Parte I Fondamenti teorici 1 I fondamenti della Relatività Ristretta... 3 1.1 Postulati della Relatività... 4 1.2 Trasformazioni di Lorentz e di Poincaré... 5 1.2.1 Linearità delle trasformazioni..... 5 1.2.2 Invarianza dell intervallo..... 7 1.3 Leggi fisiche covarianti a vista... 9 1.3.1 Calcolo tensoriale...... 12 1.4 Struttura del gruppo di Lorentz...... 16 1.4.1 Gruppo di Lorentz proprio.... 17 1.4.2 Trasformazioni di Lorentz proprie finite e infinitesime... 18 1.4.3 Parità, inversione temporale e pseudotensori... 21 1.5 Problemi... 23 2 Le equazioni fondamentali dell Elettrodinamica... 27 2.1 Cinematica di una particella relativistica... 27 2.2 Elettrodinamica di particelle puntiformi... 30 2.2.1 Equazioni fondamentali...... 32 2.2.2 Parità e inversione temporale...... 33 2.2.3 Equazione di Lorentz... 35 2.2.4 Identità di Bianchi..... 37 2.2.5 Equazione di Maxwell... 39 2.3 Natura distribuzionale del campo elettromagnetico.... 43 2.3.1 Elementi di teoria delle distribuzioni.... 44 2.3.2 Equazioni di Maxwell nello spazio delle distribuzioni.... 51 2.3.3 Campo elettromagnetico della particella statica.... 54 2.4 Costanti del moto... 58 2.4.1 Conservazione e invarianza della carica elettrica... 58 2.4.2 Tensore energia-impulso e conservazione del quadrimomento 60 2.4.3 Tensore energia-impulso in Elettrodinamica... 63
xii Indice 2.4.4 Conservazione del momento angolare quadridimensionale.. 68 2.5 Problemi... 72 3 Il metodo variazionale in teoria di campo... 79 3.1 Principio di minima azione in meccanica... 81 3.2 Principio di minima azione in teoria di campo... 83 3.2.1 Ipersuperfici nello spazio-tempo di Minkowski.... 86 3.2.2 Invarianza relativistica... 90 3.2.3 Lagrangiana dell equazione di Maxwell...... 93 3.2.4 Mediatori delle interazioni deboli e forti...... 96 3.3 Teorema di Nöther... 98 3.3.1 Trasformazioni di Poincaré infinitesime..... 99 3.3.2 Teorema di Nöther per il gruppo di Poincaré...101 3.3.3 Tensore energia-impulso canonico del campo elettromagnetico...106 3.4 Tensore energia-impulso simmetrico...... 106 3.4.1 Tensore energia-impulso simmetrico del campo elettromagnetico...109 3.5 Densità di momento angolare standard....110 3.6 Problemi...112 4 Il metodo variazionale in Elettrodinamica...115 4.1 Azione della particella libera...115 4.2 Azione dell Elettrodinamica...117 4.3 Teorema di Nöther...121 4.4 Invarianza di gauge e conservazione della carica elettrica...126 4.5 Problemi...127 Parte II Applicazioni 5 Le onde elettromagnetiche...131 5.1 Gradi di libertà del campo elettromagnetico.....132 5.1.1 Gradi di libertà in Meccanica Newtoniana.....132 5.1.2 Gradi di libertà in teoria di campo......133 5.1.3 Problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell...134 5.2 Equazione delle onde..... 139 5.2.1 Onde elementari...143 5.2.2 Problema alle condizioni iniziali...145 5.2.3 Formula risolutiva manifestamente invariante...... 147 5.3 Soluzione generale delle equazioni di Maxwell nel vuoto...149 5.3.1 Onde elettromagnetiche elementari..... 152 5.3.2 Onde gravitazionali elementari....157 5.3.3 Elicità...159 5.4 Problema di Cauchy per il campo di radiazione...162 5.4.1 Campo di radiazione e invarianza di gauge manifesta....162
xiii 5.4.2 Problema di Cauchy e formule risolutive......164 5.5 Effetto Doppler relativistico....167 5.6 Problemi...168 6 La generazione di campi elettromagnetici...171 6.1 Metodo della funzione di Green: equazione di Poisson....172 6.1.1 Soluzione particolare...173 6.1.2 Soluzione generale ed equazione di Laplace...176 6.2 Campo generato da una corrente generica......179 6.2.1 Funzione di Green ritardata...181 6.2.2 Potenziale vettore ritardato...186 6.2.3 Violazione spontanea dell invarianza per inversione temporale....188 6.2.4 Validità della soluzione e trasformata di Fourier....191 6.3 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme...194 6.3.1 Campo di una particella massiva...194 6.3.2 Campo di una particella di massa nulla...198 6.4 Problemi...202 7 I campi di Liénard-Wiechert...205 7.1 Linee di universo e condizioni asintotiche......205 7.2 Quadripotenziale di Liénard-Wiechert....207 7.2.1 Zeri della funzione f(s)...210 7.3 Campi di Liénard-Wiechert....211 7.3.1 Campi di velocità e campi di accelerazione....212 7.3.2 Campi elettrici e campi magnetici......214 7.4 Emissione di radiazione da cariche accelerate...215 7.4.1 Limite non relativistico e formula di Larmor......219 7.5 Espansione non relativistica di potenziali e campi.....220 7.6 Problemi...223 8 L irraggiamento...225 8.1 Campo elettromagnetico nella zona delle onde...227 8.1.1 Emissione di quadrimomento...... 