Anno accademico 2015-16 Corso di laurea in ECONOMIA E COMMERCIO (CLEC) Corso di STATISTICA (A-K) - (Prof. M. Gherghi ) Qualche esercizio di riepilogo Esercizio 1 Nella tabella seguente vengono riportati i dati relativi ai matrimoni contratti in Italia nel 2008, con indicazione dell Età e del Genere. Si determini, per ciascuno dei due generi: L età media, l età mediana e la classe modale; Il primo decile, il primo quartile, il 70 percentile; Un indice di asimmetria Il coefficiente di variazione Esercizio 2 Supponiamo che gli importi relativi ai consumi telefonici mensili degli utenti Telecom (utenze fisse private) si compongano di una parte relativa alle telefonate urbane e una parte relativa alle interurbane. I consumi urbani seguono una distribuzione di tipo gaussiano con media pari a 28,3 e scarto quadratico medio pari a 4,6. I consumi interurbani seguono una distribuzione di tipo gaussiano con media pari a 15,3 e scarto quadratico medio pari a 3,5. Considerando i consumi complessivi: a. Quanti sono (in %) i clienti che fanno registrare consumi mensili per oltre 40? b. Quanti sono (in %) i clienti che fanno registrare consumi mensili per meno di 32? La Telecom sta inoltre programmando delle politiche di differenziazione dei costi e decide di offrire la tariffa A al 15% degli utenti più chiacchieroni (quindi quelli con gli importi complessivi più alti), la tariffa B al 20% dei clienti con consumi più bassi e la tariffa C a tutti gli altri. L ufficio marketing deve dunque preparare le lettere da inviare agli utenti. Ci si domanda allora: c. Qual è l importo al di sopra del quale un cliente riceverà la lettera con l offerta per la tariffa A? d. Qual è l importo al di sotto del quale un cliente riceverà la lettera con l offerta per la tariffa B?
Esercizio 3 Nella tabella seguente vengono riportati i dati relativi all Età e allo Stato civile di 1227 soggetti. Età Stato civile Frequenza <25 anni 214 20 2 25-44 anni 45-64 anni 65 anni e + a. Costruire la tabella con la distribuzione doppia "Età/Stato civile"; 142 322 19 8 246 38 11 134 71 b. Determinare il grado di associazione tra i due caratteri mediante un indice appropriato. Esercizio 4 Si riporta di seguito la tabella che incrocia il Genere e lo Stato occupazionale di 382 laureati intervistati un anno dopo il Conteggio conseguimento del titolo: Maschio Femmina Totale Non Occupato Occupato occupato precario stabile Totale 58 72 95 225 72 47 38 157 130 119 133 382 Qual è la probabilità che, scegliendo a caso uno dei 382 laureati questo sia: a 1. Occupato e Maschio; a 2 Laureata e Precaria; a 3 Maschio oppure Non occupato (M o F); a 4 Precaria, posto che sia Femmina; Occupato, posto che sia Maschio; a 5 Esercizio 5 Supponiamo che l esperienza passata abbia dimostrato che l 80% degli studenti che sostiene l esame al termine del modulo lo superi. Supponiamo anche che non ci sia motivo di ritenere che voi siate più o meno bravi dei vostri colleghi e che vi presentiate, all esame, in 150: a. Qual è la probabilità che, scegliendo a caso 6 di voi, tutti superino la prova? b. Qual è la probabilità che, tra tutti i partecipanti, più di 100 superino la prova? Esercizio 6 Una variabile casuale Normale X ha media µ=80 e scarto quadratico medio incognito. Sapendo che il 20 percentile risulta pari a 77,13, determinare la probabilità che X risulti: 1. Maggiore di 78; 2. Compreso tra 77 e 81. Determinare inoltre il valore del 75 percentile - 2 -
