APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO Mawll Equazioni non linari: probla di punto isso Sisti di quazioni non linari Introduzion Il probla di punto isso è un probla ch si prsnta spsso in oltissi applicazioni Esso può prsntarsi da solo, ossia co richista spciica di un probla da risolvr, oppur si può prsntar co riorulazion di una quazion non linar ( = Si può diostrar ch è spr possibil ricondurr una quazion non linar ad un probla di punto isso E lo si può ar in ininiti odi Ovviant, di tutti qusti ininiti odi di riorular una quazion non linar, alcuni sono igliori di altri In altr parol, è possibil dinir riorulazioni buon non buon in bas a co ss possano portar a todi nurici itrativi rispttivant convrgnti o non convrgnti Una dinizion dl tutto gnral dl probla di punto isso è la sgunt: data una unzion di variabil ral a valori rali : Ra R, dtrinar una tal ch = Graicant signiica dtrinar l intrszioni tra il graico di si abbia ( ( la rtta y =, bisttric dl prio dl trzo quadrant Mtodo dll itrat succssiv Chiaato anch todo dll itrazioni di punto isso, il todo dll itrat succssiv si basa sulla sgunt rgola: dato = ( + pr =,, Dal punto di vista coputazional, il todo richid solant la valutazion dlla unzion ( ni punti dlla succssion Si possono vriicar quattro dirnti situazioni: convrgnza onotona; convrgnza non onotona; divrgnza onotona; divrgnza non onotona Il vriicarsi di una di qust quattro situazioni dipnd dal sgno dal odulo dlla drivata pria dlla unzion nl punto isso: 6
Mawll sgno positivo odulo strttant aggior di : divrgnza; sgno positivo odulo strttant inor di : convrgnza; sgno ngativo odulo strttant aggior di : divrgnza; sgno ngativo odulo strttant inor di : convrgnza È ncssario ora dar qualch dinizion: convrgnza onotona: signiica ch la succssion gnrata dal todo dll itrat succssiv è convrgnt ch i vari trini si trovano tutti dalla stssa part risptto al punto isso, ossia ch l approssiazioni ornit dal todo sono o tutt pr ccsso o tutt pr ditto convrgnza non onotona: signiica ch la succssion gnrata dal todo dll itrat succssiv è convrgnt ch i vari trini si trovano altrnativant a dstra o a sinistra dl punto isso, ossia ch l approssiazioni ornit dal todo sono altrnativant pr ditto pr ccsso divrgnza onotona: signiica ch la succssion gnrata dal todo dll itrat succssiv non è convrgnt ch, counqu, tutt l approssiazioni ornit dal todo sono o pr ditto o pr ccsso divrgnza non onotona: signiica ch la succssion gnrata dal todo dll itrat succssiv non è convrgnt ch, counqu, tutt l approssiazioni ornit dal todo sono altrnativant pr ccsso pr ditto Il sgunt tora ornisc una condizion di sistnza di un punto pr cui il todo dll itrat succssiv convrg: Tora: s ( * < la succssion { }, dov * è il punto isso, sist un intorno I di * tal ch convrg s I dll itrat succssiv non può convrgr S vicvrsa ( * >, allora il todo Ossrvazion: qusto tora non dic nulla riguardo all carattristich dll intorno I Inoltr, gnralnt, non si conosc il punto isso Sruttando la localizzazion dl punto isso è possibil ricavar l inorazioni su sgno odulo dlla drivata pria anch s il punto isso non è noto Il tora ch sgu ornisc dll condizioni pr dinir glio qusto intorno: Tora di convrgnza global: s, dato un intrvallo [ l intrvallo di localizzazion dl punto isso si vriica ch C [ a, : [ a, a [ a, cioè s [ a, ( [ a, K < tal ch ( K [ a, a, (ch può ssr 63
Mawll allora sist uno un solo punto isso in [ a, il todo dll itrat succssiv convrg ad sso [ a, Vlocità di convrgnza L ordin di convrgnza dl todo dll itrat succssiv dipnd dalla ora dlla unzion, ossia dalla sua rgolarità Sia C [ a, pr un qualch > L rror al passo + è dato da + = + dov + è l approssiazion corrnt dl punto isso * è la soluzion satta (il punto isso Dalla dinizion dl todo dll itrat succssiv si ha * = ( * ( + = sostitundo nll sprssion dll rror si ricava * ( ( = * + Sviluppando ora il trin ( in sri di Taylor, cntrata in * calcolata in, si ottin ( ( ( * + ( *( * + + ( *( *! dato ch * = +! ( ( ( ( * + * + ( * quindi *! ( ( ( ( * + * + ( * + = + = + S ( * è possibil trascurar tutti i trini di grado suprior al prio, allora 64
