9. Reti di Petri (rdp)

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1 9. Reti di Petri (rdp) Maria Paola Cabasino, Dicembre 2010 Le rdp sono un modello di sistemi ad eventi discreti che trae origine dal lavoro di Carl Adam Petri. Vantaggi delle rdp: Le rdp sono un formalismo grafico e matematico allo stesso tempo. Permettono di dare una rappresentazione compatta di sistemi con grande spazio di stato. Consentono di rappresentare il concetto di concorrenza. Consentono una rappresentazione modulare. 1

2 Con il termine rete di Petri si indica un ampia classe di modelli ad eventi discreti. Noi tratteremo il modello logico delle di Petri (rete di posto/transizione) e il modello temporizzato, ottenuto dal modello logico associando all evoluzione della rete una struttura di temporizzazione. Reti di Petri: modello temporizzato deterministico stocastico 2

3 Reti di Petri: Modello logico Una rdp è un grafo bipartito e pesato. I due tipi di vertici sono detti: posti (rappresentati da cerchi) e transizioni (rappresentate da barre). Definizione: Una rete posto/transizione è una struttura N=(P,T,Pre,Post) dove: P: insieme dei posti ( P =m), T: insieme delle transizioni ( T =n), Pre: P x T N: è la matrice di pre-incidenza che specifica gli archi diretti dai posti alle transizioni. Post: P x T N: è la matrice di post-incidenza che specifica gli archi diretti dalle transizioni ai posti. Hp: P T e P T 3

4 Esempio: P={p 1,p 2,p 3,p 4 } T={t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } Pr e P ost Notazione: Pre(p 2,t 2 )=2 2 t 3 p 3 t 5 Pre(p, ) t 1 p 1 t 2 p 2 t 4 p 4 4

5 Matrice di incidenza C: P x T Z C= Post-Pre Esempio: C NB: La matrice di incidenza perde qualche informazione sulla struttura della rete (es cappi). 5

6 Data una transizione tt si definiscono i seguenti insiemi di posti: t={pp Pre(p,t) > 0}: è l insieme dei posti in ingresso a t; t ={pp Post(p,t) > 0}: è l insieme dei posti in uscita da t. Dato un posto pp si definiscono i seguenti insiemi di transizioni: p={tt Post(p,t) > 0}: è l insieme delle transizioni in ingresso a p; p ={tt Pre(p,t) > 0}: è l insieme delle transizioni in uscita da p. Esempio: t 2 ={p 1 }, t 2 ={p 2 }, p 2 ={t 2 } e p 2 ={t 3,t 4 } (vedi rdp pag.4). 6

7 Marcatura e sistema di rete La marcatura definisce lo stato della rdp. Marcatura: E una funzione M : P N che assegna a ogni posto un numero intero non negativo di marche (o gettoni). t 3 p 3 2 t 5 t 1 p 1 t 2 p 2 t 4 p 4 Una rete N con una marcatura iniziale M 0 è detta una rete marcata o sistema di rete, e viene indicata come N,M 0.

8 Abilitazione e scatto Una transizione t è abilitata dalla marcatura M se M Pre (,t) cioè se ogni posto pp della rete contiene un numero di marche pari o superiore a Pre(p,t). Notazione: M[t indica che t è abilitata da M; M[t indica che t non è abilitata da M. Una transizione sorgente è sempre abilitata. Una transizione t abilitata da M può scattare portando alla marcatura M = M - Pre(,t) + Post(,t) =M + C(,t)

9 Una sequenza di transizioni =t j1 t j2 t jr T * è abilitata da una marcatura M se: la transizione t j1 è abilitata da M e il suo scatto porta a M 1 =M+C(,t j1 ); la transizione t j2 è abilitata da M 1 e il suo scatto porta a M 2 =M 1 +C(,t j1 ); ecc Una sequenza abilitata viene anche detta sequenza di scatto e ad essa corrisponde la traiettoria: M[t j1 M 1 [t j2 M 2 [t jr M r = M[M r La sequenza vuota (cioè la sequenza di lunghezza zero) è abilitata da ogni marcatura M e vale M[ M 9

