mathematica [mentis] rubrica di cultura matematica a cura del CIRPU resp. scient. Prof. Italo Di Feo Tutti i segreti del TRIS Continua il nostro viaggio attraverso la matematica: giochiamo a filetto (tris). Il viaggio non finisce mai, solo i viaggiatori finiscono. E anche loro possono prolungarsi in memoria, in ricordo, in narrazione. I Josè Saramago l valore pedagogico della matematica ricreativa è ora ampiamente conosciuto. Si riscontra un sempre maggiore interesse per l argomento nei nuovi libri e nelle riviste per insegnanti di matematica. L insegnante di matematica che sgrida due studenti che giocano a filetto (tris) durante una lezione farebbe meglio a chiedersi: Per questi studenti questo gioco è più interessante, dal lato matematico, di ciò che sto dicendo? In effetti, una discussione in aula sul filetto non sarebbe una cattiva introduzione a diverse branche della matematica moderna. (Martin Gardner uno dei matematici viventi più influenti) A tutti è capitato di giocare a filetto (da noi si parla di tris) in attesa dell arrivo di un insegnante o durante una supplenza. Questo gioco ha una storia e una tradizione che riguarda tutte le nazioni. A sera, quando con una matita e una liscia lavagna interamente divisa in quadretti tutti con crocette e simboli scarabocchiavamo facendo piani e trucchi, testa a testa in una tenzone troppo umile come oggetto di versi. Woodsworth (Prelude libro I) E un gioco molto semplice e sembra riguardare i bambini e non sempre si comprende l attrattiva che esercita. Interessa però anche i professori di matematica se una mia valente collega di Perugia mi chiese una relazione tempo fa. La più semplice versione del gioco (3x3 caselle) concede 15.120 possibilità per le prime cinque mosse (9x8x7x6x5); la matematica può insegnare che gli schemi fondamentali sono pochi e qualsiasi giocatore può diventare imbattibile dopo qualche ora (Anche il Pag. 1
computer non può vincere contro un abile giocatore). Il filetto offre ai giovani la possibilità di cercare strategie e usare varianti talvolta complesse; è un gioco a due persone, finito (un risultato determinato), senza elementi dovuti al caso e giocato con informazione perfetta, in quanto tutte le mosse sono note ad entrambi i giocatori che, se giocano razionalmente, conseguiranno un risultato pari. Sulla scacchiera 3x3 il primo giocatore pone un segno in una delle 9 caselle (userò per il I giocatore x) e il secondo risponde ponendo un proprio segno in un un altra delle 8 caselle libere (userò per il secondo giocatore un cerchietto o). e così via; vince chi per primo riesce a realizzare tre segni uguali in orizzontale, in verticale o in diagonale. La sola possibilità che si ha di vincere consiste nel far cadere l avversario in una trappola che permette di completare una fila alla mossa successiva in due modi (l avversario ne può bloccare uno soltanto). Il primo giocatore ha più possibilità di vincere soprattutto se l altro non conosce le contromosse alla prima mossa dell avversario. Delle tre possibili aperture (casella d angolo, casella centrale e casella laterale) la più valida è quella della casella d angolo perché l avversario può bloccarvi solo occupando la casella centrale. Vediamo prima questo caso nel quale il gioco ha un risultato di parità. X4 O4 O3 Come si vede è parità. Esaminiamo il caso in cui l avversario non occupa subito la casella centrale. 1 caso: l avversario va in una casella d angolo in orizzontale o verticale; voi muovete nella casella d angolo in diagonale. Pag. 2
Avete vinto! 2 caso: l avversario va nella casella d angolo sulla diagonale; voi muovete in una delle caselle d angolo libere. 3 caso: l avversario occupa una casella laterale non vicina; voi muovete nella casella d angolo non in diagonale. 4 caso: l avversario occupa una casella laterale vicina; voi muovete nella casella centrale o nella casella d angolo. Se il primo giocatore muove al centro, può essere bloccato occupando una delle caselle d angolo. Pag. 3
