NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. R. Sanchez - T. Traetta - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 1 1. Definire la nozione di autospazio di un endomorfismo.. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo. Siano V R uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, W un sottospazio di V R e w W. Dimostrare che w è l unico vettore di modulo minimo in w + W. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) 3. Si consideri l affermazione: Siano A 1 (x 1, y 1, z 1 ), A (x, y, z ) e A 3 (x 3, y 3, z 3 ) tre punti nello spazio. Se x 1 y 1 z 1 x y z x 3 y 3 z 3 =, allora i tre punti giacciono su di una medesima retta. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 3 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Punteggi: esercizio 1, 4 punti; esercizio, 4 punti; esercizio 3, punti.
NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. R. Sanchez - T. Traetta - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 1. Definire la nozione di matrice diagonalizzabile.. Siano V R uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, v V e W un sottospazio di V R. Dimostrare che esistono w W e w W, tali che v = w+w. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) 3. Si consideri l affermazione: Siano A 1 (x 1, y 1, z 1 ), A (x, y, z ) e A 3 (x 3, y 3, z 3 ) tre punti nello spazio. Se i tre punti giacciono su di una medesima retta, allora x 1 y 1 z 1 x y z x 3 y 3 z 3 =. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 3 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Punteggi: esercizio 1, 4 punti; esercizio, 4 punti; esercizio 3, punti.
NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. R. Sanchez - T. Traetta - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 3 1. Definire le nozioni di autovalore ed autovettore di una matrice quadrata.. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per uno spazio vettoriale euclideo. 3. Si consideri l affermazione: Si considerino le rette r e s dello spazio aventi equazioni cartesiane { ax + by + cz + d = a x + b y + c z + d = e { a x + b y + c z + d = a x + b y + c z + d =. Se il rango della matrice a b c a b c a b c a b c vale due, allora r ed s sono parallele. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 3 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Punteggi: esercizio 1, 4 punti; esercizio, 4 punti; esercizio 3, punti.
NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. R. Sanchez - T. Traetta - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 4 1. Definire le nozioni di autovalore e di autovettore di un endomorfismo di uno spazio vettoriale.. Siano V R uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, v V e W un sottospazio di V R. Sia, ancora, B = w 1, w,..., w r una base ortogonale di W. Dimostrare che il vettore w = v r i=1 v w i w i w i w i appartiene all ortogonale del sottospazio W. (Il puntino denota il prodotto scalare dello spazio vettoriale euclideo V R. Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) 3. Si consideri l affermazione: Si considerino le rette r e s dello spazio aventi equazioni cartesiane { ax + by + cz + d = a x + b y + c z + d = e { a x + b y + c z + d = a x + b y + c z + d =. Se le due rette hanno almeno un punto in comune, allora a b c d det a b c d a b c d. a b c d (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 3 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Punteggi: esercizio 1, 4 punti; esercizio, 4 punti; esercizio 3, punti.
Risposte agli esercizi 3. Tema 1. L affermazione è falsa. Per confutarla, consideriamo i tre punti A 1 (,, ), A (1,, ), A 3 (, 1, ). La retta per i primi due ha equazioni cartesiane y = z = ed A 3 non vi appartiene. Quindi essi non sono allineati e la matrice formata dalle loro coordinate 1 1 ha determinante uguale a zero. Tema. L affermazione è vera. I tre punti per ipotesi appartengono a una varietà lineare (x, y, z ) + (l, m, n) di dimensione uno. Ne segue che ciascuna delle terne (x i, y i, z i ), i = 1,, 3, è combinazione lineare di (x, y, z ) e (l, m, n), quindi appartiene al sottospazio W = (x, y, z ), (l, m, n) di R 3. Tale W ha dimensione non superiore a due. Tre vettori in uno spazio vettoriale di dimensione inferiore a tre sono necessariamente linearmente dipendenti; quindi le righe della matrice x 1 y 1 z 1 A = x y z x 3 y 3 z 3 sono linearmente dipendenti. Ne segue det A =. Tema 3. L affermazione è vera. La matrice assegnata è la matrice incompleta del sistema lineare omogeneo che individua l intersezione tra i due spazi direttori delle rette. Tale intersezione ha dimensione n r = 1 (n = 3 il numero delle incognite, r = il rango della matrice). I due spazi direttori, che hanno dimensione uno, hanno come intersezione un sottospazio di dimensione uno e ciò è possibile solo se sono uguali. Allora le due rette hanno lo stesso spazio direttore, il che implica per definizione che esse sono parallele.
