Hynek Kovařík: curriculum vitae

Hynek Kovařík: curriculum vitae Informazioni generali Nome: Hynek Cognome: Kovařík Luogo di nascita: Valašské Meziříčí, Repubblica Ceca Data di nascita: 16 Giugno 1975 Ente di appartenenza: Università degli Studi di Brescia Recapito telefonico ufficio: 0303715742 E-mail: hynek.kovarik@ing.unibs.it Pagina web: http://dm.ing.unibs.it/ hynek.kovarik Residente in: Via Gradisca 6, 26100 Cremona Recapito telefonico: 335 1694736 Formazione Settembre 1993 Settembre 1998: iscritto al corso di laurea in Fisica presso l Università Univerzita Karlova v Praze ( Università di Carlo di Praga). 18.09.1998: Laurea in Fisica summa cum laude presso l Università Univerzita Karlova v Praze, con la tesi Visco-elastic e ects in Caroli-Nozieres theory of dry friction between solid surfaces, relatore: Prof. B. Velicky. Ottobre 1998 Ottobre 2001: dottorando di ricerca presso l Università Univerzita Karlova v Praze, sotto la supervisione del Prof. Pavel Exner dell Accademia delle Scienze della Repubblica Ceca. Durante gli anni del dottorato, sono stato ricercatore a contratto presso l Accademia delle Scienze della Repubblica Ceca. 01.10.2000 31.03.2001: in visita presso l Institut Fourier dell Université de Grenoble 1 di Grenoble, per una collaborazione scientifica con il Prof. A. Joye. 1

2 Titoli accademici 24.09.2001: titolo di Dottore di Ricerca in Fisica Teorica presso l Università Univerzita Karlova v Praze, con la tesi Magnetic transport in two-dimensional electron systems. Relatore della tesi: Prof. P. Exner. 21.05.2008: conseguimento dell Habilitation in Mathematik (Abilitazione all insegnamento universitario e alla ricerca in Matematica) presso l Università di Stoccarda, con la tesi Spectral properties of Schrödinger operators. Posizioni Ottobre 2001 Marzo 2002: Post-doc presso l Ecole Polytechnique Fédérale di Losanna. Responsabile scientifico: Prof. Philippe Martin. Aprile 2002 Febbraio 2008: ricercatore a contratto e assistente per l insegnamento dei corsi di Analisi Matematica, presso l Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung della Facoltà di Matematica dell Università di Stoccarda. Marzo 2008 15 Novembre 2008: borsista della DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) presso il Dipartimento di Matematica Pura e Applicata G. Vitali dell Università di Modena e Reggio Emilia. 16 Novembre 2008 14 Dicembre 2011: ricercatore universitario di Analisi Matematica presso il Politecnico di Torino. 15 Dicembre 2011 data presente: ricercatore universitario di Analisi Matematica presso l Università degli Studi di Brescia. Comunicazioni a convegni e workshops (1) Convegno: Sfb288: Di erential Geometry and Quantum Physics, Berlin,Germania, Marzo 2000. Contributed talk: Transport properties of the local Iwatsuka model. (2) Convegno: ICMP 2000: XIII International Congress on Mathematical Physics, Londra, Gran Bretagna, Luglio 2000. Contributed talk: Transport properties of the local Iwatsuka model. (3) Convegno: Guided Quantum Particles, Praha,RepubblicaCeca,Giugno2002. Contributed talk: Magnetic transport in a parabolic channel. (4) Convegno: Mathematical Problems in Quantum Mechanics, Lisboa,Portogallo, Luglio 2003. Contributed talk: Resonances in crossed electromagnetic fields. (5) Convegno: QMath9: Mathematical Results in Quantum Mechanics, Giens, Francia, Settembre 2004. Contributed talk: Resonances in crossed electromagnetic fields.

