Soluzioni Cat. M3 (Alunni di terza Media)

IX Edizione Giochi di Achille e la tartaruga 11-DIC-2014 Chieti - Italia Con il Patrocinio del Comune di Chieti Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti - Tel. 0871 781458 (cell.: 340 47 47 952) e-mail: agostino_zappacosta@libero.it sito: www.matematicabruzzo.it Soluzioni Cat. M3 (Alunni di terza Media) Quesito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Risposta esatta E C E D C D A B A B 115 455 7 1141 2449,2 15 Vale punti 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 12 12 Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 (vale 4 punti) [Quale sarà il numero?] Il triplo di un numero più la sua terza parte supera di 20 il doppio di quel numero più la sua metà, Qual è quel numero? A) 50; B) 40; C) 30; D) 25; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 1: E) 24. Passiamo in rassegna le varie alternative. Le alternative A), B) e D) sono subito da escludere perché non divisibili per 3. L alternativa C) non va bene; infatti: 3 30 + 30 : 3 = 90 + 10 = 100 che non supera di 20 il doppio di quel numero più la sua metà, cioè 75 (2 30 + 30 : 2 = 60 + 15 = 75). Non resta allora che l alternativa E). Non si chiede altro. Però, per i più curiosi, diciamo che il numero è 24. Infatti 3 24 + 24 : 3 = 72 + 8 = 80. Inoltre 2 24 + 24 : 2 = 48 + 12 = 60. E 60 + 20 = 80!!!! Quesito 2 (vale 4 punti) [Che giorno sarà????!!!!] Daniele ha festeggiato il suo compleanno 24 giorni fa (era una domenica). Daniela, invece, festeggerà il suo compleanno fra 10 giorni (a partire da dopodomani). A che giorno della settimana corrisponde il compleanno di Daniela? A) giovedì; B) martedì; C) lunedì; D) venerdì; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 2: C) lunedì. Ai 24 giorni devo aggiungere due giorni (oggi e domani) e 24 + 2 = 26 giorni. A questi devo aggiungere gli ulteriori 10 giorni da dopodomani cioè 36 (26 + 10). Ma 36 giorni corrispondono esattamente a 5 settimane (5 x7 = 35) + 1 giorno. Allora Daniela festeggerà il suo compleanno di lunedì (il giorno dopo domenica).. Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 1

Quesito 3 (vale 4 punti) [Ma che freddo fa!!!!!!!] La pressione atmosferica, a Chieti, il 30 aprile 2014 è stata di 968. Nella tabella sono riportate le variazioni in aumento (col segno +) e in diminuzione (col segno ) rispetto al giorno precedente, della pressione atmosferica registrata a Chieti nei primi 14 giorni di maggio 2014. Giorno di maggio 2014 1 2 3 4 5 6 7 0 3 + 7 0 0 +13 0 8 9 10 11 12 13 14 + 2 13 2 +11 2 3 + 1 Chieti - Cattedrale Qual è stata la pressione atmosferica registrata a Chieti il 14 maggio 2014? A) 982; B) 978; C) 977; D) 980; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 3: E) 979. Indicando col + l aumento e col la diminuzione, avremo: 968 + 0 3 + 7 + 0 + 0 + 13 + 0 + 2 13 2 + 11 2 3 + 1. La somma degli aumenti è stata di 34 (7 + 13 + 2 + 11 + 1) mentre la somma delle diminuzioni è stata di 23 (7 + 13 + 2 + 11 + 1), Perciò la pressione atmosferica registrata a Chieti il 14 maggio 2014 è stata di 968 + 34 23 cioè di 979. Quesito 4 (vale 4 punti) Che differenza c è tra 10 metri cubici e 10 metri al cubo? A) 10; B) 1000; C) 100; D) 990; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 4: D) 990 m 3. Infatti il primo valore è 10 m 3, mentre il secondo è (10 m) 3 = 1000 m 3 e la loro differenza è 1000 10 = 990. Quesito 5 (vale 5 punti) [Giochiamo a dadi] Tre dadi non truccati sono poggiati sul tavolo. Sappiamo che la somma dei numeri presenti sulle quindici facce visibili (sono cinque per ogni dado) vale 48. Quale deve essere l unico numero dispari presente in una delle tre facce non visibili? N. B.: I dadi hanno tutti la forma del cubo e sulle sue sei facce sono riportati i numeri da 1 a 6.]. A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 5: C) 3. La somma dei numeri presenti sui dadi tradizionali a 6 facce vale 21 (1 + 2 + 3 +4 +5 +6). Se ho 3 dadi, la somma dei numeri presenti si triplica: 21x3 = 63. Se la somma delle 15 facce visibili è uguale a 48, la somma delle tre facce nascoste deve essere 15 (63 48). Per ottenere 15 con 3 dadi, non tenendo conto dell ordine, e in modo che ci sia un solo numero dispari abbiamo solo la terna (3, 6, 6). Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 2

