Grafi (orientati): cammini minimi Una breve presentazione
Definizioni Sia G=(V,E) un grafo orientato con costi w sugli archi. Il costo di un cammino π=<v 0,v 1,v 2,,v k > è dato da: Un cammino minimo tra una coppia di vertici x e y è un cammino di costo minore o uguale a quello di ogni altro cammino tra gli stessi vertici.
Proprietà dei cammini minimi Sottostruttura ottima: ogni sottocammino di un cammino minimo è anch esso minimo Grafi con cicli negativi: se due vertici x e y appartengono a un ciclo di costo negativo, non esiste nessun cammino minimo finito tra di essi Se G non contiene cicli negativi, tra ogni coppia di vertici connessi in G esiste sempre un cammino minimo semplice, in cui cioè tutti i vertici sono distinti
Distanza fra vertici La distanza d xy tra due vertici x e y è il costo di un cammino minimo tra da x a y, o + se i due vertici non sono connessi Disuguaglianza triangolare: per ogni x, y e z Condizione di Bellman: per ogni arco (u,v) e per ogni vertice s
Alberi di cammini minimi Un arco (u,v) appartiene a un cammino minimo a partire da un vertice s se e solo se u è raggiungibile da s e d su +w(u,v)=d sv I cammini minimi da un vertice s a tutti gli altri vertici del grafo possono essere rappresentati tramite un albero radicato in s, detto albero dei cammini minimi
Calcolare cammini minimi dalle distanze
Tecnica del rilassamento Partendo da stime per eccesso delle distanze D xy d xy aggiornare le stime, decrementandole progressivamente fino a renderle esatte. Aggiornamento delle stime basato sul seguente passo di rilassamento:
Algoritmo generico per il calcolo delle distanze rilassamento
Algoritmo di Bellman e Ford (per cammini minimi a sorgente singola)
Ordine di rilassamento Sia π =< s,v 1,v 2,,v k > un cammino minimo. Se fossimo in grado di eseguire i passi di rilassamento nell ordine seguente: in k passi avremmo la soluzione. Purtroppo non conosciamo l ordine giusto, essendo π ignoto
Approccio di Bellman e Ford Esegue n passate In ciascuna passata rilassa tutti gli archi Dopo la j-esima passata, i primi j rilassamenti. corretti sono stati certamente eseguiti Esegue però molti rilassamenti inutili!
Pseudocodice Tempo di esecuzione: O(nm)
Algoritmo per grafi diretti aciclici (per cammini minimi a sorgente singola)
ammini minimi in grafi aciclici Eseguire i rilassamenti in ordine topologico Tempo di esecuzione: O(n+m)
Algoritmo di Dijkstra (per cammini minimi a sorgente singola in grafi con costi non negativi)
stendere l albero dei cammini minimi Se T è un albero dei cammini minimi radicato in s che non include tutti i vertici raggiungibili da s, l arco (u,v) tale che u T e v T che minimizza la quantità d su +w(u,v) appartiene a un cammino minimo da s a v
Approccio di Dijkstra Scegli un arco (u,v) con u T e v T che minimizza la quantità D su +w(u,v), effettua il passo di rilassamento D sv D su +w(u,v), ed aggiungilo a T Archi incidenti a T mantenuti in una coda con priorità, prestando attenzione ad avere un solo arco per ogni nodo v T: se (u,v) è in coda quando analizziamo (z,v) e risulta D sz +w(z,v) < D su +w(u,v), rimpiazziamo (u,v) con (z,v)
Tempo di esecuzione Al più n insert, n deletemin e m decreasekey O(m log n) utilizzando heap O(m+n log n) utilizzando heap di Fibonacci
Pseudocodice
sempio (1/2)
Esempio (2/2)
Riepilogo Algoritmi classici per il calcolo di distanze (e quindi di cammini minimi), basati sulla tecnica del rilassamento: Bellman e Ford: cammini minimi a sorgente singola, grafi diretti senza cicli negativi, tempo O(nm) Grafi diretti aciclici: cammini minimi a sorgente singola in tempo O(n+m) Dijkstra: cammini minimi a sorgente singola, grafi diretti senza pesi negativi, tempo O(m+n log n)