(6) Workshop: Spectral Analysis of Partial Di erential Equations, Oberwolfach, Germania, Novembre-Dicembre 2004. Plenary talk: Magnetic Hardy inequality in a waveguide. (7) Workshop: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, Bressanone, Italia, Febbraio 2005. Contributed talk: On a magnetic Hardy inequality in the waveguide. (8) Workshop: The Mathematics of Quantum Systems: Spectral Theory, Warwick, Gran Bretagna, Aprile 2005. Contributed talk: A Hardy inequality in twisted waveguides. (9) Convegno: OTAMP 2006: Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics, Lund, Svezia, Giugno 2006. Contributed talk: Weakly coupled Schrödinger operators on regular metric trees. (10) Convegno: OTQP 2006: Operator Theory in Quantum Physics, Praha,Repubblica Ceca, Settembre 2006. Contributed talk: Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on regular metric trees. (11) Convegno: Waves 2007, Reading,GranBretagna,Luglio2007. Contributed talk: Estimates for trapped modes in quantum waveguides and layers. (12) Workshop: Low lying eigenvalues of Laplace and Schrödinger operators, Oberwolfach, Febbraio 2009. Plenary talk: Berezin-Li-Yau inequalities with a correction term. (13) Workshop: Transport in nano-structure devices, Agosto 2009. Aalborg, Danimarca. Invited talk: Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on regular metric trees. (14) Wokshop: Analysis on graphs and its applications, Isaac Newton Institute, Cambridge, Regno Unito, Luglio 2010. Invited talk: Eigenvalue estimates on metric trees. (15) Convegno: QMath 11, Università di Hradec Králové, Repubblica Ceca, Settembre 2010. Contributed talk: Large time behavior of the heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators and applications. (16) Convegno: Journeés Mathematiques de Kairouan, Università di Kairouan, Tunisi, Novembre 2010. Invited talk: Heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators. (17) Workshop: Selected topics in spectral theory, Erwin Schrödinger Institute, Vienna, Austria, Gennaio 2011. Invited talk: Eigenvalue estimates for twodimensional magnetic Schrödinger operators. (18) Workshop: Spectral Theory and Schrödinger Operators, Politecnico di Milano, Marzo 2011. Invited talk: Heat kernels of two-dimensional magnetic Schrödinger operators and Pauli operators. 3

4 (19) Convegno: XXII Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni,LevicoTerme, Febbraio 2012. Contributed talk: Heat semi-groups of magnetic Schrödinger and Pauli operators. Seminari presso Università e Centri di ricerca (1) Magnetic transport along a one-dimensional perturbation in the plane, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) di Stoccolma, Svezia. Settembre 2000. (2) Magnetic transport in a straight parabolic channel, presso l Institut Fourier dell Université de Grenoble 1 di Grenoble, Francia. Marzo 2001. (3) Magnetic transport in a straight parabolic channel, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) distoccolma,svezia. Novembre 2001. (4) Resonances width in crossed electric and magnetic fields, Seminario dell Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Marzo 2003. (5) On the discrete spectrum of the magnetic Schrödinger operator in a waveguide, Seminario dell Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Aprile 2004. (6) Stability of Schrödinger operator in twisted tubes, Seminario dell Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Marzo 2005. (7) Resonances in crossed electric and magnetic fields, presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Modena e Reggio Emilia, Modena, Italia. Ottobre 2005. (8) Stark resonances in a magnetic field, presso l Institut Fourier dell Université de Grenoble 1 di Grenoble, Francia. Novembre 2005. (9) On the number of bound states of a Schrödinger operator on regular metric trees, Seminario dell Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Aprile 2006. (10) Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on regular metric tress, presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Pavia, Pavia, Italia. Gennaio 2007. (11) Spectral estimates for two-dimensional Schrödinger operators, presso il Centro di Fisica Teorica del CNRS, Luminy, Marsiglia, Francia. Marzo 2007. (12) Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on metric trees, presso l Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung della Facoltà di Matematica dell Università di Stoccarda, Stoccarda, Germania. Ottobre 2007.

