Minori di Grafi: Teoria ed applicazioni algoritmiche

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1 Minori di Grafi: Teoria ed applicazioni algoritmiche Paul Wollan September 21, 2009

2 Un grafo H si dice grafo minore di un grafo G se H può essere ottenuto da G cancellando una serie di lati contraendo una serie di lati u v Contract uv v uv

3 Insiemi Minor Closed Un insieme di grafi C si dice minor closed (invariante rispetto alle operazioni di contrazione e cancellazione) se per ogni grafo G nell insieme, ogni operazione di cancellazione o contrazione restituisce un grafo in C. Esempi di insiemi minor closed grafi planari foreste grafi su superfici grafi con feedback vertex set di ordine k.

4 Insiemi Minor Closed Un insieme di grafi C si dice minor closed (invariante rispetto alle operazioni di contrazione e cancellazione) se per ogni grafo G nell insieme, ogni operazione di cancellazione o contrazione restituisce un grafo in C. Esempi di insiemi minor closed grafi planari foreste grafi su superfici grafi con feedback vertex set di ordine k.

5 Insiemi minor closed appaiono in diversi contesti: spesso si studiano problemi più generali dopo averli ristretti ad insiemi minor closed. Esempi coloring graphs su una superficie (4 color theorem per grafi planari) traveling salesman problem su grafi planari Stabilire quando un dato grafo appartiene ad un insieme C minor closed è tuttavia un problema non banale (fanno eccezione le foreste).

6 Insiemi minor closed appaiono in diversi contesti: spesso si studiano problemi più generali dopo averli ristretti ad insiemi minor closed. Esempi coloring graphs su una superficie (4 color theorem per grafi planari) traveling salesman problem su grafi planari Stabilire quando un dato grafo appartiene ad un insieme C minor closed è tuttavia un problema non banale (fanno eccezione le foreste).

7 Caratterizzazione di insiemi minor-closed Teorema (Kuratowski) Un grafo è planare se e solo se non contiene K 5 o K 3,3 come minori. Teorema (Robertson, Seymour) Dato un insieme minor closed C, esiste un numero fintio di grafi H 1, H 2,..., H n che lo caratterizza. Un grafo G appartiene a C se e soltanto se non ammette H i come minore, per ogni 1 i n. La dimostrazione è difficile e tecnica ed appare in una serie di 23 articoli (circa 500 pagine) pubblicati dal 1983 fino ai nostri giorni.

8 Caratterizzazione di insiemi minor-closed Teorema (Kuratowski) Un grafo è planare se e solo se non contiene K 5 o K 3,3 come minori. Teorema (Robertson, Seymour) Dato un insieme minor closed C, esiste un numero fintio di grafi H 1, H 2,..., H n che lo caratterizza. Un grafo G appartiene a C se e soltanto se non ammette H i come minore, per ogni 1 i n. La dimostrazione è difficile e tecnica ed appare in una serie di 23 articoli (circa 500 pagine) pubblicati dal 1983 fino ai nostri giorni.

9 Applicazioni App 1: Riconoscere insiemi minor closed in tempi polinomiali. Teorema (RS) Dato un grafo H, esiste un algoritmo in tempo polinomiale (O( V (G) 3 )) per determinare se un grafo G in input contiene H come minore. Ciò implica l esistenza di un algoritmo in tempo polinomiale per stabilire se un dato grafo G appartiene o meno ad un insieme minor closed C. Sul teorema di R&S si basa appunto il primo algoritmo in tempo polinomiale per determinare se un grafo G si può immergere in una superficie S prefissata.

10 Applicazioni App 1: Riconoscere insiemi minor closed in tempi polinomiali. Teorema (RS) Dato un grafo H, esiste un algoritmo in tempo polinomiale (O( V (G) 3 )) per determinare se un grafo G in input contiene H come minore. Ciò implica l esistenza di un algoritmo in tempo polinomiale per stabilire se un dato grafo G appartiene o meno ad un insieme minor closed C. Sul teorema di R&S si basa appunto il primo algoritmo in tempo polinomiale per determinare se un grafo G si può immergere in una superficie S prefissata.

11 Applicazioni App 1: Riconoscere insiemi minor closed in tempi polinomiali. Teorema (RS) Dato un grafo H, esiste un algoritmo in tempo polinomiale (O( V (G) 3 )) per determinare se un grafo G in input contiene H come minore. Ciò implica l esistenza di un algoritmo in tempo polinomiale per stabilire se un dato grafo G appartiene o meno ad un insieme minor closed C. Sul teorema di R&S si basa appunto il primo algoritmo in tempo polinomiale per determinare se un grafo G si può immergere in una superficie S prefissata.

12 App 2: Il problema dei k cammini disgiunti. Dati un grafo G e 2k vertici distinti s 1, t 1, s 2, t 2,..., s k, t k in G, vogliamo stabilire se esistono o meno k cammini disgiunti P 1,..., P k, con s i e t i punti estremi di P i. Se tali cammini esistono, li vogliamo anche determinare. Il problema dei k cammini disgiunti è NP hard (Knuth) qualunque sia k, anche nel caso di grafi planari (Lynch, Kramer, Van Leeuwen). Teorema (RS) Fissato k, esiste un algoritmo in tempo O( V (G) 3 ) per risolvere il problema dei k cammini disgiunti in un grafo G. Il problema dei k cammini disgiunti riguarda grafi che non appartengono necessariamente a insiemi minor closed e non sembra in relazione con la teoria dei minori. Ciononostante la dimostrazione del teorema si basa sulla teoria dei minori.

