Istituzioni di Matematica II 203/204 Argomenti delle lezioni lezione. Mercoledí 5 marzo. 2 ore. Equazioni differenziali del primo ordine: integrale generale e problema di Cauchy. Esempi: integrale indefinito; equazioni a variabili separabili con metodo risolutivo; equazioni lineari con il metodo risolutivo del fattore integrante. Equazioni differenziali del secondo ordine: integrale generale e problema di Cauchy. Esempi. Il problema dell esistenza e dell unicitá delle soluzioni dei problemi di Cauchy e del loro dominio. Esercizi svolti a lezione o suggeriti per casa. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali a variabili separabili. Dopo aver risolto l equazione, si verifichi che le funzioni trovate sono effettivamente soluzioni.. y = x y = cos x y = x y = y y = y y = cos y y = y y = y x y = y x y = x y 2. Si dica se i seguenti problemi di Cauchy hanno soluzione e, in caso affermativo, si risolvano e si abbozzi il grafico delle soluzioni. { y { = cos x y = cos x bigg{ y = y { y = x y { y = y y() = 0 { y = x y y() = 0 { y = y { y = x y { y = y y() = 0 { y = x y y() = y() = 0 { y = x y y(2) = y(0) = { y = x y y(2) = 3. Tutte le equaioni differenziali dell esercizio precedente sono a variabili saparabili, cioé del tipo y = f(x)g(y). Si dica in quali casi il domonio delle soluzioni del problema di Cauchy dato coincide con il dominio di f(x).
2 4. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali y = cos x y = x y = y y = x y 5. Si trovino tutte le soluzioni dell equazione y = 0 che soddisfano la condizione Si trovino tutte le soluzioni dell equazione y = x che soddisfano la condizione y (0) = 6. Si risolvano i seguenti problemi di Cauchy { y = cos x y (0) = 0 { y = x y (0) = { y = y y() = y () = 0 { y = x y y (0) = { y = x y y() = 0 y () = 7. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali lineari utilizzando il metodo del fattore integrante y = y y = y y = y x y = y x y = y y = y + x ; y = (y )x y = y x + x 2 lezione. Martedí marzo. 2 ore. Si sono svolti i seguenti sercizi:. Si trovi l Integrale generale dell equazione differenziale y = x 2 y Si osservi che le soluzioni (che sono tutte le funzioni y(x) = ke x x 2 +arcsin x 2 con k R) hanno tutte lo stesso dominio [, ]. 2. Si trovi l ntegrale generale dell equazione differenziale y = x y 2 Si osservi che le soluzioni (che sono le due funzioni costanti y =, y = e le funzioni y(x) = sin(x 2 + k) ristretta a {x : x2 2 + k π 2 } = {x : π 2k x2 π 2k} con k R) hanno il dominio che dipende da k.