(13) Le disuguaglianze di Berezin e di Li-Yau e le loro generalizzazioni, presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Modena e Reggio Emilia, Modena, Italia. Marzo 2008. (14) Le disuguaglianze di Berezin e di Li-Yau e le loro generalizzazioni, presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Pavia, Pavia, Italia. Giugno 2008. (15) Berezin-Li-Yau inequalities, presso il Centro di Fisica Teorica del CNRS, Luminy, Marsiglia, Francia. Giugno 2008. (16) Propriétés spectrales des guides d ondes quantiques, presso l Université du Sud Toulon-Var, Tolone, Francia. Settembre 2008. (17) Autovalori del Laplaciano su domini limitati, presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino, Torino, Italia. Dicembre 2008. (18) Proprietà spettrali delle guide d onda quantistiche, presso il Dipartimento di Fisica dell Università di Modena, Modena. Gennaio 2009. (19) Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains with cusps, presso l Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung della Facoltà di Matematica dell Università di Stoccarda, Germania. Aprile 2009. (20) Heat kernel estimates for Laplace operators in twisted tubes, presso il Centre Bernoulli, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Svizzera. Gennaio 2010. (21) Large time behavior of the heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators, presso l Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung della Facoltà di Matematica dell Università di Stoccarda, Germania. Aprile 2010. (22) Heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators, presso il Dipartimento di Matematica, Université de Provence, Marsiglia, Francia. Giugno 2010. (23) Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) distoccolma,svezia.settembre2010. (24) Two-dimensional magnetic Hamiltonians, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) distoccolma,svezia. Ottobre 2010. (25) Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains with cusps, presso Dipartimento di Matematica, Università di Milano Bicocca, Milano, Italia. Febbraio 2011. (26) Eigenvalue bounds for two-dimensional Schrödinger operators with magnetic field, Seminario dell Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Aprile 2011. 5

6 (27) Heat kernel estimates of twisted tubes, presso l Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung della Facoltà di Matematica dell Università di Stoccarda, Germania. Maggio 2011. (28) Heat semigroups of two-dimensional Schrödinger and Pauli operators, presso la Facoltà di Matematica, Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago. Maggio 2011. (29) Heat kernel estimates of twisted tubes, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology)diStoccolma,Svezia. Settembre2011. (30) Weakly perturbed p-laplacian, Dipartimento di Matematica, Università di Brescia. Febbraio, 2012. (31) Weakly coupling behavior of the perturbed p-laplacian, Dipartimento di Matematica, Technion, Israel Institute of Technology, Haifa, Israele. Maggio, 2012. (32) Heat semigroups of regular metric trees, Facoltà di Matematica e Informatica, Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israele. Maggio, 2012. Borse di studio e contratti di ricerca Durantela miavisita pressol Institut Fourier di Grenoble (01/10/2000 31/03/2001) ho usufruito di una borsa di studio nell ambito del programma Tempra della regione francese Rhône-Alpes. Nell A.A. 2006-2007 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese, in qualità di Enseignant invité à temps plein ( Professore invitato a tempo pieno ) presso l Université de Provence, Marsiglia (Francia). Nell A.A. 2007-2008 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese, in qualità di Enseignant invité à temps plein ( Professore invitato a tempo pieno ) presso l Université du Sud Toulon-Var, Tolone (Francia). Agosto 2007: vincitore di una borsa di studio DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) di 18 mesi, per sviluppare un progetto di ricerca presso l Università di Modena, a partire dal Marzo 2008. Nel Maggio 2011 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese, in qualità di visiting professor presso la Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago del Cile (Cile).