Quesito 6 (vale 5 punti) [Gli anni speciali!!!!!] 2060 sarà un anno particolare in quanto il numero formato dalle prime due cifre (20) è esattamente la terza parte del numero formato dalle restanti due cifre (60). Considerando gli anni che vanno dal 1000 fino al 2000 dopo la nascita di Cristo, quanti anni ci sono stati con queste stesse caratteristiche? A) 60; B) 20; C) 90; D) 10 E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 6: D) 10. Scriveremo prima il numero formato dalle prime due cifre dell anno (migliaia e centinaia): 10**; 11**; 12**; 13**; 14**; 15**; 16**; 17**; 18** e 19**. Al posto dei due asterischi metteremo le due cifre restanti in modo da formare un numero che sia triplo del numero scritto già: 1030; 1133; 1236; 1339; 1442; 1545; 1648; 1751; 1854 e 1957. In tutto abbiamo avuto10 anni con questa caratteristica. Quesito 7 (vale 5 punti) Quanti sono i numeri di tre cifre in cui la cifra delle centinaia è la quinta parte del numero formato dalle restanti due cifre (decine ed unità)? A) 9; B) 20; C) 44; D) 80; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 7: A) 9. Scriviamo le 9 cifre significative (messe all inizio di un numero la cifra deve essere diversa da 0) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A fianco a ciascuna di queste scriviamo il quintuplo, utilizzando sempre due cifre. Avremo: 105; 210; 315; 420; 525; 630; 735; 840 e 945 cioè, in tutto, 9 numeri. Quesito 8 (vale 5 punti) [trovare il numero!!!!] Qual è il più piccolo numero che diviso per 6 da resto 5; diviso per 5 da resto 4; diviso per 4 da resto 3; diviso per 3 da resto 2 e diviso per 2 da resto 1? A) 19; B) 59; C) 49; D) 29; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 8: B) 59. Basta trovare il mcm tra i numeri 6, 5, 4, 3 e 2. Siccome 6 è multiplo sia di 3 che di 2, si prende solo 6 che già li comprende. Quindi basta trovare il mcm (6, 5, 4). Sapendo che 4 = 2 2 ; 5 = 5 e 6 = 2 x 3, il mcm (6, 5, 4) = 2 2 x 3 x 5 = 4 x 5 x 3 = 20 x 3 = 60. Togliendo da questo 1, otteniamo 59 che ci assicura i resti delle divisioni indicate nel quesito. La verifica è immediata: 59 : 6 = 9 col resto di 5; 59 : 5 = 11 col resto di 4; 59 : 4 = 14 col resto di 3; 59 : 3 = 19 col resto di 2; 59 : 2 = 29 col resto di 1. Quesito 9 (vale 6 punti) [Aguzzate bene la vista!!] Nella figura a fianco sono riportati tanti triangoli equilateri. Quando n = 1 la base è formata da 1 solo triangolino. Quando n = 2 la base è formata da 2 triangolini. Quando n = 3 la base è formata da 3 triangolini;. E così via. Quando n = 50 e la base è formata da 50 triangolini, il triangolo grande così ottenuto quanti triangolini contiene? A) 2500; B) 50; C) 500; D) 5005; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 3