3 3. Si risolvano i seguenti problemi di Cauchy { y = x { y 2 y = x y 2 { y = x 2 y 04π y(0) = y( 3 ) = 3 2 3 2 { y = x y 2 y(0) = Si osservi che il primo ed il secondo problema hanno esattamente una soluzione, che nel primo caso é: y(x) = sin(x 2 + π 3 ) ristretta a {x : π 3 x π 3 } e nel secondo y(x) = sin(x 2 7π) ristretta a {x : 33π x 35π} Anche il terzo problema ha una sola soluzione, quella costante y = Altre soluzioni avrebbero la forma y(x) = sin(x 2 +k) ma da y(0) = sin(k) =, segue k = π 2 e da : π + π x 2 π π segue x = 0. e quindi la funzione y(x) = sin(x 2 + π 2 ) sarebbe soluzione in un solo punto x = 0. Per convincersi che y(x) = sin(x 2 + π 2 ) non é soluzione dell equazione differenziale in nessun intervallo ( ε, ε), si osservi che in un intorno di x = 0, y (x) = (sin(x 2 + π 2 )) e x hanno segno discorde, infatti y (x) = (sin(x 2 + π 2 )) = 2x cos(x 2 + π 2 ) { < 0 se x > 0 > 0 se x < 0 Ma se y(x) fosse soluzione y (x) = x y 2 (x), e x avrebbero lo stesso segno. Si dimostri che l ultimo problema ha due soluzioni. 3 lezione.mercoledí 2 marzo. 4 ore. Prima e seconda ora. Numeri complessi: forma algebrica, modulo e coniugato. Rappresentazione geometrica. Esercizi. Terza e quarta ora. Esempi di equazioni della cinetica chimica: reazioni del primo e del secondo ordine con una o due componenti. Esempi di equazioni della dinamica di popolazioni: l equazione di Malthus e l equazione logistica. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni omogenee. Osservazioni sulla struttura dell integrale generale, analogia con la struttura dell integrale indefinito. Uso della linearitá nella risoluzione dell equazione. L integrale generale dell omogenea nel caso dei coefficienti costanti, polinomio caratteristico. Metodo di somiglianza nella ricerca di una soluzione della equazione non omogenea, nel caso dei coefficienti costanti. Esercizi
4. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali usando la lineritá dell equazione, cioé i) si risolva prima l equazione omogenea associata, risolvendo l equazione caratteristica, ii) si trovi una soluzione della non omogenea utilizzando il metodo di somigliaza. y + y = x y 3y = cos x y πy = e 2x 2. Si risolvano le equazioni dell esercizio precedente utilizzando il metodo del fattore integrante. 4 lezione Martedí 8 marzo. 2 ore. Equazioni riconducibili a equazioni lineari: equazioni di Bernoulli y + a(x)y = f(x)y α con α 0,, metodo risolutivo. Equazioni riconducibili a equazioni a variabili separabili: equazioni omogenee di Manfredi y = f( y x ), metodo risolutivo. Esercizi.Si risolvano le seguenti equazioni differenziali di Bernoulli y + y = y 2 y 2xy = x y y + y x = x y 2. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali di Manfredi y + y x = x y y = x2 + y 2 xy 3. Si risolva la seguente equazione differenziale di Manfredi y = x + y x y Applicando l opportuna sostituzione z(x) = y(x) x Si osservi che deve essere z. z = x + z 2 z Dividendo i due membri per +z2 z e integrando z + z 2 dz z=z(x) = x dx si passa all equazione
5 si trova che le soluzioni z(x) soddisfano l equazione arctan z(x) log + z 2 (x) = log(cx) Non abbiamo gli strumenti elementari per ricavare z(x). Possiamo peró osservare che ricavare z(x) significa applicare ai due membri dell equazione la funzione G, inversa della funzione G, dove G(z) = arctan z log + z 2 Se dimostriamo che una tale inversa esiste, possiamo dire che z(x) = G (log(cx)). Non sempre é possiile scrivere esplicitamente G. Nei casi in cui non sia possibile farlo, dobbiamo accontentarci di dimostrare la sua esistenza. Dimostriamo che nel nostro caso G esiste. Per ogni z 0 la funzione G(z) é invertibile in un intorno di z 0, infatti G (z) = z + z 2 e quindi, se z 0 > esiste in intorno di z 0 in cui G é crescente e, se z 0 < esiste in intorno di z 0 in cui G é decrescente. In teoria possiamo quindi ricavare localmente z(x), che risulterá essere data da z(x) = G (log(cx)). Questi argomenti saranno resi piú precisi in seguito con lo studio delle funzioni definite implicitamente e del teorema di Dini. Le soluzioni dell equazione di partenza sono y(x) = xg (log(cx)). 