7 Attività didattica Presso l Università di Stoccarda ho tenuto le esercitazioni dei corsi: A. A. 2001-2002: Analisi funzionale per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II semestre) (tenuto in inglese). A. A. 2002-2003: Analisi 1 per gli studenti del corso di laurea in Matematica (I semestre); Analisi 2 per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco). A. A. 2003-2004: Analisi 3 per gli studenti del corso di laurea in Matematica (I semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco). A. A. 2004-2005: Analisi funzionale per gli studenti del corso di laurea in Matematica (I semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco). A. A. 2005-2006: Matematica Superiore I per gli studenti del corso di laurea in Fisica e Ingegneria (I semestre); Matematica Superiore II per gli studenti del corso di laurea in Fisica e Ingegneria (II semestre) (tenuti in tedesco). A. A. 2006-2007: Matematica Superiore III per gli studenti del corso di laurea in Fisica e Ingegneria (I semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco). A. A. 2007-2008: Matematica I per gli studenti del corso di laurea in Informatica (I semestre) (tenuto in tedesco). Presso l Università di Stoccarda sono stato titolare del corso: A. A. 2006-2007: Problemi di meccanica quantistica dal punto di vista matematico per gli studenti del corso di laurea in Matematica dell Università di Stoccarda (II semestre) (tenuto in tedesco). Presso il Politecnico di Torino ho tenuto le esercitazioni dei corsi: A. A. 2008-2009: Analisi II per gli studenti di vari corsi di laurea in Ingegneria (II semestre) (tenuto in italiano). A. A. 2009-2010: Analisi II per gli studenti di vari corsi di laurea in Ingegneria (II semestre) (tenuto in italiano). A. A. 2009-2010: Corso di recupero di Analisi I per gli studenti di vari corsi di laurea in Ingegneria (II semestre) (tenuto in italiano). A. A. 2010-2011: Mathematical Analysis I per gli studenti stranieri di vari corsi di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese). A. A. 2011-2012: Mathematical Analysis I per gli studenti stranieri di vari corsi di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese).

8 A. A. 2011-2012: Mathematical Analysis II per gli studenti stranieri di vari corsi di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese). Presso l Università degli Studi di Brescia ho tenuto le esercitazioni dei corsi: A. A. 2011-2012: Analisi Matematica B per gli studenti del corso di laurea in Ingegneria gestionale (II semestre) (tenuto in italiano). Presso l Università degli Studi di Brescia sono attualmente titolare del corso: A. A. 2012-2013: Analisi Matematica I per gli studenti del corso di laurea in Ingegneria dell ambiente e territorio, e civile (I semestre) (tenuto in italiano). Attività Scientifica Interessi scientifici: Nella mia ricerca mi occupo di alcuni problemi di teoria spettrale e di analisi funzionale provenienti dalla fisica quantistica, con particolare riferimento a (1) Analisi di problemi di trasporto magnetico in sistemi bidimensionali, sistemi instabili, quantum waveguides, egrafi quantistici. (2) Analisi spettrale di operatori di Schrödinger. (3) Studio degli autovalori di operatori di Laplace su domini limitati. (4) Disuguaglianze di Hardy. (5) Studio del comportamento di semigruppi e gruppi unitari generati dagli operatori di Schrödinger e di Laplace. Più precisamente: Trasporto magnetico in sistemi bidimensionali. Èbennotoche,insistemi bidimensionali, un campo magnetico costante porta alla localizzazione di una particella carica. In altri termini, il relativo operatore Hamiltoniano magnetico ha uno spettro puramente puntuale. D altro canto, un opportuna perturbazione del campo magnetico può portare ad una situazione in cui lo spettro diventa assolutamente continuo. Un e etto simile si può ottenere aggiungendo una catena periodica di interazioni punto-punto nel sistema. Questo fatto è stato dimostrato nei lavori [1] e [2] dell elenco che segue. Il problema della stabilità dello spettro assolutamente continuo così ottenuto è stato in seguito discusso nel lavoro [3]. Risultati connessi sono stati ottenuti recentemente in [28] con un approccio basato sul metodo dei commutatori positivi.