10 Il comportamento (o linguaggio) di una rete marcata N,M 0 è l insieme delle sequenze di scatto abilitate dalla marcatura iniziale: L(N,M 0 )={T * M 0 [}. Una marcatura M è raggiungibile in N,M 0 se esiste una sequenza di scatto tale che M 0 [M. L insieme di raggiungibilità di una rete marcata N,M 0 è l insieme delle marcature che possono venir raggiunte da M 0 : R(N,M 0 )={MN m L(N,M 0 ): M 0 [M } NB: Poichè M 0 [ M 0, vale dunque M 0 R(N,M 0 ) 10

11 Esempi: p 1 t 1 p 2 t 1 p 2 r p 1 t 2 t 1 p 1 t 2 p 2 t 3 t 2 p 3 p 3 (a) (b) (c) (a): linguaggio infinito, insieme di ragg. finito (b): linguaggio infinito, insieme di ragg. infinito (c): linguaggio finito, insieme di ragg. finito 11

12 Sia N,M 0 una rete marcata e sia C la sua matrice di incidenza. Se M è raggiungibile da M 0 scattando la sequenza di transizioni vale M=M 0 +C Equazione di stato Conflitto strutturale t p t Se t t Conflitto effettivo t p t Se M Pre (,t) e M Pre (,t ) ma M Pre (,t)+ Pre (,t ) 12

13 Strutture elementari di reti di Petri e 1 e 2 e 3 (a) Sequenzialità e 1 e 1 e 2 e 2 par begin e 3 e 3 par end (b) Parallelismo e 1 (c) Sincronizzazione e 2 e 3 (d) Scelta 13

14 veicolo Strutture elementari di reti di Petri latte ruote 4 burro besciamella (a) telaio Montaggio farina (b) Smontaggio carica M1 t 1 robot t 3 carica M2 t 2 (c) t 4 Mutua esclusione 14

15 Esempi di modellazione pronto inviare pronto ricevere canale 1 invia messaggio attesa conferma ricevi conferma ricevi messaggio messaggio ricevuto invia conferma emittente canale 2 ricevente Processo emittente-ricevente 15

16 Esempi di modellazione inattivo inattivo s leggi in lettura termina lettura S n n n scrivi in scrittura termina scrittura lettori scrittori Processo lettori-scrittori 16

17 p 1 P ab disponibile t 1 t 2 t 4 t 3 p 3 (a) Macchina non affidabile Esempi di modellazione p 2 smontaggio t 1 p t 2 (b) P a disponibile t 3 t 1 lavorazione P a t 4 p k p (c) macchina P a lavorata t 2 k p 2 2 p 2 (d) Magazz. capac. Magazz. Magazz. infinita capac. k multiclasse t 1 t 3 p 1 (e) montaggio t 2 t 4 Cella di manifattura t 1 t 2 t 5 t 6 t 7 t 8 P b disponibile lavorazione P b P b lavorata 17

18 Algoritmo: Il grafo di raggiungibilità di una rete marcata N,M 0 con matrice di incidenza C si costruisce con la seguente procedura. 1. Il nodo radice del grafo è M 0. Questo nodo non è inizialmente etichettato. 2. Si consideri un nodo M del grafo senza etichetta. a) Per ogni t abilitata da M, cioè t.c. MPre(,t): i. Si calcoli la marcatura M =M+C(,t) raggiunta da M scattando t ii. Grafo di raggiungibilità Se già un nodo etichettato M nel grafo, si aggiunga il nodo M al grafo. iii. Si aggiunga un arco tra M ed M. 18

19 b) Si etichetti il nodo M vecchio. 3) Se esistono nodi senza etichetta si ritorni a 2. 4) Si rimuovano tutte le etichette dai nodi. NB: Tale procedura termina dopo un numero finito di passi se e solo se la rete marcata ha un insieme di raggiungibilità finito. In particolare, il passo 2 viene ripetuto tante volte quante sono le marcature raggiungibili. 19