4. Se possibile, si risolvano le equazioni differenziali degli esercizi e 2 utilizzando altri metodi. Equazioni lineari del secondo ordine: Equazione completa y + a(x)y + b(x)y = f(x) Equazione omogenea associata y + a(x)y + b(x)y = 0 Struttura dell integrale generale della completa. Struttura dell integrale generale dell omogenea. Struttura dell integrale generale dell omogenea nel caso dei coefficienti costanti: y + ay + by = 0
6 Polinomio ed equazione caratteristici. Formula dell integrale generale dell equazione omogenea nel caso in cui l equazione caratteristica abbia due soluzioni reali distine, una soluzione reale, due soluzioni complesse coniugate. Esercizi 5. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali lineari usando i metodi propri delle equazioni lineari. y = y y = y y = 0 y + y = 0 5 lezione. Mercoledí 9 marzo. 4 ore. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Significato geometrico delle operazioni di moltiplicazione, ed elevamento a potenza intera. Estrazione di radice con rappresentazione geometrica. Esercizi Forma trigonometrica di z = z = i z = i 2 Siano ρ e θ il modulo e l argomento di z, si trovino modulo e argomento di z, z, z 3 Si scriva la forma algebrica di z sapendo che il suo modulo é 4 e l argomento é π 3. 4 Si trovino e si rappresentino sul piano i i i 3 3 3 i 4 4 4 i 3 i 4 i 3 + i 4 + i 5 5 6 Polinomi in C. Teorema fondamentale dell algebra e Teorema di Ruffini. Fattorizzazione in R dei polinomi a coefficienti reali con dimostrazione (i polinomi a coefficienti reali si possono scrivere come prodotto di polinomi di primo grado a coefficienti reali e di polinomi di secondo grado a coefficienti reali, non fattorizzabili in polinomi di primo grado a coefficienti reali). Esercizi su equazioni di secondo grado Distanza in C. Limiti di successioni nel campo complesso. Serie numeriche nel campo complesso. Criterio di convergenza assoluta. Serie di potenze nel campo complesso e loro insieme di convergenza. La serie esponenziale. Forma di Eulero dei numeri coplessi. Interpretazione della formula dell integrale generale delle equazioni differenziali lineari di ordine due, a coefficienti costanti, nel caso in cui il polinomio caratteristico non abbia radici reali.
6 lezione. Martedí 25 marzo. 2 ore. I vettori nel piano e nello spazio (lunghezza, direzioe e verso), somma di due vettori con la regola del parallelogramma, dilatazioni, contrazioni e inversioni di vettori. Proprietá di queste operazioni. Definizione di spazio vettoriale su un campo numerico. Esempi di spazi vettoriali su R: R, C, R 2, R 3, R n, C(I), C (I), P (x), P n (x) dove C(I) é l insieme delle funzioni continue, definite nell intervallo I, C (I) é l insieme delle funzioni derivabili, con derivata continua, definite nell intervallo I, P (x) é l insieme dei polinomi, P n (x) é l insieme dei polinomi di grado minore o uguale ad n. Combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti, sottospazi vettoriali, sottospazi generati da n vettori, insiemi di generatori, base. Teorema. allora Se uno spazio vettoriale V ha una base costituita da n vettori, i) ogni altra base é costituita da n vettori; ii) n + vettori sono sempre linearmente dipendenti; iii) n vettori generano un sottospazio proprio. iv) n vettori linearmente indipendenti sono una base. v) un insieme di generatori di V con n elementi é una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esercizi. Sia V = R 2. Siano v = (, 2), v 2 = (, ), v 3 = (3, 0) α, β, γ R 7 i) Si scriva il vettore v = α v + β v 2 + γ v 3 Si scriva v nei casi in cui α =, β = 2, γ = 3 α =, β = 2, γ = 3 ii) Si dica, usando solo la definizione, se i tre vettori v, v 2 e v 3 sono linearmente indipendenti.