Esercizio 7 Sia X una variabile casuale Normale con media µ=350 e scarto quadratico medio σ=20. 1. Determinare il valore a tale che: P( a X a) 2. Determinare il valore b tale che P( X b) = 0, 60 3. Determinare il valore c tale che P( X c) = 350 350 + = 0, 95; 350 0, 80 Esercizio 8 Provincia Numero Comuni Popolazione Avellino 119 441.499 Benevento 78 294.941 Si riporta, a fianco, il numero di Comuni e la Popolazione delle cinque province campane. Si determini una misura della concentrazione della popolazione nelle cinque province. Caserta 104 852.221 Napoli 92 3.117.095 Salerno 158 1.091.143 551 5.796.899 Esercizio 9 Un manager ha nel proprio ufficio tre segretarie, Sara, Mara e Chiara, i cui telefoni risultano liberi con probabilità, rispettivamente: 0,7, 0,2 e 0,3. Si compone a caso uno dei tre numeri: 1. Qual è la probabilità di trovare la linea libera? 2. La linea è libera: qual è la probabilità che risponda Chiara? Esercizio 10 Si riporta di seguito la tabella con il Reddito pro capite (in migliaia di euro) e il Numero di suicidi (per 100mila abitanti) per alcuni capoluoghi di provincia italiani: PROV Reddito ( x1000) Suicidi (per 100m. ab.) (a) Si definisca una misura dell associazione tra le due variabili; (b) Si determinino i parametri della retta di regressione, con Y variabile dipendente; X Y X 2 Y 2 XY AG 9,9 13,4 97,3 179,6 132,2 AO 24,6 48,2 604,3 2323,2 1184,9 AV 13,2 8,4 173,4 70,6 110,6 BA 14,8 7,7 218,2 59,3 113,7 BI 24,0 24,3 574,3 590,5 582,3 BL 20,6 33,2 424,6 1102,2 684,1 CT 12,1 7,5 147,3 56,3 91,0 CZ 11,9 5,0 141,1 25,0 59,4 EN 10,8 14,3 116,5 204,5 154,4 MC 19,9 15,9 395,4 252,8 316,1 MI 29,1 13,9 848,4 193,2 404,9 NA 12,8 2,8 162,7 7,8 35,7 NU 11,6 12,3 133,8 151,3 142,3 RM 23,2 9,9 537,7 98,0 229,6 TP 11,7 6,2 137,4 38,4 72,7 VC 21,8 19,9 475,0 396,0 433,7 VE 21,6 16,3 466,0 265,7 351,9 VR 24,4 19,6 594,2 384,2 477,8 (c) Si calcoli una misura dell adattamento della retta ai dati e si commenti il risultato; (d) Qual è il valore previsto del tasso di suicidi per un capoluogo con un reddito pro capite di 14.500? - 3-317,8 278,8 6247,82 6398,58 5577,3
Esercizio 11 In una popolazione di nati maschi il peso X alla nascita può essere considerato una variabile casuale gaussiana con media µ=3.480 grammi e scarto quadratico medio σ=1.400 grammi. Qual è la probabilità che il peso medio calcolato su un campione casuale di numerosità n=50 risulti superiore a 4 kilogrammi? Esercizio 12 Il 9% delle lenti da vista prodotte da una certa azienda presenta delle imperfezioni. Estraendo un campione casuale di 300 lenti, qual è la probabilità che le lenti difettose siano: Oltre 25? Tra 25 e 30? Meno di 20? Esercizio 13 La frequenza relativa di mancini in una popolazione è pari a 0,21. Qual è la probabilità che in una scolaresca di 800 bambini i mancini siano: Meno di 150? Più di 160? Tra 160 e 170? Esercizio 14 Su un quotidiano sportivo è apparsa la notizia che le persone che il lunedì sera guardano un noto programma sportivo sono per il 70% uomini. Selezionato un campione casuale di 400 individui che seguono regolarmente tale programma, 250 sono uomini. Ad un livello di significatività α=0,1, tale risultato è coerente o no con la notizia riportata dal quotidiano? Esercizio 15 Da una popolazione su cui è definita una variabile X con media µ e varianza σ 2 incognite si estrae un campione di 1 X1 + X2 numerosità n. Consideriamo due stimatori per µ: T1 = Xi ; T2 = n 2 (a) Gli stimatori sono corretti? (b) Qual è la loro varianza? (c) Sono consistenti? (d) Quale dei due è più efficiente? i Esercizio 16 In un campione casuale di 115 studenti del secondo anno della Facoltà di Economia, il 13% è risultato avere un numero di crediti inferiore a quello richiesto. a. Determinare l intervallo che ad un livello di confidenza del 90% contiene il parametro incognito relativo alla proporzione nella popolazione. b. Volendo ripetere la rilevazione, quale deve essere la dimensione campionaria che assicuri un errore massimo, in più o in meno, del 3% allo stesso livello di confidenza? - 4 -
