Dati due numeri naturali m e n maggiori di 0, trovare il massimo comun divisore (gcd) di m e n Si basa sulle seguenti proprietà: gcd(n, m) = ALGORITMO DI EUCLIDE n se n = m gcd(n m, m) se n > m gcd(n, m n) se n < m 4

5 Linguaggi imperativi Il modello di calcolo è basato sull hardware (architettura di Von Neumann) INPUT MEMORIA OUTPUT Elementi di base nei linguaggi imperativi: variabili (imitano celle di memoria) assegnazione (costrutto primitivo) Programmare = pianificare il flusso di informazioni Il modello di calcolo determina uno stile di programmazione ALGORITMO 1 Per calcolare gcd(n, m): Finché m n esegui le seguenti operazioni: se n > m, allora n n m, altrimenti m m n Riporta il valore di n Nel linguaggio C: int gcd (int n, int m) { while (n!= m) if (n>m) n=n-m; else m=m-n; return n; } 5

6 Linguaggi imperativi (II) La programmazione imperativa è basata su COMANDI, che operano sulla MEMORIA (stato del programma). Per capire il programma (e provarne la correttezza) occorre tenere traccia delle modifiche dello stato. Correttezza di un programma Un programma per risolvere il problema P è corretto se produce, per ogni suo input X un output Y tale che tra X e Y vale la relazione specificata da P 6

7 Esempio: calcolo del fattoriale di un numero n! = n 1 n ALGORITMO F1 Per calcolare fact(n): Inizializzare f = 1 Finché n > 1, esegui le seguenti operazioni: f f n n n 1 Riporta f n=4 f=1 n>1: f = 1*4 = 4 n = 4-1 = 3 n>1: f = 4*3 = 12 n = 3-1 = 2 n>1: f = 12*2 = 24 n = 2-1 = 1 n=1: return 24 Esecuzione per n=4 int fact (int n) { int f; f=1; while (n > 1) { f=f*n; n=n-1; } return f; } 7

8 LINGUAGGI DICHIARATIVI Un programma è più vicino alla descrizione di che cosa si deve calcolare, piuttosto che a come calcolare. Linguaggi di programmazione logica Linguaggi di programmazione funzionale 8

9 PROGRAMMAZIONE FUNZIONALE Un programma è un operazione che associa un input con un output UN PROGRAMMA È UNA FUNZIONE Strutture di controllo: applicazione di una funzione a un argomento composizione di funzioni: argomento f g valore I costrutti di base sono ESPRESSIONI, non comandi Le espressioni sono costruite a partire da espressioni semplici (COSTANTI), mediante APPLICAZIONE di operazioni Si calcola riducendo un espressione a un altra più semplice, fino a ottenere un VALORE (un espressione non ulteriormente semplificabile) (6 + 3) (8 2) 9 (8 2) VALUTAZIONE Le espressioni hanno un valore Non ci sono effetti collaterali (6 + 3) (8 2) viene valutato, ma il valore non è messo da nessuna parte 9

10 Esempio: calcolo del gcd gcd(n, m) = n se n = m gcd(n m, m) se n > m gcd(n, m n) se n < m ALGORITMO 2 Per calcolare gcd(n, m): Se n = m, allora riporta n, altrimenti se n > m, allora riporta gcd(n m, m), altrimenti riporta gcd(n, m n) In OCaml: let rec gcd(m,n) = if n=m then n else if n>m then gcd(n-m,m) else gcd(n,m-n) 10

11 Esempio: calcolo del fattoriale n! = n 1 n = (n 1)! n Per calcolare fact(n): Se n = 0 allora riporta 1 altrimenti riporta n f act(n 1) In Ocaml: let rec fact n = if n=0 then 1 else n * fact(n-1) ALGORITMO F2 La ricorsione è il costrutto di controllo fondamentale 11

12 Linguaggi funzionali La principale modalità di calcolo è l applicazione di funzioni Il calcolo procede valutando espressioni. Non ci sono effetti collaterali. Un programma è una collezione di dichiarazioni (di variabili, funzioni, tipi,...). Le funzioni sono oggetti di prima classe: possono essere componenti di una struttura dati, o costituire l argomento o il valore di altre funzioni. let sort (order,lst) =... let comp (f,g) =... I linguaggi funzionali consentono l uso di funzioni di ordine superiore, cioè funzioni che prendono funzioni come argomento o riportano funzioni come valore, in modo assolutamente generale. Nei linguaggi funzionali puri non esistono strutture di controllo predefinite per la realizzazione di cicli quali for, while, repeat, ma il principale meccanismo di controllo è la ricorsione. ML è un linguaggio interattivo ML è un linguaggio a scopo statico: determina a tempo di compilazione il valore delle variabili in una dichiarazione. ML è un linguaggio fortemente tipato: ogni espressione in ML ha un tipo che può essere determinato a tempo di compilazione 12