8 iii) Si trovino tutte le terne di numeri reali α, β, γ per cui α v + β v 2 + γ v 3 = 0.. iv) si dimostri che i due vettori (, 0) e (0, ) sono linearmente indipendenti. v) si dimostri che i due vettori (, 2) e (, ) sono linearmente indipendenti. v) si dimostri che i due vettori (, 2) e (3, 0) sono linearmente indipendenti. 2 Sia V = P (x). Si dimostri che i vettori, x, x 2, x 3 sono linearmente indipendenti. 3 Si trovino tutti i sottospazi di R 2 e li si disegnino. Si diano esempi di sottoinsiemi di R 2 che non sono sottospazi. 4 Si trovino tutti i sottospazi di R 3. 5 Si diano esempi di sottoinsiemi di R 3 che non sono sottospazi. 7 lezione. Mercoledí 26 marzo. 4 ore. Prima e seconda ora. Condizione equivalente alla dipendenza lineare. Vettori paralleli. Esercizio su cambiamento di base. Si trovino α e β tali che (3, 4) = α(, ) + β(, ) Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Nucleo e immagine. Terza e quarta ora. Teorema di esistenza ed unicitá in grande (senza dimostrazione). Siano a : I R, b : I R, f : I R. funzioni continue. Allora per ogni x 0 I, y 0 R e y R, il problema i Cauchy { y + a(x)y + b(x)y = f(x) y(x 0 ) = y 0 y (0) = y ammette esattamente una soluzione. Il dominio di questa soluzione é I. Teorema (con dimostrazione). L insieme delle soluzioni di un equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine é uno spazio vettoriale di dimensione 2. Da questo teorema segue che per trovare tutte le soluzioni di un equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine é sufficiente trovarne due linearmente indipendenti.
Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee nel caso dei coefficiento costanti. Cenni sulle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficiento costanti di ordine superiore al secondo. Esercizi Si risolvano le seguenti equazioni differenziali y 4y = 0 y 0y + 25y = 0 y 6y + 0y = 0 9 2 Si risolvano i seguenti problemi di Cauchy { y 4y = 0 y(0) = 0 y (0) = 0 { y 4y = 0 y (0) = 0 { y 4y = 0 y(0) = 0 y (0) =. { y 4y = 0 y() = y () = 0. { y 0y + 25y = 0 y(0) = 0 y (0) = 0 { y 0y + 25y = 0 y (0) = 0 { y 0y + 25y = 0 y(0) = 0 y (0) =. { y 0y + 25y = 0 y() = y () = 0. { y 6y + 0y = 0 y(0) = 0 y (0) = 0 { y 6y + 0y = 0 y (0) = 0 { y 6y + 0y = 0 y(0) = 0 y (0) =. { y 6y + 0y = 0 y() = y () = 0. Equazioni differenziali lineare del secondo ordine non omogenee; struttura dell integrale generale. Caso dei coefficienti costanti: il metodo di somiglianza. Esercizi Si risolvano le seguenti equazioni differenziali y 3y + 2y = e 3x y 3y + 2y = e 2x y 4y + 4y = e 2x y 3y + 2y = x 2 + y 3y = x 2 + y = x 2 + y 3y + 2y = cos x y + = cos x y + y = cos 2x 8 lezione. Martedí aprile. 2 ore. Teorema (con dimosrazione) Se { v,...v n } é una base di V, allora per ogni v V esiste una solo n-upla di numeri α,..., α n, tale che v = α v +.. + α n v n. Esercizi su insiemi di generatori, basi e cambiamenti di base in R,R 2, R 3 e P n (x). 3 Si dimostri che i polinomi, (x ), (x ) 2 sono una base di P 2 (x) e si scriva il polinomio a 0 + a x + a 2 x 2 come combinazione lineare di, (x ), (x ) 2. Si scriva il polinomio + x 2 come combinazione lineare di, (x ), (x ) 2.