20 Esempio: t 1 p 1 t2 p 2 t 3 p 3 (a) N,M 0 [1 1 0] t 2 [2 0 0] t 1 t 2 t 1 t 3 [0 2 0] [1 0 1] t t 2 3 t 1 [0 1 1] (b) Grafo di raggiungibilità t 3 [0 0 2] 20

21 Proposizione: Si consideri una rete marcata N,M 0 e il suo grafo di raggiungibilità (se esiste finito). a) La marcatura M appartiene all insieme di raggiungibilità R(N,M 0 ) SE E SOLO SE M è un nodo del grafo. b) Data MR(N,M 0 ), la sequenza =t j1 t j2 appartiene al linguaggio L(N,M) e può essere generata con la traiettoria M[t j1 M 1 [t j2 M 2 SE E SOLO SE esiste nel grafo un cammino orientato = M t j1 M t j2 M Da questa proposizione seguono i seguenti risultati. 21

22 Corollario: Si consideri una rete marcata N,M 0 e il suo grafo di raggiungibilità (se esiste finito). a) La marcatura M è raggiungibile da una marcatura MR(N,M 0 ) SE E SOLO SE esistono nel grafo due nodi M ed M ed esiste almeno un cammino orientato che va da M a M. b) La transizione t è abilitata da una marcatura MR(N,M 0 ) SE E SOLO SE esiste nel grafo un nodo M da cui esce un arco t. NB: Se l insieme delle marcature raggiungibili è infinito, il grafo che rappresenta lo spazio di stato della rete è detto grafo di copertura. 22

23 Proprietà comportamentali: dipendono sia dalla struttura della rete sia dalla marcatura iniziale. raggiungibilità limitatezza ripetitività reversibilità vivezza 23

24 Raggiungibilità: Il problema della raggiungibilità di una marcatura M da M 0 può essere risolto mediante la costruzione del grafo di raggiungibilità nel caso la rete abbia uno spazio di stato finito. Limitatezza: Un posto p è k-limitato in N,M 0 se per ogni MR(N,M 0 ) vale M(p) k. Un posto 1-limitato è detto sano. Una rete marcata N,M 0 è k-limitata se ogni suo posto è k-limitato. Una rete 1-limitata è detta sana. Una rete è limitata se e solo se ha spazio di raggiungibilità finito. 24

25 Ripetitività: Data una rete marcata N,M 0, sia una sequenza di transizioni non vuota e M R(N,M 0 ) una marcatura da cui essa è abilitata. La sequenza è ripetitiva se essa può essere eseguita un numero infinito di volte da M. Una rete marcata N,M 0 è ripetitiva se esiste una sequenza ripetitiva in L(N,M 0 ). Reversibilità: Una rete marcata N,M 0 è reversibile se per ogni marcatura M R(N,M 0 ) vale M 0 R(N,M), cioè se da ogni marcatura raggiungibile è possibile tornare alla marcatura iniziale M 0. 25

26 Vivezza e blocco Data una rete marcata N,M 0, si dice che una sua transizione è: morta, se non esiste alcuna marcatura raggiungibile M R(N,M 0 ) che abilita tale transizione; quasi-viva, se esiste almeno una marcatura raggiungibile M R(N,M 0 ) che abilita tale transizione; viva, se per ogni marcatura raggiungibile M R(N,M 0 ) la transizione t è quasi-viva. 26

27 Una rete marcata N,M 0 è: morta, se tutte le transizioni sono morte; non quasi-viva, se contiene transizioni morte e quasivive; quasi-viva, se tutte le sue transizioni sono quasi-vive; viva, se tutte le sue transizioni sono vive. 27