13 ML ha un meccanismo di inferenza di tipi che gli consente di dedurre qual è il tipo di un espressione senza bisogno di dichiarazioni esplicite. ML ha un sistema di tipi polimorfo: una funzione può accettare argomenti di vari tipi. let first (x,y) = x let Id (x) = x Tipi di dati polimorfi: in molti linguaggi: stack di interi, stack di reali,... in ML: stack of α ML ha un meccanismo per la gestione di errori ML ha un potente sistema di moduli 13

14 Perché un FPL? Perché Ocaml? EFFICIENZA: varia da migliore del C a un ordine di grandezza peggiore. PRODUTTIVITÀ: da un ordine di grandezza maggiore a un fattore 4 (il codice è più corto, più veloce da scrivere, più facile da mantenere). Esempi di applicazioni in ambito non accademico: in Ericsson (Erlang) in HP (verifica di protocolli di arbitraggio) nel dipartimento della difesa di Sydney applicazioni a data bases gestione dei voli tra gli areoporti di Parigi di Orly e Roissy... 14

15 FUNZIONI F DOMINIO CODOMINIO F associa a ogni elemento del DOMINIO un elemento del CODOMINIO Il TIPO di F è: DOMINIO CODOMINIO 15

16 COS È UN TIPO? Un tipo è un insieme di oggetti (VALORI). Se A è un tipo e x A, diciamo che x è di tipo A x : A Ad esempio: 3 : IN (2, 5) : IN IN (1, 2, 3) : IN IN IN, o anche: (1, 2, 3) : IN 3 Il tipo A B è l insieme di tutte le funzioni che hanno A come dominio e B come codominio. 16

17 ESEMPIO 1 F FORME COLORI F : FORME COLORI F si applica a un elemento di FORME (ARGOMENTO DELLA FUNZIONE) e RIPORTA un elemento di COLORI come VALORE 17

18 ESEMPIO 2 Se square è la funzione che associa a ogni numero naturale n n 2 Nella notazione del λ-calcolo: square : IN IN square(0) = 0 square(1) = 1 square(2) = 4 square(3) = 9 square(4) = 16 square(5) = square = λn.n 2 square è quella funzione che, applicata a n, riporta n 2 Nella notazione di OCaml (o quasi): square = function n -> n 2 18

19 Una funzione F è una relazione particolare: Dal punto di vista ESTENSIONALE un insieme di coppie {(x 1, y 1 ),..., (x i, y i ),...} (l estensione di F) tale che ogni x i appartiene al dominio della funzione ogni y i appartiene al codominio della funzione Per ogni x del dominio: se (x, y) e (x, y ) appartengono all estensione di F, allora y = y F(x) = y: la coppia (x, y) appartiene all estensione di F Estensione di square: {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25),...} 19

20 FUNZIONI A PIÙ ARGOMENTI Sia times la funzione che associa (n, m) n m per ogni n, m IN. times = λ(n, m).n m oppure: times = function (n,m) -> n*m Qual è il tipo di times? Il suo codominio è IN Il suo dominio è l insieme {(n, m) n, m IN} Prodotto cartesiano di IN per se stesso: IN IN times : IN IN IN Quando si applica times a (n, m), diciamo che n è il primo argomento, m è il secondo argomento. In realtà times ha un unico argomento: una coppia di numeri 20

21 Se A = {0, 1, 2} e B = {rosso, verde}, Quindi: e PRODOTTO CARTESIANO A B = {(0, rosso), (0, verde), (1, rosso), (1, verde), (2, rosso), (2, verde)} IN IN = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),... (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3),... (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3),......} 21

22 Estensione di una funzione a due argomenti L ESTENSIONE di times è un insieme di TRIPLE: { (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2),... (1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4),... (2, 0, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 5),......} Funzioni a n argomenti Se una funzione si applica a n argomenti, appartenenti, rispettivamente agli insiemi A 1,...,A n e riporta un valore nell insieme B, il suo tipo è A 1 A 2... A n B Il suo dominio è un insieme di tuple di n elementi: {..., (a 1, a 2,..., a n ),...} La sua estensione è un insieme di tuple, ciascuna delle quali ha n + 1 elementi: {..., (a 1, a 2,..., a n, b),...} 22