Soluzione Quesito 9: A) 2500 Il numero dei triangolini va aumentando secondo i primi dispari consecutivi. La fig. n = 2 contiene 1 + 3 = 4 triangolini: (si fa la somma dei primi due numeri dispari). La fig. n = 3 contiene 1 + 3 + 5 = 9 triangolini: (si fa la somma dei primi tre numeri dispari). Quando n= 50 avremo tanti triangolini quant è la somma dei primi 50 dispari, cioè 2500: Per gli scettici basta eseguire la somma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +..+ 93 + 95 + 97 + 99 = (1 + 99) + (3 + 97) + (5 + 95) +. + (43 + 57) + (45 + 55) + (47 + 53) + (49 + 51) = 25 volte 100 cioè 2500!!! Adoperando le potenze si faceva prima: La somma dei primi 50 dispari = 50 2 = 2500. Quesito 10 (vale 6 punti) [Un triangolo strano!!!!] Se in un triangolo il primo angolo è il triplo del secondo, e il secondo è il doppio del terzo, quanto misura l angolo più piccolo? A) 25 ; B) 20 ; C) 18 ; D) 30 ; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 10: B) 20. Il triplo del doppio corrisponde al sestuplo. Quindi il primo angolo (doppio del secondo), è 6 volte più grande del terzo mentre il secondo angolo è doppio del terzo.. Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi vale 180. Allora avremo: primo angolo + secondo angolo + terzo angolo = 180. sostituendo avremo: 6 volte il terzo angolo + 2 volte il terzo angolo + il terzo angolo = 180 da cui avremo: 9 volte il terzo angolo = 180 terzo angolo = 180 : 9 = 20. Soluzione più semplice (ma più lunga) era quella di verificare le diverse alternative e scartare quelle sbagliate Quesito 11 (vale 6 punti) [lavoro!!.per falegnami esperti] 5 tavolette di legno sono poggiate su un tavolo come indicato nella figura a fianco. Due tavolette sono lunghe 70 cm mentre le restanti tre sono lunghe 50 cm. La larghezza, invece, è di 10 cm per tutte e cinque. Sapendo che la superficie del tavolo coperta dalle 5 tavolette rappresenta 1/5 di quella di tutto il tavolo, qual è l area, in dm 2, di quel tavolo? Soluzione Quesito 11: 115 dm 2. L area della superficie quadrata (10 cm x 10 cm) nelle 6 sovrapposizioni delle tre tavolette corte con le due lunghe deve essere conteggiata una sola volta. Perciò avremo: cm 2 [2 (10 x 70) + 3 (10 x 50) 6 (10 x 10)] = cm 2 [1400 + 1500 600] = cm 2 2300 = dm 2 23. Se questa superficie è la quinta parte di quella di tutto il tavolo, allora la superficie del tavolo sarà cinque volte questa: dm 2 (5 x 23) = dm 2 115. Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 4

Quesito 12 (vale 6 punti) [Mamma mia..mi gira la testa!!!!!!???] Se facciamo la somma dei seguenti numeri decimali: 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0004 + 0,00005 + 0,000006 + + 0,0000007 + 0,00000008 + 0,000000009 + + 0,0000000010 + 0,00000000011 + 0,000000000012 + + 0,0000000000013 + 0,00000000000014 + 0,000000000000015, quanto vale il numero formato dalle ultime tre cifre decimali? Soluzione Quesito 12: 455. Siccome le cifre aumentano sempre di uno passando da un addendo al successivo, l ultima cifra decimale dell ultimo addendo non ha altre cifre a cui si può sommare. Mentre la sua penultima cifra (1) deve essere sommata all ultima cifra decimale del penultimo addendo (4), e 1 + 4 fa 5. Così l ultima cifra (3) del terzultimo addendo deve essere sommata alla penultima cifra (1) del penultimo addendo e 3 + 1 = 4. Quindi il numero formato dalle ultime tre cifre decimali sarà 455. Se scriviamo la somma in colonna, si comprenderà meglio: 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0004 + 0,00005 + 0,000006 + 0,0000007 + 0,00000008 + 0,000000009 + 0,0000000010 + 0,00000000011 + 0,000000000012 + 0,0000000000013 + 0,00000000000014 + 0,000000000000015 + 0,123456790123455 Quesito 13 (vale 8 punti) [Se tutto andrà bene!!!... arriveremo?] Il servizio di autobus che collega Rimini a Pescara prevede che ogni ottanta minuti, nello stesso istante, da entrambe le località parta un autobus che in 4 ore e mezza completa il suo percorso (di sola andata). Ciascun autobus quanti altri ne incrocia, nel tragitto? Soluzione Quesito 13: 7. Ne incrocia sette. Per esempio il pullman che parte da Pescara incrocia quello che è partito da Rimini alla stessa ora, i tre che sono partiti (sempre da Rimini) 80, 160 e 240 minuti prima e i tre che sono partiti (sempre da Rimini) 80, 160 e 240 minuti dopo. Siccome il pullman impiega 4 ore e mezza cioè 4 x 60 + 30 minuti = 270 minuti non potrà incrociare il pullman che partirà da Rimini dopo 320 minuti in quanto il pullman proveniente da Pescara ha esaurito la sua corsa già da cinquanta minuti!! Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 5