Finisce pari! Se l avversario non occupa una delle caselle d angolo, potete vincere facilmente occupando una casella d angolo adiacente alla sua. Se il primo giocatore muove in una delle caselle laterali, può essere bloccato occupando una delle 4 caselle che si trovano sulla stessa linea orizzontale o verticale. Se l avversario muove in un altra delle 4 caselle, potete vincere facilmente. Oppure Pag. 4
Molti, conoscendo lo schema precedente, pensano che non ci sia niente da imparare; invece soprattutto con l apertura laterale ci sono varianti interessanti che si creano sempre se viene meno l attenzione. Voi aprite lateralmente (III fila, II colonna) e l avversario fa la mossa giusta (I fila, II colonna); la risposta in questo caso è (II fila, I colonna) e se l avversario (cosa probabile se ha l ingordigia di vincere) non occupa una delle due caselle della III fila, avete vinto lo stesso. Dovunque muove avete vinto. Anche il secondo giocatore talvolta può vincere: esaminiamo due casi. Il primo giocatore muove in una casella laterale (III riga e II colonna) e il secondo risponde in una casella d angolo vicina; in questo caso la partita dovrebbe finire in parità ma se il primo giocatore muove in una delle caselle con il puntino (cosa improbabile), il secondo vince. O3 Pag. 5
Sempre nel caso di una prima mossa nella III riga e II colonna, potete rispondere nella casella centrale e se il primo giocatore muove (cosa improbabile) nella I riga e II colonna, potete vincere. O3 La storia Prima dell era cristiana, nell antica Cina, in Grecia e successivamente a Roma il filetto si giocava con una interessante variante. Si usavano sei gettoni o monete a tre a tre diversi (esempio: 3 da 50 cent. e 3 da 1 euro); i giocatori a turno ponevano un gettone sulla scacchiera fino a che tutti e sei non erano sistemati. Se nessuno dei due giocatori aveva vinto sistemando 3 dei suoi gettoni in fila orizzontalmente o diagonalmente, essi continuavano a giocare muovendo a turno una pedina in senso ortogonale in una casella adiacente. Vediamo un esempio: o3 o1 Il 1 giocatore, spostando x2 x1 o2 dalla II alla III riga una x3 pedina, vince. Ovidio parla di questo gioco nell Ars Amatoria, consigliandolo insieme ad altri giochi ad una donna per avere successo con gli uomini. In Inghilterra nel 1300 il gioco era molto diffuso ed era chiamato la morra dei tre uomini. Talvolta si chiedeva al primo giocatore di non occupare alla prima mossa la casella centrale (avrebbe vinto sicuramente) e in questo modo il gioco diventava più interessante per entrambi i giocatori. Varianti consentivano mosse lungo le diagonali principali o lungo qualsiasi direzione. Varianti moderne del gioco usano scacchiere 4x4 con giocatori che hanno in dote quattro pedine ciascuno; si collocano le pedine a turno e se nessuno ha vinto si possono effettuare spostamenti in qualsiasi direzione; la vittoria si ottiene se si ottengono file di 4 pedine ortogonalmente, diagonalmente o una disposizione quadrata su Pag. 6
quattro caselle adiacenti. Attualmente si trovano in commercio anche scacchiere tridimensionali 3x3x3. L antico gioco giapponese go-moku (cinque pietre), ancor oggi popolare, si gioca sulle intersezioni di una scacchiera go (19x19) con una dotazione illimitata di pedine finché un giocatore non riesce a porre 5 pedine ortogonalmente o diagonalmente. L ironia di Bloch: Notizie da Enigmi e giochi matematici di M.Gardner Legge di Joyce Finché ti morde un lupo, pazienza. Quel che secca è quando ti morde una pecora. Prof. Italo Di Feo Quesiti della rubrica 1) Un leone e mezzo mangia una gazzella e mezzo in un giorno e mezzo. Quanti leoni occorrono per mangiare 10 gazzelle in 3 giorni? Un leone mangerà una gazzella in un giorno e mezzo e quindi in tre giorni mangerà 2 gazzelle; ci vorranno dunque 5 leoni. 2) Una lumaca deve salire un muro di 8 m.. Essa sale verticalmente 5 m. di giorno e scende di 4 m. di notte. In quanti giorni sarà in cima al muro? Ogni mattina avrà percorso 1 m. in su. La sera del quarto giorno si troverà in cima al muro (3+5=8). Da Elmo della mente di Ennio Peres Pag. 7