23 Sia quorem la funzione che riporta FUNZIONI CHE RIPORTANO COPPIE COME VALORI applicata a due numeri naturali n e m il quoziente intero e il resto della divisione di n per m quorem = λ(n, m).(n/m, n mod m) quorem = function (n,m) -> (n/m,n mod m) quorem(3, 2) = (1, 1) quorem(3, 3) = (1, 0) quorem(7, 2) = (3, 1) quorem(15, 6) = (2, 3) quorem : IN IN IN IN L estensione di quorem è un insieme di triple: {... (3, 2, (1, 1)),... (3, 3, (1, 0)), (7, 2, (3, 1)),... (15, 6, (2, 3)),,, } ATTENZIONE: qual è il valore di quorem(1, 0)? quorem non è definita per l argomento (1, 0) 23

24 FUNZIONI TOTALI: sono definite per ogni elemento del dominio Per ogni x nel dominio esiste una (ed unica) coppia (x, y) nell estensione di F FUNZIONI PARZIALI: possono essere indefinite per alcuni elementi del dominio Possono esistere elementi x del dominio per i quali non esiste alcuna coppia (x, y) nell estensione di F Una funzione parziale è ovviamente totale se si restringe opportunamente il suo dominio. è totale quorem : IN (IN {0}) IN IN 24

25 FUNZIONI POLIMORFE Consideriamo la funzione first, tale che first(x, y) = x first = λ(x, y).x first = function (x,y) -> x x e y potrebbero essere di qualunque tipo. f irst(0, 1) = 0 f irst(quadrato, rosso) = quadrato first(0, rosso) = 0 first(π, 0) = π first(π, 1.5) = π... first è di tipo IN IN IN FORME COLORI FORME IN COLORI IN IR IN IR IR IR IR... first ha molti tipi, tutti quelli della forma: TIPO 1 TIPO 2 TIPO 1 first è una funzione polimorfa. Possiamo identificare il suo tipo più generale utilizzando variabili di tipo first : α β α Ogni tipo di first è un istanza del suo tipo più generale. 25

26 APPLICAZIONE di funzioni x è l argomento della funzione y è il valore dell applicazione F(x) F(x) = y Se F : A B x : A (cioè x A) allora F(x) : B (cioè F(x) B) 26

27 IL CALCOLO COME RIDUZIONE Calcolare significa ridurre un espressione a un VALORE Un valore è un espressione non ulteriormente riducibile Un passo di riduzione: (λx.n)m N[M/x] Consideriamo una funzione: f = function x E x è il parametro formale della funzione E è il corpo della funzione Quando si applica la funzione a un argomento: f(m) (o semplicemente f M) M è il parametro attuale della funzione l espressione f(m) si semplifica (si avvicina a un valore) in E[M/x] che è l espressione che si ottiene da E sostituendo tutte le occorrenze del parametro formale x con il parametro attuale M Ad esempio: (function n sum(3, n)) 5 sum(3, 5) 27

28 Calcolo del valore di un espressione mediante una sequenza di riduzioni: esempi square 5 (function n n 2 ) valore di square 5 f irst(15, 20) (f unction(n, m) n)(15, 20) 15 valore di first(15, 20) quorem(square(5), f irst(15, 20)) quorem((function n n 2 )5, (function(n, m) n)(15, 20))... quorem(25, 15) (f unction(n, m) (n/m, n mod m))(25, 15) (25/15, 25 mod 15) (1, 10) valore di quorem(square(5), f irst(15, 20)) 28

29 COMPOSIZIONE DI FUNZIONI DOMINIO DI F CODOMINIO DI F C DOMINIO DI G COMPOSTA CON F A DOMINIO DI G B CODOMINIO DI G CODOMINIO DI G COMPOSTA CON F Composizione di G con F: G F Se G : A B e F : C A allora G F : C B e, se x : C (G F)(x) = G(F(x)) Quindi (G F)(x) : B 29

30 Sia sommauno = λn.n + 1 di tipo IN IN Esempio square sommauno : IN IN e per ogni n IN: (square sommauno) n = square(sommauno n) = square(n + 1) = (n + 1) 2 30

31 Cos è la composizione di funzioni? È un operazione che prende in ingresso una coppia di funzioni, di tipo, rispettivamente A B e C A, e riporta una funzione di tipo C B La composizione è una funzione Il suo dominio è (A B) (C A) Il suo codominio è C B Quindi è una funzione polimorfa. Il suo tipo più generale è: per ogni tipo A, B e C (α β) (γ α) (γ β) Funzioni che hanno funzioni come argomenti e/o riportano funzioni come valori si dicono FUNZIONI DI ORDINE SUPERIORE 31

