Algebra di Boole ed elementi di logica Marco D. Santambrogio marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 10 O0obre 2013
Obiettivi Algebra di Boole Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione Operazioni logiche Espressioni logiche Assiomi e proprietà dell algebra di commutazione 2
Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) 3
Algebra Booleana: definizione Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,,0,1) dove: B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto) +,*, sono le operazioni binarie OR e AND e l operazione unaria NOT 0,1 sono elementi speciali di B. 0 è l elemento neutro rispetto a + 1 è l elemento neutro rispetto a * Assiomi - 4 -
Algebra Booleana a due valori: Algebra di Commutazione Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori...è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali. [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976] - 5 -
Operazioni logiche fondamentali Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato 6
Operazioni logiche fondamentali Le variabili dell algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1 precisamente, se x indica una variabile, è x = 0 se e solo se x 1 x = 1 se e solo se x 0 Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come + 0 1 0 0 1 1 1 1 Mentre l operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è definita come 0 1 1 0 * 0 1 0 0 0 1 0 1 Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come (esempio x ),!(esempio!x) o sopra segnando la variabile.
Operatori logici di base e loro tabelle di verità A B A or B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 (somma logica) A B A and B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 (prodotto logico) A not A 0 1 1 0 (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione 8
Espressioni logiche (o Booleane) Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or A and not B or B and C = (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come - (cambia segno) 9
Tabella di verità di un espressione logica A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y 0 0 0 0 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 0 0 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 0 1 0 0 and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 0 1 1 0 and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 1 0 0 1 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 1 0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 1 1 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = 1 1 1 1 1 and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1
Due esercizi A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 A B C ( B OR NOT C) AND (A OR NOT C) 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 11
Pausa 5 George Boole 12
Vero e falso in C In C non esiste un tipo di dato specifico per rappresentare i concetti vero e falso Una condizione assume un valore intero pari a 0 se la condizione è falsa 1 se la condizione è vera In generale, ogni valore diverso da zero è considerato vero ( 3 ) VERO ( 1 ) VERO ( a a ) FALSO 13
Problema Si scriva un programma in C che, dato un numero, dica se questo è positivo o negativo 14
Soluzione 1. Si inserisca N 2. N è maggiore di 0? Vero: N è positivo Falso: N non è positivo 15
In C: positivo int main() { int n; printf ( Inserisci un numero\n"); scanf ("%d", &n ); if ( n > 0 ) printf ("Un numero positivo! \n"); else condizione printf ("Un numero negativo o nullo\n"); printf ("Fine del programma\n"); return 0; } 16
Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l equivalente maiuscolo 17
Maiuscolo: esecuzione 18
HELP: errori sull input 19
Problema: errori sull input Problema Preso un dato inserito da tastiera Per potervi applicare la trasformazione di nostro interesse Dobbiamo prima verificare che il dato sia coerente con quanto ci aspettiamo Soluzione Definire l insieme dei caratteri validi Verificare l appartenenza del carattere inserito, all insieme dei caratterei validi 20
Pseudocodice Dati L insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c,, z} 1. Richiedere l inserimento di un carattere 2. Se carattere inserito corretto 3. Allora stampa a video carattere-32 4. Altrimenti stampa a video un messaggio di errore 21
Condizione da verificare Dati L insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c,, z} Il carattere inserito deve essere =>a <= z 22
Maiuscolo: solo if 23
Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere X: =>a Y: <= z X e Y devono essere entrambe vere X Y X and Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 (prodotto logico) 24
Maiuscolo: AND 25
Maiuscolo: codice ottimizzato 26
Maiuscolo: esecuzione 27
A che cosa servono le espressioni logiche? A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A = è vero che 1 è maggiore di 2? (sì o no, qui è no) = 0 B = è vero che 2 più 2 fa 4? (sì o no, qui è sì) = 1 A and B = è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A and B = 0 and 1 = 0, dunque no A or B = è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A or B = 0 and 1 = 1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull uso di o, e e non (non è molto, ma è utile) 28
Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche? Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: c è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga -1? x x 2 = -1 è falso (si sa bene che non c è) Domande universali: ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali? x x = a 2 +b 2 +c 2 +d 2` è vero ( teorema dei 4 quadrati ) Più esattamente andrebbe scritto: x a,b,c,d x = a2+b2+c2+d2 e sono chiamati operatori di quantificazione, e sono ben diversi da or, and e not La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso) 29
Tautologie e Contraddizioni Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio del terzo escluso : A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l evento A e la sua negazione) Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio di non contraddizione : A and not A (l evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri) 30
Equivalenza tra espressioni Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) 0 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1 0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0 1 0 0 and 1 = 0 not 1 = 0 1 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili 31
Proprietà dell algebra di Boole L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili 32
Vale per la somma rispetto al prodotto come per il prodotto rispetto alla somma non esiste precedenza fra le due operazioni, occorre sempre immaginare le parentesi sottintese intorno a ogni applicazione di un operazione. Algebra Booleana a due valori: Assiomi Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington): Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione ( ) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b B a+b = b+a a b = b a Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a (indicato con 1), cioè: a+0=a a 1=a Le due operazioni sono distributive rispetto all altra, cioè per ogni a,b,c B, risulta: a+(b c)=(a+b) (a+c) a (b+c)=(a b)+(a c) Per ogni a B esiste l elemento a B, detto negazione logica o complemento di a, tale che: a+a =1 a a =0
Algebra di Commutazione: Proprietà 1 1: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c 2: idempotenza a+a=a a*a=a 3: elemento nullo a+1=1 a*0=0 4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a, è unico 5: assorbimento a+(a*b)=a a*(a+b)=a
Algebra di Commutazione: Proprietà 2 6: Semplificazione a+a b = a+b a*(a +b) = a*b 7: involuzione ((a) ) = a 8: Leggi di De Morgan (a+b) = a *b (a*b) = a +b 9: consenso a*b+a *c+b*c = a*b + a *c (a+b)*(a +c)*(b+c)=(a+b)*(a +c) - 35 -
Uso delle proprietà Trasformare un espressione logica in un altra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A = (assorbimento) = not A and B or (A or A and B) =(togli le parentesi) = not A and B or A or A and B = (commutativa) = not A and B or A and B or A = (distributiva) = (not A or A) and B or A = (legge dell elemento 1) = true and B or A = (vero and B à B) = B or Aè più semplice dell espressione originale Si può verificare l equivalenza con le tabelle di verità Occorre conoscere un ampia lista di proprietà e si deve riuscire a vederle nell espressione (talvolta è difficile) 36
Problemi di fine giornata Si scriva un programma in C che richiede l inserimento di un numero intero positivo, se l inserimento e errato ritorna un messaggio di errore Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico inverso 37
Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 Credits Daniele Braga http://home.dei.polimi.it/braga/ Cristiana Bolchini http://home.dei.polimi.it/bolchini/didattica/ retilogichea/index.htm