0 Applicazioni lineari, la somma e la composizione di applicazioni lineari sono a loro volta applicazioni lineari. Esempi in spazi di dimensione finita. Esempi di applicazioni lineari tra spazi che non hanno dimensione finita: la derivazione e l integrale definito. Teorema (con dimosrazione) Siano V e W due spazi vettoriali. Sia dimv = n e {v,...v n } una base di V, sia L : V W lineare, allora ImL =< L(v ),...L(v n ) >. Esercizi Verificare che le seguenti applicazioni sono lineari e trovarne, al variare dei parametri a, b, c, d, immagine e nucleo e disegnarli. Fissato a R sia L : R R cosí definita L(x) = ax 2 Fissati a, b R sia L : R 2 R cosí definita L(x, y) = ax + by 3 Fissati a, b R sia L : R R 2 cosí definita L(x) = (ax, bx) 4 Fissati a, b, c, d R sia L : R 2 R 2 cosí definita L(x, y) = (ax+by, cx+dy) 5 Verificare che la seguente applicazionie L : C (I) C(I) cosí definita L(y(x)) = y (x), é lineare e trovarne immagine e nucleo. 6 Verificare che le seguenti applicazioni f : R R se a 0 se b 0 f(x)) = ax 2 ; f(x) = ax + b f(x) = e x f(x) = log(x) f(x) = x non sono lineari. 7 Si dica che cosa rappresentano le costanti a, b, c, d nei primi quattro esercizi. 8 Si dimostri che tutte le applicazioni lineari L : R R hanno la forma L(x) = ax L : R 2 R hanno la forma L(x, y) = ax + by L : R R 2 hanno la forma L(x, y) = (ax, bx) L : R 2 R 2 channo la forma L(x, y) = (ax + by, cx + dy) Teorema (senza dimostrazione) Siano V e W due spazi vettoriali e sia V di dimensione finita, Sia L : V W una applicazione lineare, allora dim ImL + dim KerL = dim V Equazioni lineari, esistenza e numero delle soluzioni, struttura dell insieme della soluzioni. Esercizio Si verifichi il teorema nelle applicazioni lineari degli esercizi, 2, 3, 4. 9 lezione. Mercoledí 2 aprile. 3 ore.
Matrici a m righe e n colonne, addizione e moltiplicazione per uno scalare. matrice trasposta. Teorema(con dimostrazione) L insieme M nxm delle matrici a m righe e n colonne é uno spazio vettorialre di dimensione mn. Moltiplicazione tra matrici e sue proprietá. Lo spazio delle matrici quadrate di dimensione n: la matrice identitá, il determinante. Teorema Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. Osservazioni Date le applicazioni lineari L : R n R m L 2 : R n R m e le matrici a m righe e n colonne A e A 2. Se A rappresenta L e A 2 rappresenta L 2, allora A + A 2 rappresenta L + L 2 2 Date le applicazioni lineari L : R n R m L 2 : R m R q e le matrici A, a m righe e n colonne, e A 2 a q righe e m colonne. Se A rappresenta L e A 2 rappresenta L 2, allora la matrice A 2 A a q righe e n colonne, rappresenta l applicazione lineare L 2 L : R n R q Esercizi Fissate in R, R 2 le basi canoniche, si scrivano le matrici che rappresentano le applicazioni lineari degli esercizi, 2, 3, 4. di Martedí aprile. La Esercizio su equazioni differenziali y 4y + 3y = xe x Si risolva ls seguente equazione differenziale Martedí 8 aprile. Non c é stata lezione per assenza degli studenti. Due ore di ricevimento studenti. 0 lezione. Mercoledí 8 aprile. 3 ore La matrice identitá e le sue proprietá. La matrice inversa. Esercizi: Si verifichi, usando la definizione, che la matrice ( ) 2 2 4 non é invertibile e che la matrice ( ) 2 3 4 é invertibile. Proprietá del determinante. Teorema: Le colonne (le righe) di una matrice A sono linearmente indipendenti se e solo se A 0.
