Probabilità e Statistica Non faremo una trattazione sistematica di probabilità e statistica (si veda in proposito il corso di Esperimentazioni III) Richiameremo alcuni argomenti che avete già visto quando necessario Libri: G. Cowan, Statistical Data Analysis, Clarendon, Oxford, 1998
Variabili aleatorie e densità di probabilità Una variabile aleatoria è un numero assegnato agli elementi di un campione statistico; può essere discreta o continua. Supponiamo che il risultato di un esperimento assuma un valore continuo x f(x) = densità di probabilità - probability density function (pdf) x deve assumere un valore tra ± O nel caso di variabili discrete: probability function
Istogrammi pdf = istrogramma con un campione infinito, canali con larghezza zero e area unitaria
Distribuzioni di più variabili Risultato dell esperimento caratterizzato da un vettore con n componenti (x 1,... x n ) pdf congiunta Normalizzazione:
pdf marginale pdf di alcuni (o di uno solo) dei componenti: i pdf marginale x 1, x 2 independenti se
pdf marginale (2) pdf marginale ~ proiezione della pdf congiunta sugli assi
Funzione di una variabile aleatoria Una funzione di una variabile aleatoria è una variabile aleatoria Se x ha una pdf f(x), consideriamo la funzione a(x). Qual è la pdf g(a)? ds = regione del dominio x per cui a è in [a, a+da]. Per il caso di una variabile con funzione a(x) invertibile:
Funzioni con inversa non unica Se l inversa non è unica bisogna includere tutti gli intervalli dx in ds che corrispondono a da: Esempio:
Funzioni con più di una variabile aleatoria Consideriamo e una funzione ds = regione di x compresa tra le (iper)superfici definite da
Trasformazione di variabili Consideriamo il vettore e la pdf congiunta Siano n funzioni linearmente indipendetenti per cui le funzioni inverse esistono. La pdf congiunta del vettore di funzioni è dove J è il determinante Jacobiano Per si deve poi integrare sulle variabili non volute
Il metodo Monte Carlo È una tecnica numerica per calcolare probabilità e altre quantità correlate usando delle sequenze di numeri aleatori (o casuali). Si divide di solito in tre passi: (1) Si genera una sequenza r 1, r 2,..., r m uniforme in [0, 1]. (2) Si usa questa sequenza per ottenerne un altra x 1, x 2,..., x n distribuita secondo una qualche pdf f (x) alla quale siamo interessati. (3) Si usano i valori di x per stimare le proprietà di f (x), e.g., la frazione di valori x tali che a < x < b è calcolo MC = integrazione (almeno formalmente) valori generati dal MC = dati simulati si possono usare per provare dei metodi statistici
Generatori di numeri aleatori Obiettivo: generare dei valori uniformemente distribuiti in [0, 1]. tiriamo una moneta per tutti i 32 bit di un long integer... troppo faticoso! usiamo un generatore di numeri aleatori (random number generator) = algoritmo che genera una sequenza r 1, r 2,..., r n semi-aleatoria Esempio: generatore multiplicativo lineare congruente (MLCG) n i+1 = (a n i ) mod m, dove n i = intero a = multiplicatore m = modulo n 0 = seme (valore iniziale) Produce una sequenza di numeri n 0, n 1,...
Generatori di numeri aleatori (2) La sequenza è (sfortunatamente) periodica Esempio (Brandt cap. 4): a = 3, m = 7, n 0 = 1 la sequenza si ripete Si sceglie a, m in modo da ottenere un periodo lungo (max = m 1); m di solito prossimo al massimo intero che si può rappresentare Si usa solo un sottinsieme di un singolo periodo della sequenza.
Generatori di numeri aleatori (3) sono in [0, 1] ma quanto sono aleatori? Si scelgono a, m in modo che gli r i passino vari test: distribuzione uniforme in [0, 1], i valori sono indipendenti (non ci sono correlazioni tra coppie), e.g. L Ecuyer, Commun. ACM 31 (1988) 742 suggerisce a = 40692 m = 2147483399 Esistono algoritmi molto migliori, e.g. TRandom3, periodo 2 19937 1 F. James, Comp. Phys. Comm. 60 (1990) 111; Brandt cap 4
Il metodo della trasformata Dati r 1, r 2,..., r n uniformi in [0, 1], si trova la transformazione x (r) tale che x 1, x 2,..., x n abbiano una pdf f (x). Si richiede: i.e. Ovvero si pone e si ricava x (r).
Esempio del metodo della trasformata Esponenziale: Si pone e si trova x (r). pure funziona.)
Metodo di accettazione-reiezione Racchiudiamo la pdf in un box (1) Si genera una variabile aleatoria x, uniforme in [x min, x max ], i.e. r 1 è uniforme in [0,1]. (2) Si genera una 2 a variabile indipendente u uniformemente distribuita tra 0 e f max, i.e. (3) Se u < f (x), si accetta x. Se no, si rigetta x e si ripete.
Esempio con accettazione-reiezione Se il punto è sotto la curva, si usa x nell istogramma.
Come migliorare l efficienza del metodo di accettanza-reiezione La frazione di punti accettati è uguale alla frazione di area del box sotto la curva Per distribuzioni con un picco stretto l algoritmo può essere molto lento Si può migliorare includendo la pdf f(x) in una curva C h(x) che segue meglio f(x), dove h(x) è una pdf per cui sappiamo generare dei valori casuali e C è una costante Si generano i punti uniformemente in C h(x). Se il punto è sotto f(x), si accetta x. G. Cowan Lectures on Statistical Data Analysis Lecture 4 page 10
Generatori Monte Carlo Per esempio: e + e µ + µ Si deve generare cosθ e φ: Per i casi più complicati: e + e - µ + µ, adroni,... pp adroni, DY, SUSY,... si usano generatori di eventi, e.g. PYTHIA, HERWIG, ISAJET... Output = eventi, i.e., per ogni evento si ottiene una lista di particelle generate, con il loro momento, punto di origine, ecc...