229 8.1.2 Correnti monocromatiche e onde elementari...229 8.2 Radiazione dell antenna lineare...... 232 8.3 Irraggiamento nel limite non relativistico...235 8.3.1 Sviluppo in multipoli...235 8.4 Radiazione di dipolo...... 237 8.4.1 Radiazione di un antenna lineare corta...242 8.4.2 Diffusione Thomson.... 244 8.4.3 Bremsstrahlung dall interazione coulombiana.....250 8.4.4 Radiazione dell atomo di idrogeno classico...255 8.5 Radiazione di quadrupolo e di dipolo magnetico......257 8.5.1 Potenziale all ordine 1/c 2...258
xiv Indice 8.5.2 Potenza totale..... 260 8.6 Problemi...263 9 La radiazione gravitazionale...269 9.1 Onde gravitazionali e onde elettromagnetiche...269 9.2 Equazioni del campo gravitazionale debole.....270 9.2.1 Relazione con le equazioni di Einstein...272 9.3 Irraggiamento gravitazionale...275 9.3.1 Argomento euristico per la formula di quadrupolo...277 9.4 Potenza della radiazione di quadrupolo...279 9.4.1 Annullamento della radiazione di dipolo......282 9.5 La pulsar binaria PSR B1913+16....284 9.5.1 Diminuzione del periodo..... 286 9.6 Problemi...288 10 L irraggiamento nel limite ultrarelativistico...291 10.1 Generalizzazione relativistica della formula di Larmor.....292 10.1.1 Argomento di covarianza..... 292 10.1.2 Derivazione della formula di Larmor relativistica...294 10.2 Perdita di energia negli acceleratori......297 10.2.1 Acceleratori lineari..... 299 10.2.2 Acceleratori circolari...300 10.3 Distribuzione angolare nel limite ultrarelativistico....302 10.4 Problemi...305 11 L analisi spettrale...307 11.1 Analisi di Fourier e risultati generali......307 11.2 Polarizzazione...... 311 11.3 Limite non relativistico....313 11.3.1 Bremsstrahlung a spettro continuo e catastrofe infrarossa... 315 11.3.2 Funzioni di Bessel e Neumann.....319 11.3.3 Bremsstrahlung a spettro discreto: un esempio.....321 11.4 Analisi spettrale relativistica...323 11.4.1 Spettro di una particella in moto arbitrario....323 11.4.2 Frequenze caratteristiche nel limite ultrarelativistico.....327 11.4.3 Basse frequenze...330 11.5 Spettro di una corrente generica.....332 11.5.1 Corrente periodica..... 333 11.5.2 Corrente aperiodica.... 335 11.6 Problemi...337 12 La radiazione di sincrotrone...339 12.1 Radiazione di sincrotrone non relativistica......340 12.2 Analisi spettrale..... 340 12.2.1 Spettro nel limite ultrarelativistico...... 342 12.3 Distribuzione angolare.... 344
xv 12.4 Polarizzazione...... 346 12.4.1 Polarizzazione a frequenza fissata......346 12.4.2 Polarizzazione complessiva...348 12.5 Luce di sincrotrone...351 13 L effetto Čerenkov...353 13.1 Equazioni di Maxwell in un mezzo non dispersivo....354 13.1.1 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme.....356 13.2 Campo per v<c/n...356 13.2.1 Analisi in frequenza e onde evanescenti......358 13.2.2 La funzione K(x)...359 13.3 Campo per v>c/n...362 13.3.1 Campo elettromagnetico e cono di Mach......363 13.3.2 Angolo di Čerenkov e analisi in frequenza....365 13.4 Mezzi dispersivi....368 13.4.1 Equazioni di Maxwell in un mezzo dispersivo.....368 13.4.2 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme.....370 13.4.3 Assenza di singolarità, campi coulombiani e campi di radiazione...372 13.5 Irraggiamento e formula di Frank e Tamm......374 13.5.1 Argomento euristico.... 374 13.5.2 Derivazione della formula di Frank e Tamm...376 13.6 Rivelatori Čerenkov...... 379 13.7 Problemi...380 Parte III Argomenti scelti 14 La reazione di radiazione...385 14.1 Forze di frenamento: analisi qualitativa...388 14.1.1 Derivazione euristica dell equazione di Lorentz-Dirac...389 14.2 Equazione di Lorentz-Dirac....391 14.2.1 Regolarizzazione e rinormalizzazione...391 14.2.2 Derivazione dell equazione di Lorentz-Dirac...... 394 14.2.3 Espansione dell autocampo regolarizzato..... 395 14.2.4 Caratteristiche dell equazione..... 397 14.2.5 Particella libera.... 401 14.2.6 Moto unidimensionale: preaccelerazione...... 404 14.3 Equazione integro-differenziale di Rohrlich.....408 14.3.1 Preaccelerazione e violazione della causalità...410 14.4 Problema a due corpi relativistico....412 14.4.1 Scattering relativistico e non relativistico.....414 14.4.2 Espansione in potenze di 1/c...416 14.4.3 Bilancio della quantità di moto....417 14.4.4 Bilancio dell energia...419