28 Reti di Petri temporizzate (RdPT) Si usano per la valutazione delle prestazioni di un sistema. Sono rdp a cui è associata una struttura di temporizzazione. Scatto atomico: la temporizzazione è realizzata associando ad ogni transizione un ritardo che corrisponde al tempo che deve trascorrere tra la sua abilitazione e il conseguente scatto. La marche rimangono nei posti di ingresso fino allo scatto, a meno che un altra transizione le preveli scattando a sua volta. Solo se al termine del ritardo la condizione di abilitazione continua a sussistere, la transizione scatta effettivamente, facendo sì che le marche prelevate dai posti in ingresso siano depositate nei posti di uscita. 28

29 NB: Se due transizioni che vengono abilitate contemporaneamente sono in conflitto effettivo, la transizione con il ritardo minore scatta per prima disabilitando l altra. Supponiamo che una transizione t i rappresenti una certa attività che richiede un certo tempo i per essere svolta affinchè la transizione possa scattare, deve trascorrere un tempo i dall istante in cui t i viene abilitata. i può essere costante, può cambiare (secondo una legge nota a priori) ogni volta che la transizione viene abilitata, o può essere una variabile aleatoria con funzione di distribuzione nota. Temporizzazione deterministica o temporizzazione stocastica. 29

30 Una transizione t i di una RdPT è detta: immediata ( ), se scatta appena viene abilitata, cioè se i =0; deterministica ( ), se ad essa è associato un tempo di ritardo i scelto in modo deterministico. Esso può essere costante, variabile secondo una sequenza nota o raramente funzione della marcatura; stocastica ( ), se il tempo di ritardo i è una variabile aleatoria con una funzione di probabilità nota. Se i ha distribuzione esponenziale f i (x)= i e - ix la transizione t i è detta stocastica esponenziale: il tempo medio di ritardo è pari all inverso della frequenza di scatto i, cioè i =1/. i La transizione è detta stocastica estesa se il suo ritardo è una v.a. con distribuzione diversa dall esponenziale. 30

31 Esempi: 31

32 Semantica di servente della RdPT Serventi infiniti: ogni transizione rappresenta un operazione che può essere eseguita da un numero infinito di unità operative che lavorano in parallelo. Servente singolo: ogni transizione rappresenta un operazione che può essere eseguita da una singola unità operativa. Serventi multipli: ogni transizione rappresenta un operazione che può essere eseguita da un numero finito k di unità operative che lavorano in parallelo. NB: Nel libro viene utilizzata come nozione di base la semantica a serventi infiniti: a partire da questa nozione è possibile rappresentare anche le altre due per mezzo di opportuni posti che limitano il massimo grado di abilitazione della generica transizione. 32

33 Esempi: 33

34 Memoria totale e di abilitazione Hp: 2 < 1 < 2 2 Da M 0 (all istante 0 ) t 1 e t 2 sono entrambe abilitate, quindi all istante 1 = 2 la transizione t 2 scatta e si raggiunge la marcatura [0 0 1] T. Dopo un ritardo pari a 3, cioè all istante 2 = 1 + 3, scatta t 3 e si ritorna a M 0. Successivamente: 1. Memoria totale: t 1 ricorda di essere stata abilitata per un intervallo di tempo pari a 2 e scatterà dopo un ritardo Memoria di abilitazione: t 1 ha memoria solo dell attuale abilitazione non scatterà mai!! 34

35 Reti di Petri temporizzate deterministiche (RdPTD) Definizione: Una RdPTD è caratterizzata dalla struttura algebrica N d =(N,) dove: N=(P,T,Pre,Post) è una rete P/T; = { i : t i T}, con i ={ i,1, i,2, }, t i T, i,2 R + {0}, k N + è una struttura di orologio (o temporizzazione) deterministica. Se i ritardi sono costanti, allora il generico elemento i,k è indicato con i, k N +. Una RdPTD N d con una marcatura M 0 all istante di tempo iniziale 0 è detta RdPTD marcata e viene indicata come N d,m 0. 35