Esistenza di stati di risonanza in sistemi con un campo elettrico e magnetico costanti. Un operatore magnetico di Schrödinger bidimensionale, associato a un campo magnetico costante e a un potenziale di perturbazione localizzato, ha in genere infiniti autovalori in prossimità dei livelli di Landau. Si ritiene che in presenza di un ulteriore campo elettrico tali autovalori scompaiano e si trasformino in risonanze. Il comportamento di tali risonanze in dipendenza dall intensità del campo elettrico è stato analizzato nei lavori [4] e [5]. Simili problemi sono stati analizzati nel lavoro [22] con il cosiddetto metodo di complex scaling. Disuguaglianze di tipo Hardy per operatori magnetici di Schrödinger e operatori di Laplace. È ben noto che la disuguaglianza di Hardy per l operatore di Laplace non vale in dimensione uno e due. Tuttavia, aggiungendo un opportuno campo magnetico B si può ottenere un certo tipo di disuguaglianza di Hardy per la forma quadratica dell operatore magnetico di Schrödinger. L operatore magnetico di Schrödinger H A =( ir + A) 2 in L 2 ( ) (1) in un dominio R 2,doveA è i l p o t e n z i a l e v e t t o r i a l e r e l a t i v o a l c a m p o magnetico B (cioè rota = B), è associato alla forma quadratica Q A [u] =k( ir + A) uk 2 L 2 ( ), u 2 H1 0( ). (2) L e etto del campo magnetico sulle disuguaglianze di Hardy in domini del tipo =R (0,d) è stato studiato nei lavori [6] e [7]. Inparticolare,in[6] è s t a t o dimostrato che la disuguaglianza Q A [u] 2 d 2 kuk2 L 2 ( ) C A Z u(x) 2 1+x 2 1 dx, 8 u 2 H 1 0( ), (3) vale, sotto determinate condizioni sulla regolarità di A, conunacostantec A che dipende solo da A. Si noti che la disuguaglianza (3) è falsa per la forma quadratica Q 0 [u], cioè in assenza del campo magnetico. In questo contesto, si veda il lavoro [12], èanchepossibiledimostrarechelo stesso tipo di disuguaglianza di Hardy vale per l operatore di Laplace in un tubo tridimensionale del tipo = R! con sezione! R 2 : tale disuguaglianza può essere ottenuta anche solo con una perturbazione puramente geometrica del tubo, cioè il cosiddetto twisting. Piùprecisamente, selasezione! non è invariante per rotazioni e se T è u n c i l i n d r o o t t e n u t o d = a R! tramite il twisting (cioè una rotazione locale di attorno all asse longitudinale), allora 9