32 FUNZIONI DI ORDINE SUPERIORE: ESEMPI Applicazione di funzioni: apply = λ(f, x).f x Tipo di apply: apply(square, 5) square nel corpo della funzione, f è applicato a x, quindi deve essere: Sotto queste ipotesi, fx : β f : α β x : α l argomento della funzione è la coppia (f, x), che è di tipo quindi il tipo della funzione è (α β) α (α β) α β 32

33 Il funzionale costante K Una funzione costante è una funzione che riporta lo stesso valore per tutti i suoi argomenti λx.0 Funzione costante x: λy.x Se x : β, allora λy.x : α β K è una funzione che, applicata a un argomento x, riporta la funzione costante x K = λx.λy.x K0 (λx.λy.x)0 (K0)1 = K0 1 (λx.λy.x)0 1 λy.0 (λy.0)1 0 Tipo di K: dominio: β, codominio: α β K : β (α β) 33

34 plus = λn.λm.n + m Funzioni in forma currificata Funzione che, applicata a n, riporta una funzione che, applicata a m, riporta il valore n + m (plus 3) 5 = plus 3 5 (λn.λm.n + m)3 5 (λm.3 + m) plus, applicata a n IN, riporta una funzione di tipo IN IN plus : IN (IN IN) Che relazione c è tra sum = λ(n, m).n + m e plus? sum : IN IN IN plus : IN (IN IN) e per ogni n, m IN: sum(n, m) = plus n m plus è la forma currificata di sum 34

35 Ogni funzione su tuple si può riscrivere in forma currificata: mult = λ(n, m).n m mult : IN IN IN times = λn.λm.n m times : IN (IN IN) e per ogni n, m IN mult(n, m) = times n m. 35

36 Applicazione parziale di funzioni Le funzioni in forma currificata consumano un argomento alla volta. plus e times possono essere applicate anche solo parzialmente: plus 10 : IN IN è la funzione che somma 10 al suo argomento times 5 : IN IN è la funzione che moltiplica per 5 il suo argomento Qual è il valore delle seguenti espressioni? apply(times 2, 10) (plus 5) (times 3) 5 36

37 Forma currificata di una funzione su tuple In generale, se: f : t 1... t n t f c : t 1 (t 2... (t n t)...) f c è la forma currificata di f se per ogni a 1,..., a n f(a 1,..., a n ) = (((f c a 1 )a 2 )...a n ) Le parentesi possono essere omesse: sia nel tipo di f c (si associa a destra); sia nell applicazione di f c (si associa a sinistra). plus : IN IN IN times : IN IN IN 37

38 Composizione di funzioni (forma currificata) Come possiamo scrivere un espressione λ che denoti l operazione di composizione di funzioni? f g è quella funzione che, applicata a un argomento x (del tipo appropriato), riporta il valore f(g x): f g = λx.f(g x) La composizione è quell operazione che, applicata a una coppia di funzioni (f, g) (di tipi appropriati) riporta la funzione λx.f(g x) = λ(f, g).λx.f(g x) Possiamo anche considerare la composizione in versione currificata: tale che, per ogni funzione f e g: comp : (α β) (γ α) (γ β) comp f g = f g comp = λf.λg.λx.f(g x) 38

39 Esercizi 1. Sia sommadue = λn.n + 2 di tipo IN IN. Qual è il tipo di sommadue square? Calcolare il valore dell espressione (sommadue square)3 2. Si consideri la funzione F = square (plus 5). Qual è il suo tipo? Dare una descrizione di F (la funzione F, applicata a... riporta...). Calcolare il valore dell espressione square (plus 5) 2 3. Si consideri la funzione max, che applicata a una coppia di naturali (n, m), riporta il maggiore tra i due (come caso particolare, max(n, n) = n). Qual è il tipo di max? Qual è il tipo di square max? Che cosa calcola? 4. Si consideri la relazione < sui naturali, di tipo 5. IN IN Bool dove Bool = {T rue, F alse} è l insieme dei valori booleani. Sia greaterthan = λn.λm.m > n. Scrivere il tipo di greaterthan. Che relazione c è tra < e greaterthan? Determinare il tipo dell espressione greaterthan 0. Come si può descrivere la funzione denotata da tale espressione? È possibile applicare l operazione di composizione di funzioni alla coppia di funzioni (max, greaterthan)? 39

40 6. È possibile applicare l operazione di composizione di funzioni alla coppia di funzioni (greaterthan, max)? 7. Qual è il tipo di (greaterthan 100) max? Dare una descrizione di tale funzione ((greaterthan 100) max, applicata a... riporta...). 8. Un predicato è una funzione particolare. Come si può caratterizzare? 40