36 Evoluzione temporale di una RdPTD Una transizione t i è detta abilitata da una marcatura M j se ogni posto pp della rete contiene un numero di marche pari o superiore a Pre(p,t i ), cioè se M j Pre(,t i ). Il grado di abilitazione di una transizione t i abilitata da una marcatura M j è il più grande numero intero k tale che M j k Pre(,t i ). Il grado di abilitazione di t i da M j viene indicato con i (j). In ogni istante di tempo ogni transizione t i ha associato un numero di orologi pari al suo grado di abilitazione corrente; tale numero cambia con il grado di abilitazione, quindi può variare ogni volta che la rete evolve da una marcatura ad un altra, cioè ogni volta che una transizione scatta. 36

37 Esempi: (a) 1 (j)= (transiz. sorgente) (b) 1 (0)=2 (c) 3 (0)=0 (c) 37

38 Algoritmo x l evoluzione di una RdPTD (mem. abilitaz, serv) Si assume che la RdPTD abbia all istante j una determinata marcatura M j e che siano noti i valori minimi degli orologi associati alle transizioni o i =min{o i,1,, o i,i(j) }, t i T. L evoluzione dello stato della RdPTD avviene attraverso la ripetizione dei seguenti passi: 1. Individuare o * =min i:ti T {o i } come il minimo tra i valori di orologio o i associati alle transizioni abilitate da M j. Se o * non è unico più transizioni si trovano a scattare contemporaneamente, secondo una sequenza che deve essere specificata a priori (se la rete non è persistente, ossia se lo scatto di una transizione può disabilitarne altre). 38

39 2. All istante j+1 = j +o * la transizione t * scatta portando alla marcatura M j+1 =M j +C(,t * ). 3. Raggiunta M j+1, l orologio associato a t * viene scartato. Gli orologi associati alle transizioni t i T vengono aggiornati come segue: Se i (j+1) nella marcatura raggiunta M j+1 è inferiore a i (j) allora devono essere scartati [ i (j)- i (j+1)] orologi associati a t i : vengono eliminati dall insieme {o i,1,, o i,i(j) } gli [ i (j)- i (j+1)] orologi che hanno i valori più alti; Se i (j+1) > i (j), [ i (j+1) - i (j)] nuovi orologi sono associati a t i e impostati ai valori definiti da ; Se i (j+1) = i (j) non faccio nulla. 4. Ripetere dal passo 1 ponendo j+1j 39

40 NB 1 : Se la transizione t i non è abilitata in una data marcatura, non ha orologi associati, ossia non ha orologi attivi. NB 2 : Se in M j il valore minimo di orologi o i di una transizione t i corrisponde a k, ciò significa che se t i sarà la prossima a scattare, essa scatterà k volte contemporaneamente. NB 3 : Se considerassimo il caso di memoria totale l algoritmo andrebbe modificato solo al passo 2. NB 4 : Se considerassimo il caso di servente singolo a ogni transizione sarebbe associato un solo orologio. Se invece considerassimo il caso di servente multiplo il numero degli orologi associati sarebbe il minimo tra il grado di abilitazione e il numero dei serventi. 40

41 Esempi: t 1 p 1 p 2 1 =2 41

42 Esempi: p 2 t 1 p 1 p 2 t 2 1 =2 1 =1 42

43 Grafi marcati temporizzati (GMT) Un grafo marcato (GM) è una rdp in cui ogni posto ha una sola transizione in ingresso e una sola transizione in uscita e tutti gli archi hanno peso unitario. Esempio: sistema a coda modellato mediante un GMT p 4 p 3 1 p 1 p 2 3 t 1 arrivo cliente t 2 inizio servizio t 3 fine servizio 43

44 Definizione: Un grafo marcato temporizzato deterministico fortemente connesso (GMTFC) è una rdptd N d che soddisfa le seguenti proprietà: la strutture della rete N d è un grafo marcato temporizzato; la rete è fortemente connessa, cioè esiste un cammino orientato da un qualunque nodo a ogni altro nodo: ciò implica che ogni posto e ogni transizione della rete appartengono ad un ciclo orientato. L insieme dei cicli orientati è denotato ={ 1,, r }. la struttura di temporizzazione associata alle transizioni è deterministica e costituita da sequenze di ritardi costanti. 44