10 esiste una costante C tale che kruk 2 L 2 ( T ) E 1 kuk 2 u(x) L 2 ( T ) C Z T 2 dx, 8 u 2 H 1+x 0( 1 2 T ), (4) 1 dove E 1 =inf krfk 2 L 2 (!) : f 2 H1 0(!), kfk L 2 (!) =1. (5) Anche in questo caso si vede facilmente che la disuguaglianza (4) è falsa in assenza del twsiting, cioè quando T = =R!. Risultati connessi sono stati ottenuti anche nei lavori [8], [13]. Inoltre,nel lavoro [9] viene studiato l e etto del twisting sulle risonanze nelle waveguides: in particolare, come il twisting destabilizza gli autovalori dell operatore di Schrödinger immersi nello spettro continuo. Proprietà spettrali di operatori di Schrödinger su alberi metrici. Un albero metrico infinito consiste di un insieme di vertici e di un insieme di lati (i segmenti che connettono i vertici). Gli alberi metrici sono oggetti con dimensione mista : una dimensione locale, uguale a 1, e una dimensione globale, che è sostanzialmente data dalla velocità di crescita dell albero a infinito. Nel lavoro [11] è stato dimostrato che le proprietà spettrali dell operatore di Schrödinger A = + V (ove V è u n p o t e n z i a l e i n fi n i t e s i m o a l l i n fi n i t o e 0), definito su un albero metrico, dipendono sia dalla dimensione locale, sia dalla dimensione globale dell albero. Questo risultato è stato generalizzato in [18] per i potenziali con decrescenza lenta all infinito. Nel lavoro [21] il legame fra la dimensione globale di un albero e le suddette proprietà spettrali è stato analizzato più in dettaglio: in particolare, abbiamo esteso al caso degli alberi metrici le disuguaglianze di Cwikel-Lieb-Rosenblum e di Lieb-Thirring per operatori di Schrödinger. I risultati di [21] sono stati generalizzati in [27] usando opportune stime sul nucleo del calore dell operatore di Laplace sugli alberi metrici. Infine, nel lavoro [15] abbiamo ottenuto delle disuguaglianze di tipo Hardy per operatori di Schrödinger su alberi metrici. Disuguaglianze di Lieb-Thirring per operatori di Schrödinger bidimensionali. Le disuguaglianze di Lieb-Thirring bidimensionali garantiscono che per ogni >0esisteunaconstanteL tale che gli autovalori negativi n(, V ),n = 1, 2,..., dell operatore di Schrödinger di tipo A = + V soddisfano X n(, V ) apple L ZR 1+ V (x) 1+ dx, (6) 2 n

dove V indica la parte negativa del potenziale elettrico V. Ènotochenel caso di dimensione due queste disuguaglianze hanno proprietà peculiari: per esempio, si sa che L! +1 per! 0 e che (6) non è ottimale per & 0. Aquestoscopo,nellavoro[10] abbiamo introdotto e dimostrato una disuguaglianza di Lieb-Thirring modificata, dalla quale abbiamo dedotto una stima asintotica ottimale per gli autovalori degli operatori di Schrödinger bidimensionali sia per % +1, siaper & 0. In [14] abbiamo sviluppato applicazioni dei risultati ottenuti in [10] aoperatoridischrödingersuquantum layers. Nel recente lavoro [23] sono state studiate simili disuguaglianze spettrali di tipo Cwikel-Lieb-Rosenblum, che corrispondo al limite! 0in (6), per operatori di Schrödinger magnetici. In particolare è stato dimostrato che il carattere di queste stime dipende dalle proprietà del rispettivo campo magnetico. Analisi spettrale dell operatore di Laplace sui domini limitati. Le disuguaglianze di Berezin-Li-Yau forniscono una stima dal basso per le somme degli autovalori j( ) dell operatore di Laplace con condizioni di Dirichlet omogenee su un dominio limitato R d,tramiteilvolume del dominio in questione: 11 kx j=1 j( ) C d 2 d+2 d k d 8 k 1, con C d = 4 2 d d +2! 2/d d, (7) dove! d indica il volume della palla unitaria in R d.dalcomportamentoasintotico di P k j=1 j( ) per k!1si può dedurre che la costante C d in (7) è ottimale. Tuttavia, nel lavoro [16] abbiamo migliorato la disuguaglianza (7) nel caso bidimensionale aggiungendo al membro di destra un contributo positivo, di ordine o(k d+2 d )perk!1,chenondipendeda, madallageometriadella frontiera di. Disuguaglianze di Hardy per il Laplaciano di Robin. L operatore di Laplace con condizioni di tipo Robin è stato studiato in [25], dove abbiamo mostrato come la disuguaglianza di Hardy classica su domini convessi, nota per il Laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee: Z ru(x) 2 dx Z 1 u(x) 2 4 2 (x) dx, (x) =dist(x, @ ), u 2 H1 0( ), (8)

