Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 17. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 17 Docente: Laura Palagi

2 IL FANTACALCIO HOMEWORK n 17 Roberta Savini Eleonora Silvi Irene Tarulli

3 DESCRIZIONE DEL PROBLEMA E un gioco di fantasia calcistico basato sulle reali prestazioni dei calciatori partecipanti al Campionato italiano di calcio. Esso consiste nello scegliere, settimanalmente e tra una rosa di 25 giocatori, una fantasquadra costituita da 11 titolari. Lo scopo di ciascun fantallenatore (presidente) è guidare la propria squadra alla conquista del fantascudetto di Lega. 3

4 La rosa di ciascuna fantasquadra è costituita da: 3 PORTIERI (P) 8 DIFENSORI (D) 9 CENTROCAMPISTI (C) 5 ATTACCANTI (A) 4

5 Il fantallenatore deve schierare la propria formazione tenendo conto: - possibili moduli (D-C-A): 1) ) ) ) ) POSSIBILI SCHEMI D C A P M M M M M in ogni squadra deve essere presente un solo portiere 5

6 COME SCEGLIERE GLI 11 Fantamedia: GIOCATORI Media dei punteggi ottenuti dai calciatori schierati come titolari relativamente alle giornate di campionato giocate. Il punteggio del singolo calciatore è dato dalla somma algebrica dei voti attribuitogli da quotidiani e da eventuali punti (positivi - bonus e negativi - malus) per specifiche azioni compiute. 6

7 I NOSTRI DATI N GIOCATORE NOME GIOCATORE FANTAMEDIA 1 Giocoechea Mauro Lobont Bogdan Stekelenburg Maarten Balzaretti Federico Burdisso Nicolas Andres Castan Leandro Da Silva Dodò Jose Rodolfo Marquinhos Marcos Aoas Correa Nego Loic Piris Ivan Rodrigo Taddei Ferrante Rodrigo Bradley Michael De Rossi Daniele Florenzi Alessandro Guberti Stefano Lamela Erik Manuel Marquinhos De Mattos Filho Perrotta Simone Pjanic Miralem Tachtsidis Panagiotis Destro Mattia Lopez Nicolas Federico Osvaldo Pablo Daniel Tallo Junior Totti Francesco

8 SCOPO Determinare la formazione da schierare in una certa giornata di campionato che massimizzi la media delle fantamedie relative agli 11 titolari. Si deve tener conto dei seguenti vincoli: 1. Per ogni squadra deve esistere un solo portiere ; 2. Ogni formazione deve essere composta necessariamente da 11 giocatori. 8

9 TIPO DI PROBLEMA Il nostro modello è un tipico problema di programmazione lineare (PL) 01. Infatti, si chiede di scegliere o meno un certo giocatore da schierare nella propria fantasquadra. 9

10 FORMULAZIONE VARIABILI DI DECISIONE x i : i-esimo giocatore appartenente a una certa rosa Le variabili di decisione sono binarie. Infatti: x i 1 se il giocatore i-esimo viene schierato 0 se il giocatore i-esimo non viene schierato X i 0,1 i = 1,..,n n = numero dei giocatori della rosa (25) 10

11 VINCOLI 1) DI QUANTITA : n i1 p i1 x i xi q 1 2) SUI MODULI: p 8 i p dlb xi 1 d ub q = numero di giocatori titolari n = numero dei giocatori della rosa (25) p = numero di portieri presenti nella rosa (3) d lb e d ub = numero min e max di difensori consentiti 11

12 p 17 i p clb xi 9 c ub c lb e c ub = numero min e max di centrocampisti consentiti n alb xi i p18 a ub a lb e a ub = numero min e max di attaccanti consentiti 3) DI NON NEGATIVITA : xi 0 i = 1,..,n 12

13 FUNZIONE OBIETTIVO La funzione obiettivo da massimizzare è: n max i1 fi * xi n = numero dei giocatori della rosa (25) f i = fantamedia i-esima del giocatore i-esimo con i =1,.,n 13

14 FORMULAZIONE GENERALE DELL ISTANZA d max n i1 p 8 i p xi x i lb xi 1 0 n i1 q d X i fi * ub 0,1 ; xi p i1 p 17 xi 1 c ; clb xi ub ; i p 9 i = 1,..,n n alb xi i p18 a 14 ub

15 FORMULAZIONE SPECIFICA DELL ISTANZA 3 max 25 i1 11 i4 25 i1 xi xi fi 11 5 * xi ; 3 i1 3 xi 20 i ; xi ; 2 25 i21 xi 3 xi X i 0 0,1 i = 1,..,25 15

16 Variabili di decisione IL PROBLEMA IN EXCEL N GIOCATORE/RUOLO SCELTO? RUOLO 1-P 0 2-P 1 P 3-P 0 4-D 0 5-D 0 6-D 1 7-D 0 8-D 1 D 9-D 1 10-D 0 11-D 0 12-C 0 13-C 0 14-C 1 15-C 0 16-C 1 C 17-C 0 18-C 1 19-C 1 20-C 0 21-A 1 22-A 1 23-A 1 A 24-A 0 25-A 0 16