45 Analisi delle prestazioni In un GMT il numero di marche in ogni ciclo rimane costante per ogni sequenza di scatto. Definizione: Il tempo di ciclo C(t i ) di una transizione t i di un GMT è definito sulla base del generico k-esimo tempo di scatto i,k come C( t i ) lim k i, k k N.B: i,k è l istante di tempo in cui t i scatta per la k- esima volta a partire dall istante iniziale 0 45

46 Teorema: In un GMT, tutte le transizioni appartenenti ad un ciclo i hanno il medesimo tempo di ciclo C j, definito come il rapporto tra la somma dei tempi di ritardo delle transizioni che formano j e il numero di marche che circolano in esso, ossia C( ) j ( ) j M ( ) j dove: ( ) j i t i M ( j ) M ( pk ) p k j j è il tempo di ritardo di ciclo; è la marcatura del ciclo j. 46

47 Teorema di Chretienne: In un GMTFC in condizioni stazionarie, tutte le transizioni hanno il medesimo tempo di ciclo C, dato dalla relazione C t max max i i j C j j j M ( pk ) pk j che identifica il massimo fra i tempi di ciclo di tutti i cicli elementari del GMTFC; in altre parole, tutte le transizioni hanno a regime frequenza di scatto r =1/C. Tutti i cicli tendono a sincronizzarsi, a regime, sul più lento di essi (deriva dalle caratteristiche strutturali dei GMTFC). 47

48 Esempio: Consideriamo il seguente sistema produttivo. Vogliamo calcolare la frequenza delle transizioni della RdPTD a regime. 48

49 I cicli elementari che compongono l insieme sono: 1 : p 7 t 1 p 2 t 2 p 7 2 : p 2 t 2 p 3 t 3 p 10 t 1 p 2 3 : p 8 t 3 p 4 t 4 p 8 4 : p 9 t 4 p 5 t 5 p 9 5 : p 5 t 5 p 6 t 6 p 11 t 4 p 5 6 : p 1 t 1 p 2 t 2 p 3 t 3 p 4 t 4 p 5 t 5 p 6 t 6 p 1 I tempi di ciclo sono rispettivamente: C 1 =11; C 2 =12; C 3 =1; C 4 =21; C 5 =22; C 6 =11,3. Da cui la frequenza di scatto a regime risulta: r 0,045 C max C 22 j j 49

50 Reti di Petri temporizzate stocastiche (RdPTS) Definizione: Una RdPTS è una struttura algebrica N s =(N,) dove: N=(P,T,Pre,Post) è una rete P/T; = [ 1 2 ] è il vettore delle frequenze di scatto delle transizioni; gli elementi i = i (M k ), k +. Per una RdPTS le regole di scatto sono uguali a quelle di una RdP e la scelta delle prossima transizione da scattare è fatta sulla base delle probabilità di scatto delle singole transizioni. Prob. di scatto della i ( M k ) Pr{ t M } i k t ( M ) j k ( M ) j k transizione t i abilitata da M k A(M k ):insieme delle transizioni abilitate da M k 50

51 Una RdPTS è equivalente ad una CMTC. Teorema 1: In un RdPTS, i tempi di permanenza in ogni marcatura sono distribuiti in maniera esponenziale. Teorema 2: L evoluzione nel tempo di una RdPTS può essere descritta da una CMTC nella quale ogni stato corrisponde ad una marcatura raggiungibile dalla RdPTS. 51

52 Una CM equivalente ad una RdPTS si può ottenere applicando il seguente algoritmo: Algoritmo: 1. Individua una corrispondenza biunivoca tra gli stati della CMTC e l insieme di raggiungibilità R(N,M 0 ) facendo corrispondere ad ogni marcatura M k uno stato x k X. 2. Fissa come distribuzione iniziale di probabilità 0 (0)=1, ossia assegna max probabilità allo stato x 0 corrispondente a M Imposta gli elementi della matrice Q pari a: q ( M ) q ( ) kj t M ( M ) i k kk t ( M ) i k i k dove A j (M k ) = {t i A(M k ) M k t i M j } i j k 52