Esercizio 17 Un centro medico sa che il numero di giorni necessari per guarire dalla malattia ABC dopo la somministrazione del farmaco XYZ segue una distribuzione normale con media 20 e sqm 3,5. I responsabili del laboratorio chimico affermano che i miglioramenti apportati al farmaco potranno consentire una diminuzione del numero medio di giorni richiesti per la completa guarigione a 18 giorni. Dato un campione di controllo di numerosità n=45 pazienti ed un livello di significatività α=0,01 si imposti il test definendo: A. L ipotesi nulla B. L ipotesi alternativa C. L errore di I tipo (specificare in cosa consiste in questo specifico esempio) con la relativa probabilità D. L errore di II tipo (specificare in cosa consiste in questo specifico esempio) con la relativa probabilità Si discuta se è utile effettuare il test con queste modalità e, in caso contrario, si definisca, motivandola, una strategia alternativa. Esercizio 18 Un agenzia che si occupa di sondaggi vuole verificare se esista una relazione fra le preferenze politiche degli elettori e il loro reddito. Per semplicità, le preferenze politiche vengono divise in Centrodestra e Centrosinistra, ed il reddito in tre categorie, basso, medio, e alto. Viene estratto un campione casuale di mille elettori e i risultati sono i seguenti: Basso Medio Alto Tot Centrodestra 165 210 95 470 Centrosinistra 220 216 94 530 Tot 385 426 189 1000 Sulla base di questi risultati, è possibile affermare che esiste una relazione tra reddito e preferenza politica? Esercizio 19 Una macchina produce lampadine la cui durata media è pari a 2,500 ore, con scarto quadratico medio pari a 210 ore. Supponendo la distribuzione simmetrica nelle due code, considerando un lotto di 10.000 lampadine, qual è il numero massimo di lampadine che ci aspettiamo possano superare le 3000 ore? Esercizio 20 (dal testo Montanari, Agati, Calò, Statistica, ed. Masson) Il centro studi di un azienda di servizi intende stimare il tempo medio µ che intercorre tra la richiesta di assistenza da parte del cliente e l erogazione del servizio. Indagini precedenti indicano che lo scarto quadratico medio σ dei tempi può essere stimato uguale a 12,81 giorni. (a) Quale deve essere la numerosità del campione per ottenere un intervallo di confidenza al 95% di forma i µ = x 3? (b) Quante osservazioni campionarie occorrono, a parità di tutte le altre condizioni, se si vuole dimezzare l ampiezza dell intervallo? Esercizio 21 (dal testo Montanari, Agati, Calò, Statistica, ed. Masson) Una ditta produttrice di alimenti per l infanzia dichiara che il contenuto medio di calcio per 100 g di un dato alimento è pari a 200 mg. In un campione di 121 scatole da 100 grammi si è rilevato un contenuto medio di 191 mg con uno scarto quadratico medio corretto di 15 mg. Sapendo che il contenuto di calcio può essere considerata una variabile normodistribuita, si può ritenere che la ditta ha dichiarato un valore di calcio troppo elevato? - 5 -