13 App 2: Il problema dei k cammini disgiunti. Dati un grafo G e 2k vertici distinti s 1, t 1, s 2, t 2,..., s k, t k in G, vogliamo stabilire se esistono o meno k cammini disgiunti P 1,..., P k, con s i e t i punti estremi di P i. Se tali cammini esistono, li vogliamo anche determinare. Il problema dei k cammini disgiunti è NP hard (Knuth) qualunque sia k, anche nel caso di grafi planari (Lynch, Kramer, Van Leeuwen). Teorema (RS) Fissato k, esiste un algoritmo in tempo O( V (G) 3 ) per risolvere il problema dei k cammini disgiunti in un grafo G. Il problema dei k cammini disgiunti riguarda grafi che non appartengono necessariamente a insiemi minor closed e non sembra in relazione con la teoria dei minori. Ciononostante la dimostrazione del teorema si basa sulla teoria dei minori.

14 App 3: Condizioni sufficienti per il problema dei k cammini disgiunti. Se un grafo G è k-connesso allora, dati due insiemi di vertici X ed Y, esistono k cammini disgiunti con un estremo in X ed uno in Y. Teorema Esiste un funzione f (k) tale che se G è f (k)-connesso allora ogni problema di k cammini disgiunti in G ammette una soluzione. Maggiorazioni per f (k) sono state date da Jung (70), Robertson e Seymour (95), Bollobás e Thomason (96). Miglior risultato in letteratura: se un grafo G è 10k-connesso, allora ogni problema di k cammini disgiunti ammette una soluzione. (Thomas e Wollan, 05) Problema Attuale Esiste un funzione N(k) tale che se G ha N(k) veritici ed è 2k + 2 connesso allora ogni problema di k cammini dsgiunti in G ammette una soluzione?

15 App 3: Condizioni sufficienti per il problema dei k cammini disgiunti. Se un grafo G è k-connesso allora, dati due insiemi di vertici X ed Y, esistono k cammini disgiunti con un estremo in X ed uno in Y. Teorema Esiste un funzione f (k) tale che se G è f (k)-connesso allora ogni problema di k cammini disgiunti in G ammette una soluzione. Maggiorazioni per f (k) sono state date da Jung (70), Robertson e Seymour (95), Bollobás e Thomason (96). Miglior risultato in letteratura: se un grafo G è 10k-connesso, allora ogni problema di k cammini disgiunti ammette una soluzione. (Thomas e Wollan, 05) Problema Attuale Esiste un funzione N(k) tale che se G ha N(k) veritici ed è 2k + 2 connesso allora ogni problema di k cammini dsgiunti in G ammette una soluzione?

16 Problemi attuali: Dimostrazioni più semplici La complessità degli articoli di R&S ha reso quasi impossibile l utilizzo delle tecniche e degli strumenti della teoria dei minori da parte della comunità matematica e informatica. Esempio: L algoritmo RS per il problema dei k cammini disgiunti: La dimostrazione della correttezza dell algoritmo utilizza risultati presenti in tutti i 23 articoli ed è di circa 400 pagine. L algoritmo gira in un tempo f (k) V (G) 3, con f (k) funzione di k. Risultati recenti (Geelen, Huyhn 09) stabiliscono l esistenza di una maggiorazione per f (k) che può essere calcolata esplicitamente. Nessuno tuttavia è riuscito a calcolare esplicitamente tale maggiorazione.

17 Recentemente alcuni risultati della serie di R&S sono stati notevolmente semplificati Diestel, Gorbonov, Jensen, e Thomassen (99) Diestel, Kawarabayashi, Müller, Wollan (08) Geelen and Huyhn (08). Problema Attuale Esiste un algoritmo più semplice per il problema dei k cammini disgiunti?

18 Parità e minori Problema dei k cammini dispari disgiunti: Analogo al problema dei k cammini disgiunti, con il vincolo che la lunghezza dei cammini deve essere dispari. Osservazione: la lunghezza di un cammino tra due vertici cambia da pari a dispari (o viceversa) se si contrae un lato nel cammino. Ne consegue che non possiamo direttamente applicare tecniche basate sui minori per risolvere tale problema. Signed graphs consentono l utilizzo della teoria dei minori per studiare parity problems. Kawarabayashi e Reed hanno dimostrato recentemente che esiste un algoritmo in tempo polinomiale per il problema dei k cammini dispari disgiunti.

19 Parità e minori Problema dei k cammini dispari disgiunti: Analogo al problema dei k cammini disgiunti, con il vincolo che la lunghezza dei cammini deve essere dispari. Osservazione: la lunghezza di un cammino tra due vertici cambia da pari a dispari (o viceversa) se si contrae un lato nel cammino. Ne consegue che non possiamo direttamente applicare tecniche basate sui minori per risolvere tale problema. Signed graphs consentono l utilizzo della teoria dei minori per studiare parity problems. Kawarabayashi e Reed hanno dimostrato recentemente che esiste un algoritmo in tempo polinomiale per il problema dei k cammini dispari disgiunti.

20 Una generalizzazione naturale: cosa succede se richiediamo che i cammini siano di lunghezza non zero modulo m, per m arbitrario? Signed graphs non si possono utilizzare se m 2. Problema Attuale Esiste un algoritmo per testare se un grafo ha k cicli disgiunti di lunghezza non zero modulo m per ogni intero m? Theorem (Wollan) Characterizes when there exists k disjoint cycles of non-zero length modulo m or alternatively a bounded set of vertices hitting all such cycles.

21 Una generalizzazione naturale: cosa succede se richiediamo che i cammini siano di lunghezza non zero modulo m, per m arbitrario? Signed graphs non si possono utilizzare se m 2. Problema Attuale Esiste un algoritmo per testare se un grafo ha k cicli disgiunti di lunghezza non zero modulo m per ogni intero m? Theorem (Wollan) Characterizes when there exists k disjoint cycles of non-zero length modulo m or alternatively a bounded set of vertices hitting all such cycles.