2 Rango di una matrice. Esercizi Si calcoli il rango elle seguenti matrici: ( ) ( ) 2 3 2 3 2 4 5 2 4 6 2 2 4 2 2 4 5 6 6 2 2 3 2 4 5 5 6 0 2 3 2 4 5 5 0 3 2 3 2 4 6 6 2 8 Teorema sulla caratterizzazione delle matrici invertibili. La matrice inversa. Teorema di Binet. Esercizi. Si dica se le seguenti matrici sono invertibili e, in caso affermativo, si scriva la loro matrice inversa. 2 3 ( ) 2 4 5 2 3 4 5 6 0 Si verifichi che la matrice trovata é effettivamente la matrice inversa. 2. Data la matrice e il vettore colonna si dimostri che se A é invertibile A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 v = b b 2 b 3 A v = A B B 2 B 3. dove B = b a 2 a 3 b 2 a 22 a 23 B 2 = a b a 3 a 2 b 2 a 23 B 3 = a a 2 b a 2 a 22 b 2 b 3 a 32 a 33 a 3 b 3 a 33 a 3 b 3 a 33
Sistemi lineari di n equazioni in n incognite a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a n x + a n2 x 2 +... + a n x n = b n Soluzioni, risolvere. Interpretazione del sistema come equazione linesre dove L : R n R n é cosí definita L(x, x 2,..., x n ) = (b.b 2,..., b n ) L(x, x 2,.., x n )) = (a x +a 2 x 2 +...+a n x n, a 2 x +a 22 x 2 +...+a 2n x n,..., a n x +a n2 x 2 +...+a nn x n ) Per il teorema di rappresentazione, fissata in R n la base canonica, l equazione diventa l equazione matriciale a a 2... a n x b a 2 a 22.... a 2n x 2,..... = b 2... a n a n2... a n ) x n ) b n ) Teorema. Teorema di Cramer con dimostrazione. Esercizio su equazioni differenziali Si risolva la seguente equazione differenziale y + 9y = sin x + e 2x 3 Soluzione L equazione é ii lineare, non omogenea. L integrale generale dell equazione omogenea associata y + 9y = 0 é y(x) = c cos(3x) + c 2 sin(3x) Il termine noto non ha la forma e αx (P (x) cos(βx) + P 2 (x) sin(βx)) e non si puó quindi utilizzare il metodo di somiglianza per trovare una soluzione dell equazione completa. Il termine noto é peró la somma dei due termini sin x e e 2x di questa tipo. Per la linearitá di L(y) = y + 9y, se y (x) é soluzione di L(y) = sin x e y 2 (x) é soluzione di L(y) = e 2x, allora y (x) + y 2 é soluzione di L(y) = sin x + e 2x. Si cercano perció, utilizzando il metodo di somiglianza, una soluzione di e una di y + 9y = sin x y + 9y = e 2x
4 Due soluzioni sono y (x) = 8 sin x e y 2(x) = 5 e2x. L integrale generale dell equazione completa é y(x) = 8 sin x + 5 e2x + c cos(3x) + c 2 sin(3x) lezione. Martedí 5 aprile. 2 ore. Esercizio in cui utilizzare il teorema di Cramer Si risolva il seguente sistema lineare. x + 2y + 3z = 6 2x y + z = 2 3x + 8y + 0z = 20 Teorema di Rouché Capelli con dimostrazione. Esercizi in cui utilizzare il teorema di Rouché Capelli Si dica se i seguenti sistemi lineari ammettono soluzioni. In caso affermativo si dica quante soluzioni ammettono e li si risolvano. x + 2y z = 0 x y + z = x y t = 0 x + y + 2z = x + 2z = 2 2x + y + 2z t = 2y z = y + 2z = x + 2y z t = x y z = 0 Si osservi che se, come nel seguente esercizio, si puó applicare il teorema di Cramer, questo coincide con il teorema di Rouché Capelli. Esercizio x + 2y z = 0 x + y + 2z = 5 2y z = 0 Sistemi omogenei. Condizioni necessaria e sufficiente perché un sistema omogeneo di n equazioni in n incognite abbia soluzioni non banali. Esempi di applicazioni lineari di R 2 in R 2 e loro significato geometrico ( 3 ) 0 0 3 agisce su ogni vettore come la moltiplicazione per lo scalare 3. 2 ( 3 ) 0 0 2 manda il vettore (x, y) nel vettore (3x, 2y). Sui vettori dell asse x agisce come la moltiplicazione per lo scalare 3. Sui vettori dell asse y agisce come la moltiplicazione per lo scalare 2.
