Ad ogni problema computazionale possiamo associare una misura della sua complessità.

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1 Problema computazionale: Descrizione dell input, Compito da svolgere. Esempio: SOMMA: INPUT: 2 numeri x e y, COMPITO: stampare x+y. Ad ogni problema computazionale possiamo associare una misura della sua complessità. Complessità di un problema: quantità di risorse necessaria e sufficiente per risolverlo. Le principali risorse in informatica sono il tempo di calcolo e lo spazio di memoria. Ci concentriamo sul tempo di calcolo. 1

2 Tre problemi: 1. ORDINAMENTO: INPUT: n numeri, COMPITO: disporli in ordine crescente. 2. COMMESSO VIAGGIATORE: INPUT: distanze tra ogni coppia di n città, COMPITO: determinare il percorso più corto che passa per tutte le città una ed una sola volta e torna al punto di partenza. 3. TERMINAZIONE: INPUT: un programma e i suoi dati, COMPITO: dire se il programma eseguito sui dati termina in tempo finito. 2

3 La complessità computazionale in tempo è data dal numero di operazioni che il miglior algoritmo esegue per risolvere il problema. Un algoritmo è un procedimento risolutivo per un problema computazionale. Sequenza di ordini non ambigui descritti usando un qualche formalismo (es: linguaggio di programmazione). Esempio: MAX INPUT: n numeri: a[1],,a[n] COMPITO: stampa il massimo tra tutti gli a[i]. Algoritmo per calcolare il massimo tra n numeri. Passo 1. i=1 Passo 2. max=0 Passo 3. se a[i]>max allora max=a[i] Passo 4. i=i+1 Passo 5. se i>n vai al passo 6 altrimenti vai al passo 3 Passo 6. stampa max 3

4 ORDINAMENTO: esiste un algoritmo che ordina n numeri eseguendo circa n log(n) operazioni. Meglio non si può fare. Quindi n log(n) è la complessità del problema di ordinamento. Esercizio: descrivere un algoritmo che ordina n numeri in tempo proporzionale a n 2 COMMESSO VIAGGIATORE: non si conoscono algoritmi con costo meno che esponenziale. Sostanzialmente occorre esaminare tutte le soluzioni e scegliere la più corta. Numero di soluzioni n 1 ( n 1)! = i = L ( n 2) ( n 1) i= 1 TERMINAZIONE: non esistono algoritmi per risloverlo. Indecidibile!!! 4

5 Logaritmi, polinomi, esponenziali Logaritmo. log 2 n = potenza a cui elevare 2 per ottenere n. Il logaritmo in base b di un numero misura approssimativamente il numero di cifre necessarie per scrivere il numero in base b. Polinomi. 18n 6 + 4n 2 + 3n + 2 Esponenziali. 2 n, n!, n n Alcuni valori.. n=10 n=20 n=30 n=40 n=50 n=100 log 2 n n n n! numero di cifre... Numero di cifre decimali per rappresentare 50! 5

6 Ricorsione: Le torri di Hanoi Descrizione del problema: Spostare gli n anelli dal palo di sinistra a quello di destra spostando un anello alla volta e senza mai spostare un anello più grande su di un anello più piccolo. 6

7 Prima osservazione: Sono capace di spostare un anello da un palo all altro se sugli altri due pali ci sono anelli più grandi. 7

8 Seconda osservazione: Se sono capace di spostare n-1 anelli da un palo all altro sono capace di spostarne n 8

9 Algoritmo per spostare n anelli. Sposta(n,sinistra,destra)= Sposta(n-1,sinistra,centro) Sposta(1,sinistra,destra) Sposta(n-1,centro,destra) fine. Perché funziona??? 9

10 Quanti spostamenti dobbiamo eseguire per muovere n anelli da sinistra a destra? S(1) = 1 S(n) = S(n-1) + S(1) + S(n-1) Quindi S(n) = 2 S(n-1) + 1 = 2 (2 S(n-2) + 1) +1 = 4 S(n-2) = 4 (2 S(n-3) + 1) = 8 S(n-3) = (n-1) = 2 n - 1 In Totale 2 n 1 spostamenti. 20 anelli = spostamenti. 10

11 Soluzione all esercizio dell ordinamento INSERTION SORT: I numeri sono rappresentati da un mazzo di carte posto su un tavolo. Peschiamo dal mazzo una carta alla volta e la inseriamo nel posto giusto tra le carte che già abbiamo in mano. INPUT: OUTPUT:

12 Caso peggiore: circa n 2 /2 spostamenti 12