12 può essere generalizzata al caso delle condizioni di Robin. In particolare, abbiamo dimostrato, per domini convessi, che per ogni 0 apple 2 L 1 (@ ) vale Z Z Z ru 2 + u 2 1 u(x) 2 4 ( (x)+ 1 (p(x)) 2 1 ) dx 8 u 2 2 H1 ( ), (9) @ dove p(x) èilpuntodi@ piùvicinoax (esso è unico per quasi ogni x 2 ). Ricordiamo che il caso =0corrispondealLaplacianoconcondizioni di Neumann, mentre = +1 corrisponde al Laplaciano con condizioni di Dirichlet. Strettamente collegato al lavoro [25] è il recente lavoro [29] in cui sono state ottenute delle stime per il primo autovalore del Laplaciano con condizioni di Robin su domini convessi. Più precisamente, è stato provato come questo autovalore dipende dalle condizioni al bordo e dalle proprietà geometriche del dominio. Risultati connessi che riguardano gli operatori di Laplace con condizioni di Robin sono stati ottenuti nel lavoro [20]. Semigruppi e gruppi unitari degli operatori di Schrödinger magnetici. Il fatto che l operatore di Schrödinger magnetico bidimensionale H A,siveda (1), soddisfa una disuguaglianza di Hardy (a di erenza del caso non-magnetico) ha conseguenze che riguardano il comportamento asintotico (per tempi lunghi) del semigruppo e th A associato a questo operatore. Questo e etto è stato messo in evidenza in [24]. In particolare è stato dimostrato che, per campi magnetici radiali a supporto compatto, vale e th A (x, y) =O(t 1 min m2z m ) per t!1 (10) dove e th A (x, y) èilnucleointegraledelsemigruppoe th A e è i l fl u s s o d e l campo magnetico associato all operatore H A. D altra parte, in assenza del campo magnetico si sa che e th 0 (x, y) ' t 1 per t!1. Quindi i risultati di [24] evidenziano che la presenza del campo magnetico accelera la decrescenza del rispettivo semigruppo generato da H A. In questo contesto è interessante notare che il campo magnetico accelera anche la decrescenza del gruppo unitario e it(h A+V ) generato dall operatore H A + V,doveV è u n p o t e n z i a l e e l e t t r i c o. I n f a t t i, n e l r e c [30] e n t e l è a v o r o stato dimostrato, sotto certe condizioni su V,cheperuncampomagneticodi tipo delta di Dirac il gruppo unitario e it(h A+V ),consideratocomeoperatore tra opportuni sottospazi pesati di L 2 (R 2 ), soddisfa e it(h A+V ) P ac = O(t 1 min m2z m ) per t!1, (11) dove P ac indica il proiettore spettrale di H A + V relativo allo spettro assolutamente continuo.

Semigruppi del operatore di Laplace su domini cilindrici. Nel lavoro [26] abbiamo studiato l accelerazione della decrescenza del semigruppo generato dall operatore di Laplace (con condizioni di Dicrichlet) causata dal twisting di un cilindro tridimensionale; si veda l equazione (4) per la definizione del cilindro twistato T. In particolare, abbiamo dimostrato che per l elemento diagonale e t T (x, x) delnucleointegraledelsemigruppovale 13 e t T (x, x) e E 1 t t 3/2 per t!1, 8 x 2 T, (12) mentre nel cilindro diritto (ovvero senza twisting) = R! si ha e t (x, x) e E 1t t 1/2 per t! 1. L equazione (12) mette in evidenza l e etto del twisting sul comportamento asintotico delle soluzioni dell equazione del calore nei domini cilindrici. Altri e etti del twisting sulle proprietà spettrali dell operatore di Laplace con condizioni di Dirichlet sui domini cilindrici sono stati studiati nei lavori [17] e [28]. Pubblicazioni (1) P. Exner, A. Joye, H. Kovařík: Edge currents in the absence of edges. Phys. Lett. A 264 (1999) 124 130. (2) P. Exner, H. Kovařík: Magnetic strip waveguides. J. Phys. A 33 (2000) 3297 3311. (3) P. Exner, A. Joye, H. Kovařík: Magnetic transport in a straight parabolic channel. J. Phys. A 34 (2001) 9733 9752. (4) Ch. Ferrari, H. Kovařík: Resonance Width in Crossed Electric and Magnetic Fields. J. Phys. A 37 (2004) 7671 7697. (5) Ch. Ferrari and H. Kovařík: On the Exponential Decay of Magnetic Stark Resonances. Rep. Math. Phys. 56 no.2 (2005) 197 207. (6) T. Ekholm and H. Kovařík: Stability of the magnetic Schrödinger operator in awaveguide.comm. Partial Di erential Equations 30 (2005) 539 565. (7) D. Borisov, T. Ekholm and H. Kovařík: Spectrum of the magnetic Schrödinger operator in a waveguide with combined boundary conditions. Ann. Henri Poincaré 6 (2005) 327 342. (8) P. Exner and H. Kovařík: Spectrum of the Schrödinger operator in a perturbed periodically twisted tube. Lett. Math. Phys. 73 (2005) 183 192.