5 3 ( 0 ) 0 rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Sui vettori di questa retta agisce come l identitá, ossia come la moltiplicazione per lo scalare. Sui vettori della bisettrice del secondo e del quarto quadrante agisce come il passaggio all opposto, ossia come la moltiplicazione per lo scalare. 4 ( cos(θ) ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) agisce come la rotazione di un angolo θ. Se θ = 0 agisce su tutti i vettori come la moltiplicazione per lo scalare. Se θ = π agisce su tutti i vettori come la moltiplicazione per lo scalare. Definizione di autovalore e autovettore. Caratterizzazione degli autovalori. Autovettori e autospazio associati ad un autovalore. 2 lezione. Mercoledí 6 aprile. 3 ore. Esercizio su sistemi lineari Si discuta al variare del parametro reale k, esistenza e numero delle soluzioni del sistema, e, nel caso esistano, si trovino tutte le soluzioni. kx + kz = k ky + 2z = 2k x + ky + kz = k Suggerimento sullo svolgimento i) Si calcoli il determinante della matrice dei coefficienti A = k 0 k 0 k 2 k k A = k 2 (k 3) Se k 0 e k 3, allora A = 0 e si puó applicare il Teorema di Cramer e ottenere l unica soluzione del sistema. Se k = 0, il sistema é omogeneo e quindi ha soluzioni, perhé la caratteristica della matrice A = 0 0 0 0 0 2 C = 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 sono uguali. La caratteristica di A é 2 infatti A = 0 e det 0 = 2, ci sono quindi 2 0 3 2 soluzioni, che si trovano risolvendo il sistema
6 { 2z = 0 x = 0 Questo sistema impone che x = 0, z = 0 e non da condizioni su y, perió le soluzioni sono (x = 0, y, z = 0) = y(0,, 0), con y R. L insieme delle soluzioni é lo spazio vettoriale < (0,, 0) > Se k = 3, la caratteristica di A é minore di 3, mentre la caratterisitica di C é 3, e quindi il sistema non ammette soluzioni. Esercizio sulla ricerca di autovalori e autovettori Per ognuna della seguenti matrici, di dica i) se ammette autovalori, in caso affermativo, ii) si calcolino e si trovi la loro moltepliitá algebrica, iii) si trovi l autospazio associato ad ogni autovalore e se ne calcoli la dimensione, iv) si dica se esiste una base di R 2 fatta di autovettori della matrice considerata. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 3 3 0 0 0 3 0 3 0 2 0 ( ) α β β α con α R e β R, tali che α 2 + β 2 =, Si discutano separatamente i tre casi (α 0, β 0), (α = 0, β 2 = ) e (α 2 =, β = 0). Matrice del cambiamento di base. Come si trasforma una matrice che rappresenta una applicazione lineare se si cambiano le basi. Autovalori regolari. Matrici diagonalizzabili. Teorema sulla diagonalizzabilitá delle matrici simmetriche. Esercizi Si scriva la matrice del cambiamento di base nel caso la prima base di R 2 sia {i, j} e la seconda sia {(, ), (, )}. Si trovino α e β tali che (3, 4) = α(, ) + β(, ) 2 Si dimostri che la matrice (0 ) 0 é diagonalizzabile. Si scriva la matrice diagonale equivalente e, indicatala con Λ, si verifichi Λ = S AS dove S é la matrice del cambiamento di base nel caso che la prima base sia {i, j, } e la seconda sia costituita da autovettori
7 3 Si dimostri che la matrice 0 3 0 0 3 0 é diagonalizzabile. Si scriva la matrice diagonale equivalente e, indicatala con Λ, si verifichi Λ = S AS dove S é la matrice del cambiamento di base nel caso che la prima base sia {i, j, k} e la seconda sia costituita da autovettori 4 Si dimostri che la matrice (3 ) 0 3 non é diagonalizzabile.. Il metodo della variazion delle costanti. Esercizi Si risolvano le seguenti equazioni differenziali y + y = cos x y + 2y + y = e x log x