SOLUZIONE della Prova TIPO E per: Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti): 6 dei 10 esercizi numerici (nell effettiva prova d esame verranno selezionati a priori dal docente) + domande a risposta multipla (v. ultime due pagine) Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (6 crediti) / CONTROLLI AUTOMATICI : tutti i 10 esercizi numerici (escluse le domande a risposta multipla nelle ultime 2 pagine) ESERCIZIO 1. Si consideri un sistema per il riempimento automatizzato di un serbatoio, caratterizzato da una valvola proporzionale azionata da un motore elettrico a corrente continua, secondo lo schema mostrato in figura: (Figura adattata da Modern Control Systems di R. Dorf R. Bishop, Pearson International Ed.) Considerando trascurabili l induttanza nel motore e l attrito meccanico all albero del gruppo motore/valvola, il modello matematico del sistema è costituito dalle seguenti equazioni: Si determini il corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati, del tipo:
fissando le seguenti scelte per stato, ingresso e uscita: Occorre: sostituire la notazione delle variabili di stato, ingresso e uscita ricavare dalla prima equazione l espressione di I a e sostituirla nella seconda equazione notare che la derivata della seconda variabile di stato corrisponde alla terza variabile di stato: Si ottengono così le seguenti tre equazioni differenziali del primo ordine, per ciascuna derivata di una singola variabile di stato: Da queste equazioni si ottiene direttamente la forma delle matrici A e B: Le matrici C e D si ottengono in modo immediato dall espressione dell uscita y=h=x 1 : poiché tale uscita non dipende dall ingresso D = 0 (sistema puramente dinamico) e la matrice di dimensione 1x3 che estrae la prima variabile dal vettore di stato è: ESERCIZIO 2. Dato il modello ottenuto nell Esercizio 1, si sostituiscano i seguenti valori per i parametri fisici:
P = 0,5; K i = 1; K o = 0,5; J = 0,25; R a = 8; K m = 2; K v = 20; e si verifichi se il sistema sia o meno completamente controllabile, calcolando la matrice di raggiungibilità ed il relativo rango. Le matrici del sistema diventano: Pertanto: rango(p) = 3 Perciò il sistema E / NON E completamente controllabile. ESERCIZIO 3. Per il sistema con i valori numerici indicati nell Esercizio 2, si progetti una retroazione stato-ingresso (i.e. u = H x + v ), in modo tale che: gli autovalori assegnabili del sistema chiuso in retroazione siano tutti reali e distinti; il più lento di tali autovalori abbia tempo di assestamento (al 5%) di 1 secondo e gli altri assegnabili abbiano valori assoluti progressivi di una unità (es. -3, -4, ecc.). Poiché il sistema è completamente controllabile (v. Esercizio 2) è possibile assegnare arbitrariamente tutti e tre gli autovalori del sistema chiuso in retroazione con una retroazione stato-ingresso. Gli autovalori desiderati sono determinali dalle specifiche dell esercizio ricordando che il tempo di assestamento al 5% del modo corrispondente ad un autovalore reale è:
Pertanto, per avere T a = 1, l autovalore più lento deve essere pari a λ 1 = -3, mentre gli altri, scelti progressivamente più negativi devono essere: λ 2 = -4, λ 3 = -5. Con tale scelta, il polinomio caratteristico desiderato per il sistema chiuso in retroazione deve essere: La matrice H del controllore deve essere di dimensione 1x3, cioè H = [h 1 h 2 h 3 ], pertanto la matrice del sistema chiuso in retrazione con i coefficienti incogniti di H risulta: Di conseguenza, il polinomio caratteristico del sistema chiuso in retroazione risulta: Uguagliando tra loro i coefficienti dei termini di pari grado nel polinomio caratteristico desiderato e nel polinomio caratteristico del sistema chiuso in retroazione si ottengono i 3 vincoli per determinare i 3 coefficienti incogniti di H: la cui soluzione finale è: H = [ -3/5-9/5-9/20 ]