Quesito 14 (vale 8 punti) [Con le alluvioni non si scherza!!!!!] Un Palazzetto dello Sport di un paese in provincia di Ravenna, nelle ultime settimane, a causa delle incessanti piogge, è rimasto allagato fino a tre metri di altezza. I Vigili del fuoco, immediatamente intervenuti, hanno provveduto allo svuotamento dell acqua per evitare ulteriori danni all impianto sportivo. Hanno utilizzato tre pompe: la prima, in un minuto, scarica 7,5 ettolitri di acqua; la seconda ne riesce a pompare 5,5 ettolitri, la terza solo 4,5 ettolitri. La prima pompa, si arresta 12 minuti per ogni due ore di funzionamento; la seconda si arresta per 16 minuti per ogni tre ore di funzionamento e la terza 22 minuti per ogni quattro ore di funzionamento. Dopo dodici ore di lavoro continuo quanti metri cubi di acqua sono riusciti ad eliminare da quel palazzetto allagato? [Nota Bene: 1 metro cubo di acqua corrisponde a 10 ettolitri di acqua; se il risultato è decimale, approssimate all unità]. Soluzione Quesito 14: 1141 m 3. La prima pompa, arrestandosi 12 minuti ogni due ore, ha lavorato complessivamente per (120 12) x 6 = 648 minuti, pompando così hl (648 x 7,5) = hl 4860. La seconda pompa, arrestandosi 16 minuti ogni 4 ore, ha lavorato complessivamente per (180 16) x 4 = 656 minuti, pompando così hl (656 x 5,5) = 3608 ettolitri. La terza pompa, arrestandosi 22 minuti per ogni 4 ore, ha lavorato complessivamente per (240 22) x 3 = 654 minuti, pompando così hl (654 x 4,5) = 2943 ettolitri. Le tre pompe, in 12 ore, lavorando insieme, hanno eliminato dal palazzetto hl (4860 + 3608 + 2943) = 11411 hl = 1141 m 3 di acqua. Quesito 15 (vale 12 punti) [Attenzione!!!! Passeggeri senza biglietto??] La lancetta grande dell orologio che si trova sul campanile della Cattedrale di Teramo è lunga, dal perno alla punta, 120 centimetri. Sulla punta c è seduta una coccinella che approfitta per farsi un giro panoramico. Dopo tre ore e un quarto, infreddolita, vola via dalla punta della lancetta per sgranchirsi un po le ali. Quanti cm ha percorso in questo suo giro panoramico? [Nota Bene: La lancetta grande è quella che segna i minuti. Nel caso utilizzate pi greco (π) prendete solo due cifre decimali: 3,14. Se il risultato finale è decimale, riportate una sola cifra decimale]. Soluzione Quesito 15: cm 2449,2. In tre ore e un quarto la lancetta dei minuti fa tre giri ed un quarto di giro cioè 3,25 giri esatti del quadrante, per cui la distanza percorsa dalla coccinella sarà di cm 3,25 x (2 x 120 x 3,14 ) = = cm 3,25 x 240 x 3,14 = cm 2449,2. Quesito 16 (vale 12 punti) [Aguzzate bene la vista!!] Due giovani ingegneri stanno progettando una nuova serratura supersicura. La cassa di acciaio che funge da sostegno alla serratura ha le dimensioni interne di 10 cm x 10 cm. Per non sbagliare le misure dei vari pezzi da montare, con un pennarello a punta sottile hanno tracciato delle linee orizzontali e verticali. In questo modo le linee hanno formano 25 quadratini delle dimensioni di 2 cm x 2 cm. Nelle caselle nere (vedi figura a fianco) hanno saldato 4 blocchetti, sempre di acciaio, delle dimensioni di 2 cm x 2 cm che servono da guida per i pezzi mobili della serratura. Volendo inserire il pezzo colorato in grigio, a forma di F (formato da 5 quadratini 2 cm x 2 cm), in quanti modi diversi si può posizionare? Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 6

Soluzione Quesito 16: 15. Il pezzo colorato in grigio, a forma di F si può inserire in 15 modi differenti: ne sono indicati tre nelle fig. 1, 4 e 6; due nella fig. 2 e 3; uno nelle fig. 5 e 7. In tutto 3 + 2 + 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 15 modi differenti. Fig. 1 (1+2=3) Fig. 2 (2) Fig. 3 (1+1=2) Fig. 4 (2+1=3) Fig. 5 (1) Fig. 6 (2+1 =3) Fig. 7 (1) Soluzioni_Cat._M3_IX-Ed_Giochi_Achille_tartaruga_CH_11-12-2014 Pagina 7