GEOMETRIA 9 settembre 29 2 ore Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in Stampatello negli appositi spazi. Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina. La risposta ai quiz vale 2.5 punti se esatta, se errata o assente. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. Cognome, Nome: Matricola: Docente: Q1 a b c d e Q4 a b c d e Q2 a b c d e Q5 a b c d e Q3 a b c d e Q6 a b c d e Non scrivere in questo spazio I II
Prima Parte (Quiz) Q1. Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento Oxyz siano date le quadriche Q h rispettivamente di equazione x 2 + 2y 2 + hz 2 = h 2 con h R. (a) Q h è un ellissoide per ogni h R. (b) Esiste h R tale che Q h sia costituito dai punti della retta x = = y. (c) Q h contiene un piano per almeno un h R. (d) Q h è un paraboloide per ogni h R. (e) Non esistono h R tale che Q h contenga rette. 2 2 1 Q2. Siano date la matrice simmetrica A = 2 1 2 1 2 2 e la forma quadratica associata q(x, y, z) = ( x y z ) x A y. z (a) q(2x, 2y, 2z) = 2q(x, y, z) per ogni (x, y, z) R 3. (b) è autovalore di A. (c) q(x, y, z) > per ogni (x, y, z) R 3 non nullo. (d) Il polinomio caratteristico di A è multiplo di t 2 + 187. (e) Esiste (x, y, z) R 3 non nullo tale che q(x, y, z) <. Q3. Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento Oxyz siano dati i tre punti A = (1, 1, 1), B = (2, 2, ) e C = (2,, 2). (a) I vettori AB e BC sono perpendicolari. (b) Il triangolo di vertici A, B, C è isoscele. (c) Il triangolo di vertici A, B, C è equilatero. (d) Il triangolo di vertici A, B, C è scaleno. (e) I punti A, B e C sono allineati. 2
Q4. Si considerino il vettore riga M = ( 1 2 1 ) R 1,4 e il vettore colonna trasposto t M. (a) det( t M M). (b) M( t M )M = M. (c) det( t M M) =. (d) t M M = M t M. (e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera. Q5. Siano dati ( ) 2 π 1 1 A =, v 1 π 2 1 =, v 2 = 1, v 3 =. 1 Si considerino i vettori w 1 = Av 1, w 2 = Av 2, w 3 = Av 3 in R 2,1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) w 1, w 2, w 3 sono linearmente indipendenti. (b) Per qualche w R 2,1 i vettori w, w 1, w 2 sono linearmente indipendenti. (c) w 2 è combinazione lineare di w 1 e w 3. (d) Uno dei vettori w 1, w 2, w 3 è nullo. (e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera. Q6. Siano A R 4,4, B R 4,1 e supponiamo che il sistema AX = B sia incompatibile. (a) Il rango di A è minore di 4. (b) Il rango di A è maggiore di 4. (c) Il sistema AX = è incompatibile. (d) Il rango di A è 4. (e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera. 3
Seconda Parte (Esercizi) Esercizio 1. (i) Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento Oxyz siano date le rette r ed s rispettivamente di equazioni r : { ax + by + cz = fx + gy + hz =, s : { a x + b y + c z = f x + g y + h z =. Determinare una condizione necessaria e sufficiente sul rango della matrice affinché r e s siano coincidenti. A = a b c f g h a b c f g h Siano date le rette r ed s k, k R, rispettivamente di equazioni r : { x y + z = 2x + 2y + z =, s k : { x + y + z = 1 kx + y + 2z =. (ii) Determinare i valori di k R per cui le rette r e s k sono sghembe. { x + y + z = 1 (iii) Determinare le coordinate del punto di intersezione fra r e s 3 : 3x + y + 2z =. (iv) Calcolare l equazione del piano α contenente r e s 3. Svolgimento dell esercizio 1: 4
Esercizio 2. (i) Sia P R n,n. Spiegare cosa significa che P è invertibile. Sia data l applicazione lineare f: R 3 R 3 definita da f(a, b, c) = (a + b, 2b, a + b + 2c). (ii) Determinare la matrice A R 3,3 di f. (iii) Verificare che A è invertibile. (iv) Determinare gli autovalori di A. (v) Determinare gli autospazi di A. (vi) Determinare D, P R 3,3, con D diagonale e P invertibile, tali che P 1 AP = D. Svolgimento dell esercizio 2: 5
Esercizio 3. Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento Oxyz sia data la conica C d equazione 2x 2 + 2 3xy = 3. (i) Determinare se la conica C è un ellisse, un iperbole, una parabola oppure è degenere. (ii) Determinare una rotazione (o le equazioni di una rotazione) che riduca l equazione di C nella forma ux 2 + vy 2 = 1, determinando anche i numeri u, v. (iii) Disegnare C nel sistema di riferimento Oxy. Svolgimento dell esercizio 3: 6