ESERCIZIO 4. Un sistema costituito dal circuito elettronico del tipo mostrato a fianco risulta avere il seguente modello nello spazio degli stati: con: Si determini la funzione di trasferimento del sistema considerato. Ricordando che la funzione di trasferimento è legata alle matrici del sistema dalla formula: risulta: G(s) = C (si - A) -1 B G(s) = 4 / [ (s+2) (s+3) ] = 4 / (s 2 + 5 s + 6) ESERCIZIO 5. Si determini la trasformata di Laplace del seguente segnale nel dominio del tempo f(t): 1.5 1 0.5 0 t -0.5-1 -1.5 0 1 2 3 4
F(s) = e -s ( 1/s 2 ) e -2s ( 1/s + 1/s 2 ) + e -3s ( 1/s 2 1/s) e -4s ( 1/s 2 ) ESERCIZIO 6. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: + - si disegni il corrispondente luogo delle radici valido per K > 0 (luogo diretto). Im 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 2 O 1 O 2 3 Re 4 5
ESERCIZIO 7. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si determinino i valori di K e a tali che il sistema ad anello chiuso risulti avere una coppia di poli complessi e coniugati in p 1,2 = -1 ± j 2 Il denominatore del sistema ad anello chiuso risulta: s 2 + (K + 3) s + K a. Imporre che il sistema ad anello chiuso abbia i poli p 1,2 = -1 ± j 2 significa imporre che: s 2 + (K + 3) s + K a = s 2 + 2 s + 5 Risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite (K e a) ottenuto uguagliando uguagliando due termini costanti e i due coefficienti dei termini di primo grado, si ottiene il risultato finale: K = -1 a = -5 ESERCIZIO 8. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si determini l intervallo di valori di K tali per cui il sistema ad anello chiuso risulti essere ASINTOTICAMENTE STABILE.
Una volta ridotto l anello di retroazione, il denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso risulta: Applicando il criterio di Routh a tale polinomio, risulta che per avere poli a parte reale negativa (asintotica stabilità) è necessario che sia: 1/4 < K < 0 ESERCIZIO 9. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si calcoli il valore di p tale per cui risulti quando all ingresso u(t) è applicato un gradino unitario, cioè: Il testo richiede di fatto di determinare la condizione necessaria per avere errore a regime nullo con ingresso a gradino unitario. Tale condizione corrisponde alla presenza di un polo nell origine nella funzione di trasferimento d anello (sistema di tipo 1 ), che può essere ottenuta solamente fissando: p = 0 ESERCIZIO 10. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze:
si determinino i coefficienti della corrispondente funzione di trasferimento supponendo che sia a fase minima: K = 10-1 p = 0 = 10-2 = 10-4
TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. Un sistema singolo ingresso / singola uscita, descritto dal modello matematico è semplicemente stabile ha una funzione di trasferimento con un polo nullo Ο ha una funzione di trasferimento con un polo a modulo unitario è puramente dinamico NOTA: Riconducendo il modello indicato a quello di un generico modello nello spazio degli stati, si può notare come le matrici (di dimensione 1x1) del sistema siano A=0, B=1,C=1 e D=0. Pertanto, il sistema è puramente dinamico, ha un unico autovalore il cui valore è nullo, perciò è semplicemente stabile. La corrispondente funzione di trasferimento è G(s) = C(sI-A) -1 B = 1/s, che ha appunto un polo nullo. DOMANDA 2. Un sistema dinamico lineare e stazionario, completamente osservabile, è instabile. Gli osservatori identità progettati per tale sistema sono: Ο Instabili asintoticamente stabili sistemi lineari e stazionari Ο sistemi lineari e non stazionari NOTA: Un osservatore per un sistema lineare e stazionario è ovviamente a sua volta un sistema lineare e stazionario. L obiettivo di tale osservatore è di avere errore di stima, cioè la differenza tra lo stato stimato e lo stato del sistema sotto osservazione, tendente a zero asintoticamente, condizione