53 Esempio: Consideriamo un centro di lavorazione costituito da una sola macchina: p 1 : macchina disponibile p 2 : macchina in lavorazione p 3 : macchina in riparazione t 1 : inizio lavorazione (tasso di scatto ) t 2 : fine lavorazione (tasso di scatto ) t 3 : guasto della macchina (tasso di scatto ) t 4 : riparazione completata (tasso di scatto ) 53

54 Gli stati in cui può trovarsi il sistema sono: x 0 = macchina disponibile, corrispondente alla marcatura M 0 =[1 0 0] T ; x 1 = macchina al lavoro, corrispondente alla marcatura M 1 =[0 1 0] T ; x 2 = macchina guasta, corrispondente alla marcatura M 2 =[0 0 1] T. La CMTC equivalente alla RdPTS è la seguente: 54

55 La CMTC nella precedente pagina si può ottenere semplicemente dal grafo di raggiungibilità della RdPTS sostituendo ad ogni marcatura lo stato corrispondente nella CMTC equivalente e ad ogni transizione della RdPTS il parametro che caratterizza la distribuzione esponenziale dei suoi tempi di scatto. RdPTS limitata CMTC finita Grafo di raggiungibilità RdP fortemente connesso CMTC ergodica 55

56 Analisi strutturale e analisi prestazionale Sappiamo che una CMTC omogenea finita e irriducibile risulta sempre ergodica. Quindi un grafo marcato di una rete limitata fortemente connesso corrisponde a una CMTC ergodica. L analisi di un modello RdPTS è di solito mirata alla misura di indici di prestazione: 1. La probabilità di un evento e definito in funzione della marcatura (ad es: nessuna marca in un sottoinsieme di posti, o almeno una marca in un posto quando in un altro non ce ne sono, ecc) si calcola sommando la probabilità di tutte le marcature che soddisfano l evento: Pr{ e} k dove M M k e e è l insieme di marcature per cui la definizione di e è soddisfatta 56

57 2. La probabilità di avere un certo numero di marche in un posto p i si può calcolare considerandola come uno speciale evento; pertanto, se definiamo e i,j l evento di avere j marche nel posto p i, il numero medio di marche nel posto p i è dato da: ni j Pr{ ei, j} j 3. La frequenza di scatto f j di una transizione t j, ossia il numero medio di volte che la transizione scatta nell unità di tempo in condizioni di regime è la somma pesata dei tassi di scatto delle transizioni abilitate in ogni marcatura M i : f ( M ) j j i i i: t ( M ) j i 57

58 Esempio: Consideriamo la seguente RdPTS dove i =1 per i=1,2,3,4. Vogliamo calcolare: 1) la probabilità che a regime i posti p 2 e p 3 siano contemporaneamente marcati; 2) la frequenza di scatto a regime della transizione t 2 e 3) il numero medio di marche nel posto p 5 a regime. 58

59 Costruiamo il grafo di raggiungibilità della RdPTS: M 0 =[ ] T M 1 =[ ] T M 2 =[ ] T M 3 =[ ] T M 4 =[ ] T La RdPTS è limitata e il grafo è fortemente connesso, quindi la CMTC equivalente è ergodica, quindi posso calcolare le probabilità di stato a regime risolvendo il sistema: Q 0 { 1 x j X j 59

60 Risolvendo il sistema ottengo: 0 = 4 =2/7 e 1 = 2 = 3 =1/7, da cui: 1) la probabilità che a regime i posti p 2 e p 3 siano contemporaneamente marcati è pari a 1 =1/7. 2) la frequenza di scatto a regime della transizione t 2 è : 2 *( )= 2/7 3) il numero medio di marche nel posto p 5 a regime è pari a: 1*( 3 )+1*( 4 )=3/7 60