17 Vincoli di quantità: Numero giocatori per squadra 1.1) 11 = 11 Numero portieri per squadra 1.2) 1 = 1 sui moduli: N difensori scelti N min 2.1) 3 >= 3 N difensori scelti N max 2.1) 3 <= 5 N centrocampisti scelti N min 2.2) 4 >= 3 N centrocampisti scelti N max 2.2) 4 <= 5 N attaccanti scelti N min 2.3) 3 >= 2 N attaccanti scelti N max 2.3) 3 <= 3 17

18 Funzione obiettivo da massimizzare: MODULI valore ottimo calcolato in excel con la funzione: C97 = MATR.SOMMA.PRODOTTO(D5:D29;D37:D61) M1 (3-4-3) M2 (3-5-2) M3 (4-3-3) M4 (4-4-2) M5 (5-3-2) Modulo scelto Modulo non scelto Modulo non scelto Modulo non scelto Modulo non scelto Per tutti i moduli abbiamo utilizzato la funzione SE(E) Ad esempio, per il modulo 1 (M1) scelto dal risolutore: =SE(E(SOMMA(D40:D47)=3;SOMMA(D48:D56)=4;SOMMA(D57:D61)=3; SOMMA(D37:D39)=1);"Modulo scelto"; Modulo non scelto") 18

19 ANALISI FOGLI DI REPORTS IN 1 CASO EXCEL Si analizza il problema considerando i vincoli di interezza delle variabili di decisione. Il risolutore di excel genera, per questo motivo, solamente il foglio rapporto VALORI. diviso in 3 parti, elenca la cella obiettivo e le celle variabili con i relativi valori originali e finali, i vincoli e le informazioni sui vincoli. 19

20 Cella obiettivo: RAPPORTO VALORI Celle variabili: 20

21 Vincoli: Vincolante o attivo se il vincolo è soddisfatto all uguaglianza; non vincolante o non attivo altrimenti. Nota anche come variabile di slack, rappresenta la differenza tra il valore del termine noto e il valore assunto dal lhs. Indica quindi quanti calciatori di quel ruolo non vengono scelti. 21

22 P D C A TITOLARI SCELTI N GIOCATORE NOME GIOCATORE FANTAMEDIA 1 Giocoechea Mauro Lobont Bogdan Stekelenburg Maarten Balzaretti Federico Burdisso Nicolas Andres Castan Leandro Da Silva Dodò Jose Rodolfo Marquinhos Marcos Aoas Correa Nego Loic Piris Ivan Rodrigo Taddei Ferrante Rodrigo Bradley Michael De Rossi Daniele Florenzi Alessandro Guberti Stefano Lamela Erik Manuel Marquinhos De Mattos Filho Perrotta Simone Pjanic Miralem Tachtsidis Panagiotis Destro Mattia Lopez Nicolas Federico Osvaldo Pablo Daniel Tallo Junior Totti Francesco

23 2 CASO Si analizza ora il problema non considerando i vincoli di interezza delle variabili di decisione (rilassamento lineare) In questo caso, il risolutore di excel genera i tre fogli standard: rapporto VALORI, rapporto SENSIBILITA, rapporto LIMITI. RAPPORTO SENSIBILITA : RAPPORTO LIMITI: fornisce informazioni sul grado di sensibilità della soluzione ottima al variare dei dati. Per modelli lineari, il rapporto include costi ridotti, prezzi ombra, coefficienti obiettivi (con incrementi e decrementi consentiti) e vincoli a destra. elenca la cella obiettivo e le celle variabili con i rispettivi valori, i limiti inferiore (il più piccolo valore che la cella variabile può assumere fissati i valori di tutte le altre celle variabili e nel rispetto dei vincoli) e superiore (il valore più grande) e i valori obiettivo. 23

24 Celle variabili: FOGLIO SENSIBILITA 24

25 COSTO RIDOTTO: indica di quanto deve variare il coefficiente della variabile affinché convenga valutare se la variabile considerata, a parità di altre condizioni, possa essere inserita nella soluzione ottima ad un valore non nullo. INCREMENTO/ DECREMENTO CONSENTITO: ampiezza dell intervallo in cui può variare un coefficiente della funzione ottima, a parità di altre condizioni, senza che il valore della soluzione ottima cambi. 25

26 Vincoli: Corrispondente alla soluzione ottima del problema duale, indica di quanto varia il valore ottimo della funzione obiettivo per piccole variazioni del termine noto di un vincolo, a parità di altre condizioni. E pari a 0 nel caso in cui il vincolo è non attivo, diverso da 0 altrimenti. ampiezza destra e sinistra dell intervallo in cui può variare il termine noto e all interno dei quali valgono i prezzi ombra. 26

27 CONSIDERAZIONI Le soluzioni trovate dal solver excel nei due casi considerati sono le stesse. Quindi possiamo dire che: 1) la soluzione è ottima; 2) la matrice dei vincoli è TOTALMENTE UNIMODULARE: A =