Tema 4. L affermazione è falsa. Come controesempio si prendano r ed s uguali, di equazioni cartesiane x = y = (cioè entrambe coincidenti con l asse z). In questo caso specifico la matrice 4 4 assegnata è 1 1 1 1 che ha una colonna nulla e quindi ha determinante zero. Osservazione: In realtà si può provare addirittura che ogniqualvolta le rette hanno un punto in comune, quel determinante vale zero. Infatti, se fosse diverso da zero, il sistema per l intersezione delle due rette avrebbe matrice completa di rango quattro e matrice incompleta di rango minore o uguale a tre e quindi sarebbe incompatibile.
Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. R. Sanchez, T. Traetta, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 1 Tempo a disposizione: due ore e 3 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. È dato il seguente polinomio complesso, dipendente dal parametro complesso α: P (z) = α + (4 + 3i)z + z + z 3. (a) Determinare il valore di α tale che P ( 1) =. (b) Per tale valore di α, esprimere in forma algebrica le radici complesse di P (z).. È data la funzione lineare, dipendente dal parametro reale a: 1 f a : R 5 R 4 : x 6 6 3 4 1 1 1 x. 4 5 4 a (a) Al variare di a R, trovare una base di im f a. (b) Stabilire se per a = f a è iniettiva. (c) Stabilire se per a = f a è suriettiva. 3. È data la seguente matrice dipendente da un parametro reale a. 1 M a = a 5 a. 1 (a) Stabilire per quali valori di a la matrice M a è diagonalizzabile. (b) Stabilire per quali valori del parametro a la matrice M a è ortogonalmente diagonalizzabile. (c) Posto a =, determinare una matrice reale Q, quadrata d ordine tre, tale che Q T M Q sia diagonale. 4. Sono dati i punti P (1, 1, ), Q(1,, 1), R(,, ). Trovare delle equazioni cartesiane (a) della retta r 1 contenente P e parallela alla retta QR, (b) della retta r contenente P, ortogonale a QR e incidente (cioè avente un punto comune con) la stessa retta QR.
Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. R. Sanchez, T. Traetta, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA Tempo a disposizione: due ore e 3 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. È dato il seguente polinomio complesso, dipendente dal parametro complesso α: P (z) = α (4 + 3i)z + z z 3. (a) Determinare il valore di α tale che P (1) =. (b) Per tale valore di α, esprimere in forma algebrica le radici complesse di P (z).. È data la funzione lineare, dipendente dal parametro reale a: 6 6 3 4 f a : R 5 R 4 : x 1 1 1 1 x. 5 4 4 a (a) Al variare di a R, trovare una base di im f a. (b) Stabilire se per a = f a è iniettiva. (c) Stabilire se per a = f a è suriettiva. 3. È data la seguente matrice dipendente da un parametro reale a. 5 a a M a = 1. 1 (a) Stabilire per quali valori di a la matrice M a è diagonalizzabile. (b) Stabilire per quali valori del parametro a la matrice M a è ortogonalmente diagonalizzabile. (c) Posto a =, determinare una matrice reale Q, quadrata d ordine tre, tale che Q T M Q sia diagonale. 4. Sono dati i punti P (1,, 1), Q(, 1, 1), R(, 4, 4). Trovare delle equazioni cartesiane (a) della retta r 1 contenente P e parallela alla retta QR, (b) della retta r contenente P, ortogonale a QR e incidente (cioè avente un punto comune con) la stessa retta QR.
Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. R. Sanchez, T. Traetta, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 3 Tempo a disposizione: due ore e 3 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. È dato il seguente polinomio complesso, dipendente dal parametro complesso α: P (z) = α + (4 3i)z + z + z 3. (a) Determinare il valore di α tale che P ( 1) =. (b) Per tale valore di α, esprimere in forma algebrica le radici complesse di P (z).. È data la funzione lineare, dipendente dal parametro reale a: 1 f a : R 5 R 4 : x 4 4 1 1 1 x. 4 5 4 a (a) Al variare di a R, trovare una base di im f a. (b) Stabilire se per a = f a è iniettiva. (c) Stabilire se per a = f a è suriettiva. 3. È data la seguente matrice dipendente da un parametro reale a. 1 a M a = 5. a 1 (a) Stabilire per quali valori di a la matrice M a è diagonalizzabile. (b) Stabilire per quali valori del parametro a la matrice M a è ortogonalmente diagonalizzabile. (c) Posto a =, determinare una matrice reale Q, quadrata d ordine tre, tale che Q T M Q sia diagonale. 4. Sono dati i punti P (1, 1, ), Q(, 1, 1), R(,, ). Trovare delle equazioni cartesiane (a) della retta r 1 contenente P e parallela alla retta QR, (b) della retta r contenente P, ortogonale a QR e incidente (cioè avente un punto comune con) la stessa retta QR.
Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. R. Sanchez, T. Traetta, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 4 Tempo a disposizione: due ore e 3 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. È dato il seguente polinomio complesso, dipendente dal parametro complesso α: P (z) = α (4 3i)z + z z 3. (a) Determinare il valore di α tale che P (1) =. (b) Per tale valore di α, esprimere in forma algebrica le radici complesse di P (z).. È data la funzione lineare, dipendente dal parametro reale a: 6 6 3 4 f a : R 5 R 4 : x 4 4 1 1 1 x. 5 4 4 a (a) Al variare di a R, trovare una base di im f a. (b) Stabilire se per a = f a è iniettiva. (c) Stabilire se per a = f a è suriettiva. 3. È data la seguente matrice dipendente da un parametro reale a. 5 M a = a 1. a 1 (a) Stabilire per quali valori di a la matrice M a è diagonalizzabile. (b) Stabilire per quali valori del parametro a la matrice M a è ortogonalmente diagonalizzabile. (c) Posto a =, determinare una matrice reale Q, quadrata d ordine tre, tale che Q T M Q sia diagonale. 4. Sono dati i punti P (1,, 1), Q(1, 1, ), R(4, 4, ). Trovare delle equazioni cartesiane (a) della retta r 1 contenente P e parallela alla retta QR, (b) della retta r contenente P, ortogonale a QR e incidente (cioè avente un punto comune con) la stessa retta QR.
Svolgimento del tema n.4 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. 1. (a) Vale P (1) = α 4 + 3i, da cui α = 4 3i. (b) Il polinomio P (z) è divisibile per z 1 e vale P (z) = (z 1)( 4+3i z ). Risolviamo l equazione z = 4 + 3i sostituendo z = x + iy, x, y R. { x y = 4 xy = 3 { 4x 4 + 16x 9 = y = 3 x, da cui x = 1/ e infine x = ± 1, y = ± 3, z = ± 1 (1 + 3i). Le radici di P (z) sono pertanto z 1 = 1, z = 1 (1 + 3i), z 3 = 1 (1 + 3i).. (a) L immagine di f a è generata dalle colonne della matrice. Troviamo una sua base trasformando in matrice a scala 6 4 1 5 6 4 1 5 6 4 4 3 1 4 1 4 1 1 1 1 3 1 ; 3 3 a 4 3 1 5 3 3 + a portando in fondo la seconda e terza riga, moltiplicando per tre le altre due, 6 4 1 5 6 4 1 5 1 4 1 5 + 3a 1 1 1 3 9 + 3a 1 1 6 4 1 5 1 3 9 + 3a 4 a. Per a = 4 una base di im f a è ( 6, 4, 1, 5), (,, 1, ), (,, 3, 3), mentre per a 4 una base di im f a è ( 6, 4, 1, 5), (,, 1, ), (,, 3, 9 + 3a), (,,, 4 a). (b) Per a = vale dim im f a = 4 da cui per il teorema delle dimensioni dim ker f a = 5 4 = 1. Il nucleo non è il sottospazio nullo, pertanto f non è iniettiva. (c) Siccome dim im f = 4 si ha im f = R 4, quindi f è suriettiva. 3. (a) Il polinomio caratteristico è p(t) = (5 t)(t t 3) = (t 5)(t + 1)(t 3). La matrice M a ha quindi tre autovalori distinti per ogni a R e pertanto per ogni valore di a è diagonalizzabile.
(b) Una matrice reale è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica. Nel caso della matrice assegnata ciò vale precisamente per a =. (c) È sufficiente disporre in colonna una base ortonormale di autovettori di M. L autospazio E(5) relativo all autovalore 5 si ottiene dal sistema lineare omogeneo la cui matrice incompleta è M 5I 3 = 4, 4 da cui E(5) = (1,, ). Analogamente E( 1) ed E(3) si ottengono rispettivamente dalle matrici 4 e, da cui E( 1) = (, 1, 1) ed E(3) = (, 1, 1). Dividendo ciascuno dei tre autovettori trovati per il proprio modulo e disponendoli in colonne si ottiene 1 Q = 1/ 1/ 1/ 1/. 4. (a) Un vettore parallelo alla retta QR è QR(3, 5, ). La retta r1 ha pertanto equazioni cartesiane x 1 3 = y 5 = z 1 o anche { 5x + 3y 5 = z 1 =. (b) Il punto generico della retta QR è P t (1+3t, 1 5t, ), t R. Imponiamo che il vettore P P t (3t, 1 5t, 1) sia ortogonale alla retta QR uguagliando a zero il prodotto scalare per QR, ottenendo 3 3t 5 (1 5t)+ ( 1) = cioè 34t 5 =. Ne segue t = 5/34, sostituendo in P P t otteniamo 1 34 (15, 9, 34). Questo è un vettore parallelo alla retta cercata, che passa per P, e ciò implica che r ha equazioni x 1 15 = y 9 = z 1 34.