niversità degli Studi di Roma La Sapienza Dipartimento di Matematica G.Castelnuovo A.A. 2006-2007 GILIO CAMPANELLA APPNTI DI ALGEBRA 2 con oltre 150 esercizi svolti l ideale primo (2), determinare il campo Z (2) /M. Esercizio 3.2.5. (i) Sia S una parte moltiplicativa di un anello c. u. A. Verificare che (ii) Posto S = {6 h, h 0}, verificare che ogni ideale di Z S è principale e determinare Spec(Z S ). Spec(A S )={p S, p Spec(A) p S = }. (iii) In Z 16 sia S = {2 h, h 0}. Determinare Spec((Z 16 ) S ). Esercizio 3.2.6. (i) Sia S una parte moltiplicativa di un anello c. u. A. Verificare che Spec(A S ) s Q può essere immerso in Spec(A). C 2 (rispetto alla topologia di Zariski). A t C D 4 P (ii) Se a A e S = {a h, h 0}, verificare che Spec(A S ) si identifica ad un aperto di Spec(A) C 1 t 1 t 2 Esercizio 3.2.7. (i) Sia A un anello c. u. e sia S 0 = A Z(A) l insieme dei non 0-divisori di A. Verificare che S 0 è una parte moltiplicativa di A eche A è un sottoanello di A S0. (ii) Sia S una parte moltiplicativa di A tale che l omomorfismo canonico sia iniettivo. Verificare P 1 B O M S che S S 0 [per questo motivo A S0 è detto anello totale delle frazioni di A]. (iii) Calcolare (Z 12 ) S0. V 1 ϕ V 2 Esercizio 3.2.8. In Z siano assegnati i numeri primi distinti p 1,p 2,...,pn. Determinare una parte moltiplicativa S di Z tale che il dominio Z S ammetta come ideali primi non nulli esattamente (p 1 ) S, (p 2 ) S,..., (pn) S. ρ ϕ 2 ρ ϕ 2 ϕ ρ ϕ 3 ρ Esercizio 3.2.9. Sia A un anello c. u. e sia p un suo ideale primo. Dimostrare che Q ( A / / = p) Ap O {1 E } ϑ {1 E } = E H P 2ϑ [dove pa p = { a s, a p, s A p} è l unico ideale massimale di A p, cfr. Esercizio 3.2.4]. ρ ϕ 2 ρ ϕ 2 ϕ ρ ϕ 3 ρ V 1 ϕ V 2 pa p O ϑ H P D = Q D 4
2
3 Prefazione Questi appunti contengono le lezioni del Modulo di Algebra 2, da me tenuto presso il Dipartimento G.Castelnuovo dell niversità La Sapienza di Roma negli A.A. 2005-06 e 2006-07. Il corso di Algebra 2 propone agli studenti della laurea Triennale in Matematica quegli argomenti di algebra elementare che usualmente non trovano spazio nel corso di Algebra 1, ma che sono necessari per fornire un adeguata conoscenza di base della materia. Ma non si tratta soltanto di un corso che colma delle lacune. Nelle mie intenzioni - e speranze - questo corso dovrebbe chiarire allo studente i legami tra l algebra classica, rivolta alla determinazione algebrica delle radici di un equazione polinomiale, e l algebra astratta, omoderna, rivolta allo studio delle strutture algebriche. Questi collegamenti sono spiegati dalla Teoria di Galois e l intero corso è dunque finalizzato ad introdurre i primi elementi di tale teoria (cfr. Cap. 5). Nel primo capitolo vengono studiati gruppi ed anelli quozienti ed illustrato il teorema fondamentale di omomorfismo e le relative conseguenze (teoremi di isomorfismo). Il secondo e terzo capitolo propongono lo studio di alcuni argomenti di teoria dei gruppi (soprattutto i teoremi di Sylow) e di teoria degli anelli (ideali massimali e primi, domini a fattorizzazione unica, a ideali principali, euclidei). Il quarto capitolo è dedicato allo studio delle estensioni di campi e relative applicazioni (costruzioni con riga e compasso). Il quinto ed ultimo capitolo, come già detto, si occupa di introdurre i primi elementi della teoria di Galois: campi di spezzamento, estensioni normali e separabili, risolubilità di gruppi, gruppo di Galois di un estensione e corrispondenza di Galois tra sottogruppi del gruppo di Galois e campi intermedi dell estensione. Per tutte le definizioni, i risultati e le notazioni impiegate senza adeguati riferimenti, rinvio ai miei appunti del corso di Algebra 1 (cfr. [AA] e [AA2]). Giugno 2007 Giulio Campanella
4
5 Indice Capitolo 1 Quozienti di gruppi e di anelli. Teoremi di isomorfismo 1. Sottogruppi normali e gruppi quoziente... 1 2. Ideali ed anelli quoziente... 4 3. Teorema fondamentale di omomorfismo... 7 4. Teoremi di isomorfismo per i gruppi... 10 5. Teoremi di isomorfismo per gli anelli... 13 Capitolo 2 Elementi di teoria dei gruppi 1. Il teorema di Cayley... 17 2. Prodotto diretto di gruppi... 19 3. Azione di un gruppo su un insieme... 21 4. Esistenza di sottogruppi... 26 5. Gruppi abeliani finiti... 32 Capitolo 3 Elementi di teoria degli anelli 1. Ideali massimali e ideali primi... 37 2. Campo dei quozienti e anelli di frazioni... 42 3. Domini d integrità... 47 4. Caratteristica di un anello... 54 Capitolo 4 Elementi di teoria dei campi 1. Estensioni di campi...... 57 2. Estensioni semplici... 61 3. Estensioni algebriche... 66 4. Costruzioni con riga e compasso... 69 Capitolo 5 n introduzione alla teoria di Galois 1. Risolubilità per radicali... 83 2. Campi di spezzamento ed estensioni normali... 86 3. Separabilità... 93 4. Gruppi risolubili... 96 5. La corrispondenza di Galois... 99 6. Il teorema fondamentale dell Algebra... 108 Appendici del Cap. 5 1. Dimostrazione del teorema fondamentale della teoria di Galois.. 111 2. Il Teorema di Galois sulla risolubilità per radicali... 115
6 Soluzioni degli esercizi del Cap. 1... 123 Soluzioni degli esercizi del Cap. 2... 139 Soluzioni degli esercizi del Cap. 3... 153 Soluzioni degli esercizi del Cap. 4... 169 Soluzioni degli esercizi del Cap. 5... 183 Altri esercizi... 197 Bibliografia... 221