che indica la stabilità asintotica dell osservatore stesso. Ciò può (e deve) essere garantito dal progetto dell osservatore, anche se quest ultimo effettua la stima dello stato di un sistema instabile. Lo stato del sistema instabile tende all infinito, così come lo stato stimato da un suo osservatore, ma l errore di stima di quest ultimo tende a zero. DOMANDA 3. La retroazione uscita-ingresso di un sistema dinamico lineare e stazionario di ordine n, consente di assegnare arbitrariamente tutti gli autovalori del sistema: Ο sempre Ο quando il sistema è completamente controllabile e completamente osservabile Ο quando gli autovalori da assegnare sono tutti distinti quando il sistema è completamente controllabile e la matrice di distribuzione delle uscite è C = I nxn NOTA: si ricordi che la retroazione uscita-ingresso influisce sugli autovalori della parte raggiungibile e osservabile (in questo caso il sistema completo), ma in generale NON in modo arbitrario su tutti. L assegnazione arbitraria si può ottenere solo con la retroazione stato-ingresso su sistemi completamente raggiungibili, che di fatto coincide con la condizione descritta dalla quarta risposta (il vettore di uscita y coincide con il vettore di stato x, perciò la retroazione uscita-ingresso è in realtà una retroazione stato-ingresso).
DOMANDA 4. Il sistema lineare e stazionario la cui funzione di trasferimento G(s) ha tutti i poli posizionati sull asse immaginario, ciascuno avente molteplicità unitaria: Ο è instabile Ο è asintoticamente stabile è semplicemente stabile Ο dipende dal posizionamento degli zeri DOMANDA 5. La funzione di trasferimento G(s) di un sistema asintoticamente stabile: Ο può avere poli a parte reale positiva può avere zeri a parte reale positiva Ο è certamente a fase minima Ο può avere poli puramente immaginari DOMANDA 6. La funzione di trasferimento di un sistema SISO puramente dinamico, descritto da un modello nello spazio degli stati completamente controllabile e completamente osservabile con n autovalori distinti, è il rapporto di due polinomi in cui: Ο Ο il grado del denominatore è uguale a n il grado del denominatore può essere minore di n il grado del numeratore è uguale a n il grado del numeratore è minore di n NOTA: se gli autovalori sono distinti, il polinomio caratteristico (di grado uguale a n) coincide con il polinomio minimo e, poiché il sistema è completamente controllabile e osservabile, con il denominatore della funzione di trasferimento. Essendo il sistema puramente dinamico, il grado del numeratore deve essere strettamente minore di n. DOMANDA 7. La risposta impulsiva del sistema avente la seguente funzione di trasferimento: Ο è limitata, ma non tende a zero per Ο è limitata e tende a zero per tende a per Ο può tendere a in un intervallo di tempo limitato NOTA: Avendo due poli nell origine la funzione di trasferimento è instabile, pertanto la sua risposta impulsiva tende ad infinito per il tempo che tende all infinito. DOMANDA 8. Si vuole progettare un controllo in retroazione per il sistema avente funzione di trasferimento:
in modo da ottenere errore a regime nullo per ingressi a rampa. Il controllore per tale sistema: Ο Ο può essere un regolatore PI può essere un regolatore PD deve avere almeno due poli nell origine deve avere almeno un polo nell origine NOTA: Per avere errore a regime nullo con ingressi a rampa, in un sistema in retroazione, è necessario che la funzione di trasferimento di anello abbia almeno due poli nell origine. Tale funzione di trasferimento di anello sarà il prodotto di quella indicata nella domanda per quella del controllore. La prima ha già un polo nell origine, perciò affinchè la funzione di trasferimento di anello ne abbia almeno due, il controllore deve aver almeno uno. Ovviamente un controllore PI (Proporzionale-Integrale) ha appunto un polo nell origine.