Mawll + ( * s inoltr ( * <, cosa vriicata in quanto si richid la convrgnza, allora l ordin di convrgnza è ( i In gnral, s ( ( * =, pr i =,,,, ( * allora +! ( ( * l ordin di convrgnza è L ordin di convrgnza dl todo dll itrat succssiv è pari al grado dlla pria drivata ch non si annulla nl punto isso ( ( ( ( i Tora: s * = pr i =,,, * allora l ordin di convrgnza è In particolar, s l ordin è, si ha li + = ( * In conclusion si può aggiungr ch, a parità di ordin di convrgnza, quanto più piccolo è il odulo dlla drivata pria dlla unzion calcolata nl punto *, tanto più rapida è la convrgnza dl todo isso ( Gnralizzazion ai sisti di quazioni non linari Si supponga di dovr risolvr un sista di du quazioni non linari + = 3 + = 5 ch può ssr riscritto in qusto odo + = 3 3 + = 5 5 65
Mawll in cui si individuano l quazion di una rtta passant pr i punti (, 3 3, qulla di un lliss di siass orizzontal 5 siass vrtical 5 Pr risolvr il sista è possibil considrar un probla di punto isso, gnralizzando il todo dll itrat succssiv Sia : R a R la unzion util pr il todo dll itrat succssiv Essa può ssr sprssa nlla sgunt ora: ( = (,,, (,,, : (,,, Dato un vttor di punti iniziali R il todo dll itrat succssiv nl caso vttorial si basa sul sgunt algorito: ( + ( = ( ( + dov rapprsnta la stia corrnt dl vttor soluzion, ntr stia al passo prcdnt ( è la Co critrio di arrsto si può utilizzar quanto si è dtto nl caso di una sola variabil, sostitundo i oduli di trini con nor di vttori: ( + ( ( < tollranza Pr ciò ch riguarda la convrgnza dl todo dll itrat succssiv, valgono i tori visti pr l quazioni non linari in una sola variabil L unica odiica da apportar ad ssi è ch in qusto caso la condizion di convrgnza è J ( * < Mtodo di Nwton pr sisti di quazioni non linari Pr risolvr il sista inizial è possibil applicar anch il todo di Nwton, gnralizzato all unzioni di più variabili In una sola variabil si ha 66
Mawll + = ( ( dallo sviluppo in sri di Taylor, cntrato in arrstato al prio ordin ( ( + ( ( dlla unzion Risolvndo succssivant la sgunt quazion si ottin ( ( ( = + chiaando = + ( ( + = ( ( = + = = ch è sattant la orula dl todo di Nwton ( ( ( ( In odo dl tutto analogo è possibil trattar l unzioni di più variabili Pr pria cosa lo sviluppo di Taylor di una unzion : R a R cntrato in R arrstato al prio ordin è il sgunt ( ( + J ( ( dov J ( è la atric Jacobiana di Qusta è una atric ch contin l drivat di tutt l coponnti dlla unzion risptto ad ogni variabil j In pratica, l lnto di posto ij dlla atric è la drivata parzial dlla coponnt i sia dlla unzion risptto alla variabil j sia: [ J ( ] ij = i j Espio: Si considri la sgunt unzion + + 3 5 ( =, s n calcoli la atric Jacobiana 67
Mawll Una rgola pratica pr calcolar l drivat parziali è la sgunt: drivar la unzion risptto alla variabil considrata, trattando l altr variabili co s ossro dll costanti; copir qusto ragionanto pr tutt l variabili pr ciascuna coponnt dlla unzion In sostanza pr un gnrico sista ( quazioni in incognit si dvono calcolar drivat parziali Già con dinsioni ridott, co 4 4, divnta convnint iplntar su un coputr un todo nurico pr approssiar tali drivat, non calcolarl anualnt! Calcolo dlla atric Jacobiana: J ( = = 4 Procdndo in anira analoga a quanto si è atto pr l unzioni di una sola variabil si ha J ( + J ( ( = ( ( = ( 443 ossia si ottin un sista di quazioni linari con atric di coicinti pari alla atric Jacobiana dlla unzion Pr il prio passo si ha ( = ( J = + Pr un passo gnrico si ha J ( = ( = + + Pr la convrgnza dl todo di Nwton valgono l considrazioni att a proposito dll unzioni un una sola variabil NB: continua ad ssr critica la sclta di un vttor di punti iniziali pr cui si abbia la convrgnza dl todo 68