xvi Indice 14.4.5 Lagrangiana all ordine 1/c 2...420 14.5 Problemi...422 15 Un tensore energia-impulso privo di singolarità...427 15.1 Singolarità del tensore energia-impulso...427 15.2 Costruzione rigorosa: rinormalizzazione e regolarizzazione.....429 15.2.1 Costruzione euristica di T μν em...432 15.3 Costruzione di T μν em per la particella libera....433 15.3.1 Esistenza di T μν em...434 15.3.2 Equazione di continuità per T μν em...436 15.3.3 Energia finita del campo elettromagnetico.....438 15.4 Costruzione generale ed equazione di Lorentz-Dirac......440 15.5 Problemi...442 16 I campi vettoriali massivi...445 16.1 Lagrangiana e dinamica...446 16.1.1 Equazioni del moto e gradi di libertà...447 16.1.2 Tensore energia-impulso..... 448 16.2 Soluzioni di onda piana...449 16.2.1 Onde elementari e pacchetti d onda.....450 16.3 Generazione di campi..... 452 16.3.1 Sorgente statica e potenziale di Yukawa......453 16.4 Funzione di Green ritardata....455 16.4.1 Unicità...455 16.4.2 Rappresentazioni della funzione di Green.....456 16.4.3 Derivazione delle rappresentazioni...... 458 16.5 Irraggiamento...463 16.5.1 Campo nella zona delle onde......463 16.6 Analisi spettrale..... 465 16.6.1 Spettro di una particella singola....468 16.6.2 Effetti quantistici...... 472 16.7 Problemi...473 17 L Elettrodinamica delle p-brane...475 17.1 Introduzione operativa alle forme differenziali...476 17.1.1 Differenziale esterno e lemma di Poincaré...479 17.1.2 Equazioni di Maxwell nel formalismo delle forme differenziali...482 17.2 Equazioni di Maxwell per p-brane...485 17.2.1 Elettrodinamica di una particella in D dimensioni.....486 17.2.2 Volume di universo e riparametrizzazioni.....487 17.2.3 Corrente conservata.... 489 17.2.4 Equazioni di Maxwell generalizzate.....492 17.3 Equazione di Lorentz e metodo variazionale....495 17.3.1 Azione del campo elettromagnetico.....496
xvii 17.3.2 Azione della p-brana libera....498 17.3.3 Equazione di Lorentz...503 17.3.4 Tensore energia-impulso..... 504 17.4 Problemi...507 18 I monopoli magnetici in Elettrodinamica classica...509 18.1 Dualità elettromagnetica...510 18.2 Elettrodinamica di dioni...512 18.2.1 Equazioni di Maxwell generalizzate.....513 18.2.2 Dualità SO(2) e dualità Z 4...516 18.2.3 Equazione di Lorentz generalizzata e leggi di conservazione 518 18.3 Problema a due corpi.....520 18.3.1 Moto relativo e forza dionica......521 18.3.2 Leggi di conservazione...... 523 18.4 Condizione di quantizzazione di Dirac: argomento semiclassico.... 526 18.4.1 Scattering asintotico tra due dioni......526 18.4.2 Quantizzazione delle cariche e implicazioni fisiche......528 19 I monopoli magnetici in Meccanica Quantistica...533 19.1 Invarianza di gauge in Meccanica Quantistica...534 19.1.1 Trasformazioni di gauge e simmetrie fisiche...535 19.2 Spazio di Hilbert generalizzato...... 537 19.2.1 Funzione di transizione e prodotto scalare.....537 19.3 Un potenziale vettore per il monopolo magnetico.....540 19.3.1 Potenziale e stringa di Dirac...540 19.3.2 Cambiamento della stringa di Dirac.....542 19.3.3 La funzione di gauge...543 19.3.4 Un esempio...546 19.4 Potenziale di Dirac nello spazio delle distribuzioni....548 19.4.1 Differenziale distribuzionale del potenziale di Dirac.....548 19.4.2 Cambiamento della stringa di Dirac.....551 19.5 Hamiltoniana dei dioni nello spazio di Hilbert generalizzato.....552 19.5.1 Funzione di transizione e quantizzazione di Dirac...554 19.6 Dioni nella quantizzazione di Feynman...555 19.6.1 Propagatore di Feynman..... 556 19.6.2 Cambiamento della stringa di Dirac nel propagatore di Feynman....558 19.7 Problemi...560 Riferimenti bibliografici...563 Indice analitico...565