14 (9) H. Kovařík and A. Sacchetti: Resonances in twisted waveguides. J. Phys. A. Math. Theor. 40 (2007) 8371 8384. (10) H. Kovařík, S. Vugalter and T. Weidl: Spectral estimates for two-dimensional Schrödinger operators with application to quantum layers. Comm. Math. Phys. 275 (2007) 827 838. (11) H. Kovařík: Weakly coupled Schrödinger operators on regular metric trees. SIAM J. Math. Anal. 39 (2007) 1135 1149. (12) T. Ekholm, H. Kovařík and D. Krejčirík: A Hardy inequality in twisted waveguides. Arch. Rational Mech. Anal. 188 (2008) 245 264. (13) H. Kovařík and D. Krejčirík: A Hardy inequality in a twisted Dirichlet-Neumann waveguide. Math. Nachr. 281 (2008) 1159 1168. (14) H. Kovařík and S. Vugalter: Estimates on trapped modes in deformed quantum layers. J. Math. Anal. Appl. 345 (2008) 566 572. (15) T. Ekholm, R.L. Frank and H. Kovařík: Remarks about Hardy inequalities on metric trees. P. Exner, et al. (eds.) Proc. Sympos. Pure. Math. 77 (2008) 369 379. (16) H. Kovařík, S. Vugalter and T. Weidl: Two-dimensional Berezin-Li-Yau inequalities with a correction term. Comm. Math. Phys. 287 (2009) 959 981. (17) Ph. Briet, H. Kovařík, G. Raikov and E. Soccorsi: Eigenvalue asymptotics in a twisted waveguide. Comm. Partial Di erential Equations 34 (2009) 818 836. (18) T. Ekholm, A. Enblom, H. Kovařík: Schrödinger Operators on Regular Metric Trees with Long Range Potentials: Weak Coupling Behavior. Journal of Di. Equations 248 (2010) 850 865. (19) H. Kovařík and A. Sacchetti: A nonlinear Schrödinger equation with two symmetric point interactions in one dimension. J. Phys. A. Math. Theor. 43 (2010) 155 205. (20) H. Kovařík: Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains with cusps. J. London Math. Soc. 83 (2011) 256 271. (21) T. Ekholm, R.L. Frank and H. Kovařík: Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on metric trees. Adv. in Math. 226 (2011) 5165 5197. (22) V. Grecchi, H. Kovařík, A. Martinez, A. Sacchetti, V. Sordoni: Resonant states for a three-body problem under an external field. Asymptotic Analysis 75 (2011) 37 77. (23) H. Kovařík: Eigenvalue bounds for two-dimensional magnetic Schrödinger operators. Journal of Spectral Theory 1 (2011) 363 387. (24) H. Kovařík: Heat kernels of two-dimensional magnetic Schrödinger and Pauli operators. Calc. Var. Partial Di erential Equations. 44 (2012) 351-374.

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